北京市广渠门中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市广渠门中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共26页。
1. 下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）
A.
B.

C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义，即可进行解答．
【详解】解：A、C、D找不到一个点，使A、C、D绕该点旋转后能与原来的图形重合，故A、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
B能找不到一个点，使B绕该点旋转后能与原来的图形重合，故B是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形识别，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可．
【详解】解：
∴；
故选A．
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据右减上加的规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位得，再向上平移1个单位得到的解析式得．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，由二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可．
【详解】解： 绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是
A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出，即可解答．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
7. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ）

A. 30°B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理．
先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得．
【详解】解：∵，
，
又，
，
故选：D．
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）

A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，，
即，是一次函数；
⊙A的面积为，即，是二次函数
故选C
【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）
9. 请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式；
【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，熟练运用二次函数的顶点式是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是，
故答案为：．
11. 若函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=_____．
【答案】9
【解析】
【详解】由题意得△=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9，
故答案为9.
12. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．则m_____n（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据二次函数图象与性质进行判断即可．
【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴和点都在对称轴的右侧，
当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的与性质是解题的关键．
13. 如图，在中是直径，，，，那么的长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，由垂径定理推出，，由圆周角定理得到，求出，因此，由勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：如图，
∵是直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点的坐标为（2，0），则点B的对应点的坐标为________．
【答案】（0,1）
【解析】
【详解】由图可知：的坐标为（0，1），
故答案为：（0,1）．
15. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格元，第二次降价后的价格为元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．
【详解】解：根据题意，列方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键．
16. 如图，AB是的直径，交于点C，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为6，则长的最大值是__________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质；连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出，根据中位线的性质可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可．
【详解】解：连接，，

∵是⊙的直径，
∴，
∵为的中点，为的中点，则，
∴
∴，
取中点，连接，
∴在以为直径的圆上，
∴当过点重合时，最大，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
三、解答题（本题共68分）
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）把移到方程右边，方程两边同时加上1，然后利用配方法解一元二次方程即可．
（2）把方程右边移到方程左边，然后提公因式，利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
，
18. 已知是方程的根，求代数式的值．
【答案】7
【解析】
【分析】根据方程解的定义得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
19. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，和外一点．
求作：过点的的切线．
作法：如图2，
①连结，作线段的中点；
②以为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和，直线即为所求作的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（_____________）（填推理的依据），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．
【答案】见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】解：补画图形如下，
证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线也是圆的切线．
【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．
20. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

【答案】该门洞的半径为．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，

根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
21. 已知二次函数．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
（2）根据图象回答：时，x的取值范围是_____________；
（3）根据图象回答：当时，y的取值范围是_____________．
【答案】（1）填表见解析，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，是解题的关键：
（1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；
（3）图象法进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴时，，时，，时，
填表如下：
画出函数图象如图：
【小问2详解】
解：由图象可知：时，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由图象可知，当时，y的取值范围是；
故答案为：．
22. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；
（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∵无论m取何值时，，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且．
．
．
【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．
23. 如图，在等腰三角形中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点．

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（3）若为中点，，则的长为 ．
【答案】（1）补图见解析
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）利用旋转画出，连接即可；
（2）根据题意得，，，可推出再证明，即可得出结论；
（3）由勾股定理可求出的长，再判定，最后根据点F为中点，即可求出的长．
【小问1详解】
解：依题意补全图形如下：
；
【小问2详解】
用等式表示线段与的数量关系是：，
证明： 在等腰三角形中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点F为中点，
∴．
24. 如图，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在上．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作于F，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点O作于F，
则四边形为矩形，
有勾股定理得：
．
25. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求所画图象对应的函数表达式；
（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）
（4）72米
【解析】
【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；
（2）观察图象即可；
（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度．
【小问1详解】
坐标系及图象如图所示．
【小问2详解】
由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米．
【小问3详解】
∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），
∴抛物线的对称轴为．
∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）．
设抛物线的函数表达式为．
把（1.0，4.2）代入，解得．
∴所画图象对应的函数表达式为．
【小问4详解】
令，解得（舍），．
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米．
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴正方形护栏的边长至少为18米．
则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏．
【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，在抛物线上，其中．
（1）求该抛物线对称轴；
（2）若，比较的大小；
（3）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式，代入进行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得，抛物线对称轴为直线，由可知抛物线的开口向上，由横坐标越接近对称轴，值越小，计算即可得到答案；
（3）先由二次函数的性质得到，，，再表示出，再结合得出，从而得到，求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
该抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：由（1）可得，抛物线对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
横坐标越接近对称轴，值越小，
，，，
；
【小问3详解】
解：在抛物线上，
，，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
27. 如图，点E是正方形的对角线BD上的一个动点（点E与B，D不重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转90°得，连接与AD交于点M．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）延长与射线交于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）证即可；
（3）过点作交于点，则，由正方形得到平分，，可证明点共圆，则，继而是等腰直角三角形，则，显然，则，而平行得到，故，则．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：由题意得：，
∴，即，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下，
证明：过点作交于点，则
∵四边形是正方形，
∴平分，
∴，
∵
∴，
∴点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”．
（1）如图1，图形W是半径为2的．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点，，中，的“伴随关联点”是 ；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围；
（3）点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）4，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据圆的特点，找出最大值即可；
②根据“伴随关联点”的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得，过点作垂直直线，交于点，
当或时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”；
（3）分别令当点在轴负半轴上时，和点在轴正半轴上时，根据“伴随关联点”的定义，求出的临界值即可．
【小问1详解】
解：①图形W是半径为2的，
图形W上任意两点间的距离的最大值为直径的长，
，
②到圆心的距离为，
的半径为2，
最小值为，
是的“伴随关联点”，
到圆心的距离为，
的半径为2，
的最小值为，
不是的“伴随关联点”，
到圆心的距离为，
的半径为2，
的最小值为，
不是的“伴随关联点”，
在点，，中，的“伴随关联点”是．
【小问2详解】
解：图形W是中心在原点的正方形，且，
正方形的边长为，
正方形中任意两点的距离最值为或的长，
，
过点作垂直直线，交于点，
① 如图，设直线与轴正半轴交于点
当时，，
，
，此时；
② 如图设直线与轴负半轴交于点，
当时，，
，
，此时，
若直线上存在正方形的“伴随关联点”，
则，
【小问3详解】
解：的圆心为，半径为4，
，
直线与x轴、y轴分别交于两点，
令时，，令，
，
当点在轴负半轴上时，
点为线段上离最远的点，
使点到的距离为，
则，
此时，
当点在轴正半轴上时，
点为线段上离最远的点，
使点到的距离为，
则，
，
，
t的取值范围为．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8