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    2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破13切线与切点弦问题(五大题型)练习(学生版+教师版)

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    2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破13切线与切点弦问题(五大题型)练习(学生版+教师版)

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    \l "_Tc176639406" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176639406 \h 3
    \l "_Tc176639407" 题型一:切线问题 PAGEREF _Tc176639407 \h 3
    \l "_Tc176639408" 题型二:切点弦过定点问题 PAGEREF _Tc176639408 \h 5
    \l "_Tc176639409" 题型三:利用切点弦结论解决定值问题 PAGEREF _Tc176639409 \h 6
    \l "_Tc176639410" 题型四:利用切点弦结论解决最值问题 PAGEREF _Tc176639410 \h 9
    \l "_Tc176639411" 题型五:利用切点弦结论解决范围问题 PAGEREF _Tc176639411 \h 10
    \l "_Tc176639412" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176639412 \h 12
    1、点在圆上,过点作圆的切线方程为.
    2、点在圆外,过点作圆的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为.
    3、点在圆内,过点作圆的弦(不过圆心),分别过作圆的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为直线.
    4、点在圆上,过点作圆的切线方程为.
    5、点在圆外,过点作圆的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为.
    6、点在圆内,过点作圆的弦(不过圆心),分别过作圆的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为.
    7、点在椭圆上,过点作椭圆的切线方程为.
    8、点在椭圆外,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为.
    9、点在椭圆内,过点作椭圆的弦(不过椭圆中心),分别过作椭圆的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为直线.
    10、点在双曲线上,过点作双曲线的切线方程为.
    11、点在双曲线外,过点作双曲线的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为.
    12、点在双曲线内,过点作双曲线的弦(不过双曲线中心),分别过作双曲线的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为直线.
    13、点在抛物线上,过点作抛物线的切线方程为.
    14、点在抛物线外,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,则切点弦的直线方程为.
    15、点在抛物线内,过点作抛物线的弦,分别过作抛物线的切线,则两条切线的交点的轨迹方程为直线.
    题型一:切线问题
    【典例1-1】已知为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为,,过上一点作的两条渐近线的平行线,分别交轴于,两点,且,内切圆的圆心到轴的距离为.
    (1)求的标准方程;
    (2)(ⅰ)设点为上一点,试判断直线与C的位置关系,并说明理由;
    (ⅱ)设过点的直线与交于,两点(异于的两顶点),在点,处的切线交于点,线段的中点为,证明:,,三点共线.
    【典例1-2】(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点,离心率 为,直线与圆相切.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)椭圆方程,平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
    ① 若在椭圆上,证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
    ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线,切点为,割线交椭圆 于两点,过点分别作椭圆的两条切线,且相交于点. 证明: 三点共线.
    【变式1-1】在平面直角坐标系中,动点到定点的距离比点到轴的距离大,设动点的轨迹为曲线,直线交曲线于两点,是线段的中点,过点作轴的垂线交曲线于点.
    (1)求曲线的方程;
    (2)证明:曲线在点处的切线与平行;
    (3)若曲线上存在关于直线对称的两点,求的取值范围.
    【变式1-2】已知抛物线,焦点为.过抛物线外一点(不在轴上)作抛物线的切线,其中为切点,两切线分别交轴于点.
    (1)求的值;
    (2)证明:
    ①是与的等比中项;
    ②平分.
    【变式1-3】(2024·江西·高三校联考开学考试)已知抛物线,F为C的焦点,过点F的直线与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T.
    (1)当的斜率为时,求;
    (2)证明:.
    题型二:切点弦过定点问题
    【典例2-1】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线:.
    (1)若点在:上,记G的几何中心为点,则当取得最大值时,求点的坐标.
    (2)已知动点、在C上,分别过、作抛物线的切线、,设和相交于点T,若点T恒在直线:上,求证:直线经过定点.
    (3)将绕原点顺时针旋转90°得到,给定点,上有四点、、、,满足,、均三点共线,且、都在x轴上方,设线段和的中点分别为T、S,试判断:直线是否会经过一个定点?若会,请求出这个定点的坐标,若不会,请说明理由.
    【典例2-2】已知曲线上的动点满足,且.
    (1)求的方程;
    (2)已知直线与交于两点,过分别作的切线,若两切线交于点,且点在直线上,证明:经过定点.
    【变式2-1】(2024·青海海西·模拟预测)过直线上一个动点作抛物线的两条切线,分别为切点,直线与轴分别交于两点.
    (1)证明:直线过定点,并求点的坐标;
    (2)在(1)的条件下,为坐标原点,求的最大值.
    【变式2-2】(2024·浙江杭州·模拟预测)已知椭圆,直线,是直线上的动点,过作椭圆的切线,,切点分别为,
    (1)当点坐标为时,求直线的方程;
    (2)求证:当点在直线上运动时,直线恒过定点;
    (3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点,如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
    【变式2-3】已知抛物线:过点,点B为直线上的动点,过点B向曲线C引两条切线,切点分别为,,判断直线是否过定点?若过定点,请求出此定点坐标,否则说明理由.
    题型三:利用切点弦结论解决定值问题
    【典例3-1】(2024·全国·模拟预测)一般地,抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形,对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形.如图,,分别为抛物线y2=2pxp>0的切线三角形和切点三角形,为该抛物线的焦点.当直线的斜率为时,中点的纵坐标为.
    (1)求.
    (2)若直线过点,直线分别与该抛物线的准线交于点,记点的纵坐标分别为,证明:为定值.
    (3)若均不与坐标原点重合,证明:
    【典例3-2】(2024·四川内江·三模)已知抛物线E的准线方程为:,过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点,分别过A、B两点作抛物线E的切线,两条切线分别与y轴交于C、D两点,直线CF与抛物线E交于M、N两点,直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
    (1)求抛物线E的标准方程;
    (2)证明:为定值.
    【变式3-1】已知,分别为椭圆:和双曲线:的离心率.
    (1)若,求的渐近线方程;
    (2)过上的动点作的两条切线,经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
    【变式3-2】(2024·全国·模拟预测)已知抛物线的方程为,把该抛物线整体平移,使其顶点与坐标原点重合,平移后的抛物线记作.
    (1)写出平移过程,并求抛物线的标准方程;
    (2)已知是抛物线的内接三角形(点在直线的下方),过作抛物线的切线交于点,再过作抛物线的切线分别交于点,记,的面积分别为,证明为定值.
    【变式3-3】已知圆有以下性质:①过圆上一点的圆的切线方程是.②若为圆外一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为;③若不在坐标轴上的点为圆外一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则垂直,即,且平分线段.
    (1)类比上述有关结论,猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明);
    (2)过椭圆外一点作两直线,与椭圆相切于两点,求过两点的直线方程;
    (3)若过椭圆外一点(不在坐标轴上)作两直线,与椭圆相切与两点,求证:为定值,且平分线段.
    题型四:利用切点弦结论解决最值问题
    【典例4-1】如图,抛物线:上异于坐标原点的两不同动点、满足.
    (1)求证:直线过定点;
    (2)过点,分别作抛物线的切线交于点,求的面积的最小值.
    【典例4-2】(2024·河北邢台·二模)已知定点,轴于点H,F是直线OA上任意一点,轴于点D,于点E,OE与FD相交于点G.
    (1)求点G的轨迹方程C;
    (2)过的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率分别为和,证明:为定值;
    (3)在直线上任取一点,过点B分别作曲线C:的两条切线,切点分别为M和N,设的面积为S,求S的最小值.
    【变式4-1】(2024·高三·重庆·期中)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点,且.
    (1)求证:直线恒过一定点,并求出该点坐标;
    (2)若点为轴上一定点,且;
    (ⅰ)求出点坐标;
    (ⅱ)过点作平行于轴的直线,在上任取一点作抛物线的两条切线,切点为,,求面积的最小值.
    【变式4-2】已知椭圆的离心率为,且过点.抛物线的焦点坐标为.
    (1)求椭圆和抛物线的方程;
    (2)若点是直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为、,直线交椭圆于两点.
    ①求证直线过定点,并求出该定点坐标;
    ②当的面积取最大值时,求直线的方程.
    题型五:利用切点弦结论解决范围问题
    【典例5-1】(2024·高三·四川成都·开学考试)经过圆上一动点作椭圆的两条切线,切点分别记为,直线分别与圆相交于异于点的两点.
    (1)求证:;
    (2)求的面积的取值范围.
    (参考结论:点是椭圆外一点,过P作该椭圆的两条切线,切点为A,B,则直线AB的方程为.)
    【典例5-2】已知椭圆:和圆:,点是圆上的动点,过点作椭圆的切线,切点为A,B.
    (1)若点的坐标为0,3,证明:直线;
    (2)求O到直线的距离的范围.
    【变式5-1】已知抛物线C:(p>0)的焦点为F,过F点且垂直x轴的直线l交抛物线C于M,N两点,.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)圆Q:,点P在圆Q上,PA,PB是抛物线C的两条切线,A,B是切点,求面积的范围.
    【变式5-2】(2024·四川遂宁·模拟预测)已知过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线为,在点处的切线为,直线与直线交于点,当直线的倾斜角为时,.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)设线段的中点为,求的取值范围.
    1.已知抛物线E:,过点的直线与E交于A,B两点,设E在点A,B处的切线分别为和,与的交点为P.
    (1)若点A的坐标为,求的面积(O为坐标原点);
    (2)证明:点P在定直线上.
    2.在直角坐标系中,动圆经过点且与直线相切,记动圆圆心的轨迹为曲线C.直线y=x+b(其中b为非零常数)与曲线C交于两点,设曲线C在点处的切线分别为和,已知和分别与轴交于点M,N.与的交点为T.
    (1)求曲线C的轨迹方程;
    (2)求点T的横坐标;
    (3)已知与面积之比为5,求实数b的值.
    3.已知椭圆,焦点在轴上的双曲线的离心率为,且过点,点在上,且,在点处的切线交于两点.
    (1)求直线的方程(用含的式子表示);
    (2)若点,求面积的最大值.
    4.(2024·高三·河北保定·开学考试)已知双曲线的实轴长为4,离心率.
    (1)求的方程;
    (2)过上任意一点作圆的切线,求切线斜率最大时,与的渐近线围成的三角形面积.
    5.(2024·福建泉州·模拟预测)已知双曲线的实轴长为2,离心率为2,右焦点为,为上的一个动点,
    (1)若点在双曲线右支上,在轴的负半轴上是否存在定点.使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    (2)过作圆的两条切线,若切线分别与相交于另外的两点、,证明:三点共线.
    6.(2024·辽宁·三模)设抛物线的方程为,为直线上任意一点;过点作抛物线的两条切线MA,MB,切点分别为A,B(A点在第一象限).
    (1)当M的坐标为时,求过M,A,B三点的圆的方程;
    (2)求证:直线AB恒过定点;
    (3)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使为直角三角形,若存在,有几个这样的点,说明理由;若不存在,也请说明理由.
    7.已知直线:和圆:.
    (1)判断直线和圆的位置关系,并求圆上任意一点到直线的最大距离;
    (2)过直线上的点作圆的切线,切点为,求证:经过,,三点的圆与圆的公共弦必过定点,并求出该定点的坐标.
    12.如图所示,已知椭圆,上顶点为A,过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B,D(不同于点A).当r变化时,试问:直线BD是否过某个定点?若过某个定点,求出该定点;若不过某个定点,请说明理由.
    13.已知圆,直线.
    (1)若点P在直线l上运动,过点P作圆O的两条切线,切点分别为,求证:过点的圆过定点,并求出所有定点的坐标;
    (2)若点P在直线l上运动,过点P作圆O的两条切线,切点分别为,求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标.
    14.(2024·高三·山东·开学考试)已知抛物线是上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,则称三角形为抛物线的外切三角形.
    (1)当点的坐标为为坐标原点,且时,求点的坐标;
    (2)设外切三角形的垂心为,试判断是否在定直线上,若是,求出该定直线;若不是,请说明理由;
    (3)证明:三角形与外切三角形的面积之比为定值.
    15.已知点A,B是圆上的动点,且,直线PA,PB为圆的切线,当点A,B变动时,点P的轨迹为曲线.
    (1)求曲线的方程;
    (2)过点,斜率为k的直线与曲线交于点M,N,点Q为曲线上纵坐标最大的点,求证:直线MQ,NQ的斜率之和为定值.
    16.已知椭圆,分别为双曲线的左,右顶点,分别为和的离心率.
    (1)若.
    (ⅰ)求的渐近线方程;
    (ⅱ)过点的直线l交的右支于两点,与直线交于两点,记坐标分别为,求证:;
    (2)从上的动点引的两条切线,经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,说明理由.

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