2024-2025学年江苏省南通市如东县八年级(上)数学期中数学试卷(解析版)

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这是一份2024-2025学年江苏省南通市如东县八年级(上)数学期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选B．
2. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，，计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 如果等腰的一个内角为，那么顶角的度数为（）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】解：根据题意，分两种情况：①为等腰的顶角；②为等腰的底角；
当为等腰的顶角时，满足题意；
当为等腰的底角时，由等腰三角形性质及三角形内角和定理可得顶角为；
综上所述，顶角的度数为或，
故选：D．
4. 下列因式分解结果正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、原式，故本选项不符合题意．
B、原式，故本选项不符合题意．
C、原式，故本选项符合题意．
D、原式，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由作法知CO=DO，EO=EO，EC=ED，
∴ （SSS），
故选：A．
6. 若，则a的值为（）
A. 3B. C. 6D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式，
，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
当△ABC的周长最小时，即最小，
设直线的解析式为：，代入的坐标得，
解得
当时，解得
故选：B．
9. 如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（）
A. 20B. 18
C. 15D. 12
【答案】C
【解析】解：设长方形的长为x，宽为y．
根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68，
所以x+y=8，x2+y2=34．
所以64-2xy=34．
解得：xy=15．
所以长方形ABCD的面积为15．
故选：C．
10. 如图，在等腰中，，，是边上中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为4；④面积的最大值为8；其中正确的结论是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】解：①连接，
，，
，
是边上的中点，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形；故①正确；
②，
，
．
四边形的面积保持不变；故②正确；
③，
当时，的值最小为4，此时的值最小，的最小值为，故③错误；
④当面积最大时，此时的面积最小，
，，
，
，
此时．
故④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每题3分，第13-18题每题4分，共30分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】解：点关于轴对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 如果，那么______．
【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
13. 如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为______．
【答案】18
【解析】解：如图所示，过点作于点，
∵是的角平分线，，即，且，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，中，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为______．

【答案】##30度
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
16. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】解：方法一：利用乘法公式展开
，
，
，
；
方法二：取特殊值法
，
求的值，可以取得到，
即；
故答案为：．
17. 如图，中，，，P是上任意一点，于点M，于点N，则的值为______．
【答案】2
【解析】连接，过点B作于点T，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案：2．
18. 在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：∵，，，，
∴，，，，
为外角，为的外角，为的外角，
∴，，，
∵要使得这样的钢条只能焊上4根，
∴，
∴且，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）

．
20. 分解因式：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
21. 如图，在和中，与AD交于点，且，．
求证：．
解：证明：，，
，
在和中，

22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使，直接写出点P的坐标；
（3）在第二象限找一点Q，使的面积等于的面积，直接写出点Q的坐标．
解：（1）分别作点，，关于轴的对称点，，，依次连接，，，则即为所求，如图：
由图可知，点的坐标为：；
（2），
作线段的垂直平分线，交轴于点，此时，则点即为所求，如图：
（3）作的平行线，在第二象限中交网格于点，，，的面积与的面积相等，则点，即为所求的点，如图：
由网格可知，点的坐标为或．
23. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是______；
（2）老师认为两名同学的解答过程都有道理：
小彬同学的第步依据是运用了______公式；
小颖同学的第步依据是运用了______公式；
（3）请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．
解：（1）小彬的解答是正确的．
故答案为：小彬；
（2）小彬同学的第1步依据是运用了完全平方公式；
小颖同学的第1步依据是运用了平方差公式；
故答案为：完全平方；平方差；
（3）
．
24. 如图，在中，，于点D，CE平分交AB于点E．
（1）求证：；
（2）若，求AD长．
解：（1）证明：∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵于点D，，
∴垂直平分，
∴，
由（1）可知，
∴．
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
25. 数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】
（1）如图1，，即为等边三角形，D，E分别是上的点，且．求证：；
【实践探究】
（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且．当的值最小时，求的度数．（直接写出答案）
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】解：（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作于点M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接．
∵，
∴，
∴，
∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴、y轴上两点，且．点C是x轴上的一个动点，连接，并以为边在的右侧作等边．
（1）如图①，当点D恰好在x轴上时，请判断线段和的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）如图②，当点D不在x轴上时，连接，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）如图③，设点B关于x轴的对称点为M，连接交x轴于点N．
猜想：当点C在射线上移动时，的值是否发生改变？若不改变，请直接写出的值；若发生改变，请简要说明理由．
解：（1）．理由如下：
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）结论成立．
作于点，
．
，
，
，，
，
在中，，
垂直平分，
；
（3）不会发生改变，．
连接，，
点关于轴的对称点为，
，，
，
是等边三角形，
，，
由（2）知，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．题目：将分解因式
小彬的解法：
-----第1步
------------------------------------第2步
----------------------------第3步
小颖的解法：
------第1步
-------------------------第2步
--------------------------第3步