2022-2023学年江苏省南通市如东县部分学校八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年江苏省南通市如东县部分学校八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知在中，，，为上一点，，，那么等于(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图：等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在等腰三角形中，，过点作的高若，则这个三角形的底角与顶角的度数比为(    )

A. ：或： B. ： C. ： D. ：或：

10. 已知实数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 因式分解：______．
12. 若分式的值为零，则的值是______．
13. 已知，，则 ______ ．
14. 从汽车的后视镜中看见某车牌的位号码是，该号码实际是______．
15. 已知，，则的值为______．
16. 等腰三角形的顶角是，底边上的高是，则腰长为______．
17. 如图，中，，为上一点，是上一点，且，，若，则的长是______．

18. 中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时中的最大内角为，那么其它分割法中，中的最大内角度数为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 计算：； 
    计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    分解因式：
    ；
    ．
21. 本小题分
    如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，都是格点．请用无刻度的直尺在给定的网格中画图：
    画线段，使，且；
    画，使．

22. 本小题分
    已知，．
    求和的值；
    已知，求的值．
23. 本小题分
    如图，在中，，，是的中点，点在上，若的延长线交于点，且求证：．

24. 本小题分
    下面是某同学对多项式进行因式分解的过程
    解：设
    原式第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    回答下列问题
    该同学第二步到第三步运用了
    A.提取公因式
    B.平方差公式
    C.两数和的完全平方公式
    D.两数差的完全平方公式
    该同学因式分解的结果是否彻底______填“彻底”或者“不彻底”若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果．
    请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
25. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，点，且满足．
    填空：______，______．
    如图，作等腰，，，求点坐标；
    如图，点在轴负半轴上，分别以、为腰；点为直角顶点，在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于点，求点的坐标用含的式子表示．
     
26. 本小题分
    【了解概念】
    如图，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．
    
    【理解运用】
    如图，在中，为上一点，点，关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；
    【拓展提升】
    如图，在的条件下，若，，点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用尺规在图中确定点的位置，并求出的度数；
    如图，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为点，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不为，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，与没有公因式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.和不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.，原计算正确，故此选项符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式分析选项即可知道答案．
本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：当腰长是，底边是时，三边为，，，由于，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
当底边是，腰长是时，三边为，，，能构成三角形，则其周长为：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：
令，
故选：．
先计算，然后将含的项进行合并，最后令其系数为即可求出的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，由外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，
故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长的最小值为
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，是锐角三角形时，

，，
，
这个三角形的底角与顶角的度数比为：：：；
如图，是钝角三角形时，

，
，
，
，
这个三角形的底角与顶角的度数比为：：：；
故选：．
根据等腰三角形的性质分两种情况讨论求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，




，
，
当时，取等号，
，
当时，取等号，
，
，
，
，
即的最小值为，
故选：．
先化简，再判断出，即可求出答案．
此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
本题考查分式的值为零的条件．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记运算法则并灵活运用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，难度一般．
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】
解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，
故关于某条直线对称的数字依次是．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，

．
故答案为：．
直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确记忆公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，
，于点，，，
，，
，
，
．
故填：．
画出图形，可求得底角为度，结合已知，由含的直角三角形的性质可求得腰的长．
本题考查了等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质；求得的角是正确解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明≌，进而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：，，如图所示：

；
，，如图所示：

，
；
，，如图所示：

，；
其它分割法中，中的最大内角度数为或或，
故答案为：或或．
分三种情况
，时，；
，时，，；
，时，，．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：
；
． 

【解析】根据单项式乘多项式和多项式乘多项式可以解答本题；
根据多项式除以单项式和积的乘方可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
 

20.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，取格点、、，连接、，则交点即为点，
由图可知：≌，
则线段即为所求．

如图，构造等腰直角三角形，则即为所求点不唯一．
 

【解析】取格点、、，连接、，则交点即为点，线段即为所求；
利用数形结合的思想构造等腰直角三角形即可．
本题主要考查了作图应用与设计，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握网格作平行线的方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，，
，；
，
，
，
，
联立得，
解得，
． 

【解析】根据幂的乘方和同底数幂的除法即可得出答案；
根据平方差公式展开得到，联立方程组求出，的值，代入代数式即可得出答案．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】不彻底 

【解析】解：该同学第二步到第三步运用了；
，
该同学因式分解的结果不彻底；
设
原式



；
故答案为：不彻底．
根据因式分解的步骤进行解答即可；
根据因式分解的步骤进行解答即可；
设，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．
 

25.【答案】   

【解析】解：，
又，，
，，
故答案为：，．

如图中，过作轴于．

，
，
．
又，，
≌．
，
．
又点在第三象限，
；

如图中，在轴上取点，使，连接，如下图．

，
，，

，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
．
，
，
点的坐标为．
利用非负数的性质求解即可．
如图中，过作轴于证明≌推出，，可得结论．
如图中，在轴上取点，使，连接，证明≌，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，

点是点，关于直线的“等角点”，理由如下：
、关于对称，
，，
，
，
，
点是点，关于直线的“等角点”；
如图，

，，
．
点，关于直线，的“等角点”分别为点和点，
，
，
；
如图，

连接，
直线垂直平分，
，
，
点为点，关于直线“等角点”，
，
，
、、共线，
，
作于，
平分，平分，
，
，
．
根据对称可得，有，推出，从而得证；
作点关于的对称点，作射线交于，先求出，于是，进而求得结果；
可推出，，故，从而、、共线，进而求得结果．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确理解题意，掌握基础知识．