2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破17圆锥曲线中参数范围与最值问题(八大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176685630" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176685630 \h 2
\l "_Tc176685631" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176685631 \h 2
\l "_Tc176685632" 题型一：弦长最值问题 PAGEREF _Tc176685632 \h 2
\l "_Tc176685633" 题型二：三角形面积最值问题 PAGEREF _Tc176685633 \h 4
\l "_Tc176685634" 题型三：四边形面积最值问题 PAGEREF _Tc176685634 \h 6
\l "_Tc176685635" 题型四：弦长的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685635 \h 7
\l "_Tc176685636" 题型五：三角形面积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685636 \h 8
\l "_Tc176685637" 题型六：四边形面积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685637 \h 10
\l "_Tc176685638" 题型七：向量数量积的取值范围问题 PAGEREF _Tc176685638 \h 10
\l "_Tc176685639" 题型八：参数的取值范围 PAGEREF _Tc176685639 \h 12
\l "_Tc176685640" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176685640 \h 14
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【变式1-2】已知曲线：.
(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；
(3)若，过点A0,-1的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.
【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
【变式2-2】点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.
【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求；
(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为，焦距长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点A0,3，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程;
(3)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点.
(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、Bx2,y2为双曲线上的点.
(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
(2)若，求直线的方程；
(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．当直线与轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
【变式7-3】已知椭圆经过点，为右焦点，为右顶点，且满足（为椭圆的离心率，为坐标原点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值．
题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
1．已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.
(1)求和的方程；
(2)记，求的最小值.
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别为、，四边形的面积为且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段上存在点M使得，求的最小值.
4．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆：的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线交于，两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图.

(1)求的方程：
(2)若过作，垂足为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最大值.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．
(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；
(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点.
(1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点.
(2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值.
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
10．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左､右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，.
（i）求证：为定值；
（ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围.
14．已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；
(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左､右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左､右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）
(1)当时，判断四边形的形状；
(2)设为坐标原点，证明：为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程有4个实根，，，，则，．