2023-2024学年江苏省南通市如东县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如东县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 5，4，1B. 5，4，−1C. 5，−4，−1D. 5，−4，1
2.书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54∘，则∠BOC的度数为
( )
A. 27∘B. 108∘C. 116∘D. 128∘
4.将抛物线y=2(x−3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是
( )
A. y=2(x−6)2B. y=2(x−6)2+4
C. y=2x2D. y=2x2+4
5.如图，在⊙O中，∠BOC=130°，点A在BAC⌢上，则∠BAC的度数为( )
A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°
6.下列每张方格纸上都有一个三角形，仅用圆规就能作出三角形外接圆的是( )
A. B. C. D.
7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD//AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为
( )
A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°
8.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为( )
A. 4B. 214C. 5D. 254
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若x=1是方程x2−3x+a=0的解，则a的值为_________________ ．
10.已知点A(4,y1)，B 2,y2，C(−2,y3)都在二次函数y=x−22−1的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是______．
11.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.1m，AD=0.4m，∠AOB=100∘，则该扇环形砖雕的面积为___________m2
12.如图，直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于点A−2,3和点B2,−1，若y213.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为12米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在DF上，点A在DE上，如何才能围成矩形花园的面积为75m2？若BC长为x米，则可列方程_____
14.某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是___________度．
15.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得▵QAC的周长最小，则▵QAC的周长的最小值为___________．
16.如图，⊙M半径为2，圆心M坐标2,4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为_____．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解方程x2−8x=−12；
(2)求抛物线y=x2+x−2与x轴公共点的个数．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(m−6)x−6m=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．
19.(本小题8分)
已知某二次函数的图象的顶点为−2,2，且过点−1,3．
(1)求此二次函数的关系式．
(2)判断点P1,9是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.若A点的坐标为(0,4)，C点的坐标为(6,2)，
(1)根据题意，画出平面直角坐标系；
(2)在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标____．
21.(本小题8分)
如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
(1)求m 的 值和直线BC对应的函数表达式；
(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45∘，求点Q的坐标．
22.(本小题8分)
“行千里，致广大”，美丽的重庆近年来成为人们争相打卡的网红城市．A，B两景点也很受欢迎，A景点的门票20元一张，B景点的门票30元一张，3月某周末售出A，B两景点的门票共900张，总销售额为23000元．
(1)该周末A，B两景点各售出多少张门票？
(2)清明小长假，A，B两景点为吸引更多的游客，对门票进行了调价处理．A景点的门票比该周末的门票优惠a%，B景点的门票比该周末的门票优惠25a%.小长假期间，游客明显增多，结果A景点的门票售出数量比该周末A景点售出的门票数量增加了12a%，B景点的门票售出数量比该周末B景点售出的门票数量增加了5a张，结果A，B两景点门票的总销售额比该周末的总销售额增加了123a%，求a的值．
23.(本小题8分)
如图，点P为∠CAB的AB边上一点．作以点P为圆心，与边AC相切的圆．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为6，∠BAC=60∘，求DE的长．
25.(本小题8分)
如图，以原点O为圆心，半径依次为1，2，3，…的连续正整数的圆分别记为⊙O1，⊙O2，⊙O3，…

(1)分别过点0,1，0,2,0,3作所在圆的切线，写出它们与⊙O2，⊙O3，⊙O4的交点的坐标___________________
(2)所有过点0,n(n为正整数)的⊙On的切线与⊙On+1的交点都在怎样的函数图象上？写出该函数的表达式，并说明理由．
(3)在第(2)题所求的 函数图象上有一点A(A在第一象限)，且满足AO=13，求过点A与x轴相切于点−5,0的⊙P的圆心坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】对照一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0a≠0，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项，找二次项系数，一次项，常数项即可．
【详解】解：一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、−4、−1．
故选：C．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式的认识，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理成一般形式ax2+bx+c=0a≠0，识别各项及项的系数，易错点：系数的符号．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据概率公式直接求概率即可；
【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
选中的书是物理书的结果有1种，
∴从中任取1本书是物理书的概率=13．
故选：B．
本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】直接利用圆周角定理即可得．
【详解】解：∵∠BAC=54∘，
∴由圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=108∘，
故选：B．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【详解】解：将抛物线y=2(x−3)2+2向左平移3个单位长度，得到y=2(x−3+3)2+2，
再向下平移2个单位长度，得到y=2(x−3+3)2+2−2，
整理得y=2x2，
故选：C．
本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解：∵∠BOC=130°，点A 在 BAC⌢上，
∴∠BAC=12∠BOC=65∘,
故选B
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】A、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
B、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
C、如图，由勾股定理得：

AC+BC=4+2+2+1=25,AB=3+4=25,
∴AC+BC=AB,
∴∠ACB=90∘,
∴AB是▵ABC的外接圆的直径，由三角形中位线定理可知，点O是AB的中点，
∴仅用圆规就能作出三角形外接圆，本选项符合题意；
D、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数．
【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°−∠D −∠BCD=180°−50°−(65°+50°)=15°，
故选A．
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】连结EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=12AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8−r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到(8−r)2+62=r2，再解方程求出r即可．
【详解】如图，连结EO并延长交AD于F，连接AO，

∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC // AD，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=12AD=6，
∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF=AB=8，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8−r，
在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，
∴(8−r)2+62=r2，
解得r=254，
故选D．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．
9.【答案】a=2
【解析】【分析】将x=1代入题目中的方程，即可求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：∵x=1是方程x2−3x+a=0的解，
∴12−3×1+a=0，
解得，a=2，
故答案为2．
此题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
10.【答案】y3>y1>y2##y2【解析】【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=2，再比较点A、B、C到直线x=2的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【详解】解：二次函数y=x−22−1的图象的对称轴为直线x=2，
因为点B 2,y2到直线x=2的距离最小，点C−2,y3到直线x=2的距离最大，且抛物线的开口向上，
所以y3>y1>y2．
故答案为：y3>y1>y2．
本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
11.【答案】π15
【解析】【分析】根据扇形的面积公式S扇形=nπr2360可知S扇形OAB，S扇形ODC，进而可得扇环形的面积．
【详解】解：∵OA=0.1m，∠AOB=100∘，
∴S扇形OAB=100×π×0.12360=π360，
∵AD=0.4m，
∴OD=AD+OA=0.5m，
∴S扇形ODC=100×π×0.52360=5π72，
∴S扇环形=S扇形ODC−S扇形OAB=5π72−π360=24π360=π15m2，
故答案为π15．
本题考查了扇形的面积公式S扇形=nπr2360，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
12.【答案】−2x>−2
【解析】【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当−2因此若y2故答案为：−2本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键．
13.【答案】x(20−x)=75
【解析】【分析】设BC=x米(0【详解】解：设BC=x米(0依题意得：x(20−x)=75，
故答案为：x(20−x)=75．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
14.【答案】【答案】120
【解析】【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n∘，
2π×3=nπ×9180，
解得n=120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故答案为：120．
本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长．
15.【答案】 10+3 2##3 2+ 10
【解析】【分析】如图，连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AQ，由对称的性质可知，AQ=BQ，则▵QAC的周长为AC+AQ+CQ=AC+BQ+CQ，可知当B、Q、C三点共线时，▵QAC的周长最小，将A(1,0),B(−3,0)代入y=−x2+bx+c得，−1+b+c=0−9−3b+c=0，解得，b=−2c=3，则y=−x2−2x+3，当x=0，y=3，即C0,3，由勾股定理得，AC= 1−02+0−32= 10，BC= −3−02+0−32=3 2，进而可求周长最小值．
【详解】解：如图，连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AQ，

由对称的性质可知，AQ=BQ，
∴▵QAC的周长为AC+AQ+CQ=AC+BQ+CQ，
∴当B、Q、C三点共线时，▵QAC的周长最小，
将A(1,0),B(−3,0)代入y=−x2+bx+c得，−1+b+c=0−9−3b+c=0，解得，b=−2c=3,
∴y=−x2−2x+3，
当x=0，y=3，即C0,3，
由勾股定理得，AC= 1−02+0−32= 10，BC= −3−02+0−32=3 2，
∴▵QAC的周长的最小值为AC+BC= 10+3 2，
故答案为： 10+3 2．
本题考查了二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，轴对称的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16.【答案】【答案】4 5−4
【解析】【分析】连接PO，连接OM，交⊙M于点P′，过点M作MQ⊥x轴于点Q，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2PO，结合题意可得当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，根据勾股定理求得OM=2 5，推得OP′=2 5−2，即可求解．
【详解】解：连接PO，如图：连接OM，交⊙M于点P′，过点M作MQ⊥x轴于点Q，

∵PA⊥PB，
∴∠APB=90∘，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
即当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
∵圆心M坐标2,4，
则OQ=2、MQ=4，
∴OM= OQ2+MQ2= 22+42=2 5，
又∵MP′=r=2，
∴OP′=MO−MP′=2 5−2，
∴AB=2OP′=2×2 5−2=4 5−4；
故答案为：4 5−4．
本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时，点P的位置是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−8x=−12，
x2−8x+12=0，
x−6x−2=0，
∴x−6=0或x−2=0，
∴x1=6,x2=2；
(2)∵抛物线解析式为：y=x2+x−2，
∴a=1,b=1,c=−2，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×−2=9>0，
∴抛物线与x轴有两个交点．

【解析】【分析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)根据抛物线与x轴的交点个数与系数的关系，求出Δ=b2−4ac的值，即可判断．
本题主要考查解一元二次方程的能力，抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．
18.【答案】【小问1详解】
证明：由题意，Δ=(m−6)2−4×(−6m)
=m2+12m+36
=(m+6)2≥0．
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
(2)解：解方程x2+(m−6)x−6m=0，得：x1=−m，x2=6．
∵方程有一个实数根小于2，
∴−m<2.
∴m>−2．

【解析】【分析】(1)求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；
(2)先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．
19.【答案】解：(1)由顶点−2,2，可设关系式为：y=ax+22+2，
将点−1,3代入上式可得：−1+22a+2=3，
解得：a=1，
∴此二次函数的关系式为y=x+22+2．
(2)点P1,9不在这个二次函数的图象上．
∵当x=1时，y=1+22+2=11≠9，
∴点P1,9不在这个二次函数的图象上．

【解析】【分析】(1)由题意，设二次函数的解析式是y=ax+22+2，再把点−1,3代入，即可求出a，即可得出解析式；
(2)把点P的 坐标分别代入，看看两边是否相等即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．
20.【答案】(1)平面直角坐标系如图所示：
(2)由平面直角坐标系可知，
圆心M点的坐标为(2,0)，
故答案为(2,0)．


【解析】【分析】(1)根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系；
(2)根据垂径定理、三角形外心的性质解答．
本题考查的是确定圆心的位置，坐标与图形.掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
21.【答案】【详解】(1)将B3,0代入y=mx2+m2+3x−6m+9，
化简得m2+m=0，则m=0(舍)或m=−1，
∴m=−1，
得：y=−x2+4x−3，则C0,−3．
设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b，
将B3,0、C0,−3代入可得0=3k+b−3=b，解得k=1，
则直线BC对应的函数表达式为y=x−3．
(2)如图，过点A作AP1//BC，设直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P3P2，
由(1)得直线BC的解析式为y=x−3，A1,0，
∴直线AG的表达式为y=x−1，
联立y=x−1y=−x2+4x−3,
解得：x=1y=0(舍)，或x=2y=1,
∴P12,1，
由直线AG的表达式可得G−1,0，
∴GC=2，CH=2，
∴直线P3P2的表达式为y=x−5，
联立y=x−5y=−x2+4x−3,
解得：x1=3+ 172y1=−7+ 17,x2=3− 172y2=−7− 17,
∴P33+ 172,−7+ 172，P23− 172,−7− 172，
∴P2,1，P3+ 172,−7+ 172，P3− 172,−7− 172．
(3)如图，取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，
过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ACQ=45∘，
∴AD=CD，
又∵∠ADC=90∘，
∴∠ADF+∠CDE=90∘，
∵∠CDE+∠DCE=90∘，
∴∠DCE=∠ADF，
又∵∠E=∠AFD=90∘，
∴ΔCDE≌ΔDAF，则AF=DE，CE=DF．
设DE=AF=a，
∵OA=1，OF=CE，
∴CE=DF=a+1．
由OC=3，则DF=3−a，即a+1=3−a，解之得，a=1．
所以D2,−2，又C0,−3，
可得直线CD对应的表达式为y=12x−3，
设Qm,12m−3，代入y=−x2+4x−3，
得12m−3=−m2+4m−3，12m=−m2+4m，m2−72m=0，
又m≠0，则m=72.所以Q72,−54．

【解析】【分析】(1)求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；
(2)做点A关于BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线的表达式可求出P1的坐标，设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P3P2，联立方程组即可求出P；
(3)取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，得直线CD对应的表达式为y=12x−3，即可求出结果；
本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设该周末A景点售出x张门票，B景点售出y张门票，
依题意得：x+y=90020x+30y=23000,
解得：x=400y=500．
答：该周末A景点售出400张门票，B景点售出500张门票．
(2)依题意得：20(1−a%)×400(1+12a%)+30(1−25a%)×(500+5a)=23000(1+123a%)，
整理得：a2−40a=0，
解得：a1=40，a2=0(不合题意，舍去)．
答：a的值为40．

【解析】【分析】(1)设该周末A景点售出x张门票，B景点售出y张门票，根据“3月某周末售出A，B两景点的门票共900张，总销售额为23000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据总销售额=销售单价×销售数量，结合A，B两景点门票的总销售额比该周末的总销售额增加了123a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】解：如图，圆P即为所求．


【解析】【分析】本题考查作图—复杂作图，切线的性质，根据切线的定义，得到点P到AC的垂线段为圆P的半径，过点P作AC的垂线，交AC于点D，以点P为圆心，PD为半径画圆，即可．
24.【答案】【小问1详解】
证明：连接AD，
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90∘,
∴AB为圆O的直径；
【小问2详解】
DE与圆O相切，
理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴OD为▵ABC的中位线，
∴OD//BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD,
∵OD为圆的半径，
∴DE与圆O相切；
【小问3详解】
解：∵AB=AC,∠BAC=60∘,，
∴▵ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=12,
连接BF，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB=∠DEC=90∘,
∴AF=CF=6,DE//BF,
∵D为BC中点，
∴E为CF中点，即DE为▵BCF中位线，
在Rt▵ABF中，AB=12,AF=6,根据勾股定理得：
BF=6 3,
∴DE=12BF=3 3．

【解析】【分析】(1)连接AD，由AB=AC,BD=CD，利用等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，利用90∘的圆周角所对的弦为直径即可得证；
(2)DE与圆O相切，理由为：连接OD，由O、D分别为AB、CB中点，利用中位线定理得到OD与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
(3)由AB=AC，且∠BAC=60∘，得到三角形ABC为等边三角形，设AC与⊙O交于点F，连接BF,DE为三角形CBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
此题是圆的综合题，主要考查直线与圆相切的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
25.【答案】【小问1详解】
过点0,1作所在圆的切线可以得到直线y=1,
∴这条直线和⊙O2交于两点，这两点到原点的距离是⊙O2的半径2，

∴OD=OB=2,OA=1，且OA⊥DB，
∴DA=AB= OD2−OA2= 22−12= 3，
∴第一条切线与⊙O2的交点是 3,1,− 3,1;
同理可得与⊙O3的交点是 5,2,− 5,2；
与⊙O4 的 交点是 7,3,− 7,3；
故答案为： 3,1,− 3,1； 5,2,− 5,2； 7,3,− 7,3；
【小问2详解】
由(1)可知，切线与下一个圆的交点有规律，交点坐标为± 2n+1,n，
∵当y=n时，x=± 2n+1,
∴y=12x2−1，
∴交点在函数y=12x2−1的图象上；
【小问3详解】
∵AO=13,
则x+y=13=169，
联立方程组
∵点A在第一象限，
∴x>0,y>0，
解得
∴A5,12，
设圆P的半径是R，且圆P与x轴相切于点5,0,，则圆心坐标为−5,R，
①当R>12时，R−122+5−−52=R2，
解得R=616不满足题意；
②当R<12时，12−R2+5+52=R2，
解得：R=616,满足题意；
综上所述，圆P是以616为半径的圆，圆心坐标为−5,616．

【解析】【分析】(1)过点0,1作所在圆的切线可以得到直线y=1,这条直线和⊙O2交于两点，这两点到原点的距离是⊙O2的半径2，求出该点到y轴的距离为 3，分别求出切线与⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4的交点；
(2)由(1)可以得出切线与圆的交点规律为(± 2n+1,n)，从而得出y=12x2−1；
(3)联立方程组，求出A点坐标，分别讨论当R>12时和R<12时对应圆心坐标．
本题是圆的综合题，考查了横纵坐标的函数关系，切线性质，代数运算，函数与几何的结合，考查了方程思想，分类讨论思想，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．