北京市广渠门中学2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：依题意可得，，
解得，
故选：B．
3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
4. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为，
故选：B．
5. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A. 1B. 3C. －1D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
6. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为，
即，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
7. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意得到二次函数对称轴为，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
8. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，
则，
解得：，
∴，
∴当时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
二、填空题
9. 若关于的函数是二次函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：2．
11. 以对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为，则C点坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到点A和点C关于原点O对称，然后利用关于原点对称的点的坐标特点求解即可．
【详解】∵的对角线的交点O为原点，
∴点A和点C关于原点O对称，
∵A点坐标为，
∴C点坐标为．
故答案：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______．
【答案】答案不唯一，例如：
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知，且过点，然后问题可求解．
【详解】解：由抛物线开口向下可知，且与y轴交于点，因此符合条件的抛物线表达式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
13. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是2,1，
故答案为：2,1．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，即可得出关于的方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于的方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与轴的交点坐标和一元二次方程的解的关系．
15. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为___________．
【答案】2x>2
【解析】
【分析】观察图像，找到抛物线的图像在直线的下方的部分图像，由此可知不等式的解集．
【详解】解：如下图所示，当2当2不等式的解集为：2故答案为：2【点睛】此题考查了二次函数与不等式，根据两个函数图像的上、下位置关系找出不等式的解集是解此题的关键．
16. 已知函数（）的图象如图所示，现有下列4个结论：

①；
②；
③若，是抛物线上的两点，则当时，；
④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断符号；把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根；
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
∵对称轴在直线轴左侧，
∴同号，，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
∴，故①正确；
②，
当时，
由图象可得，
由图象知，当时，
，
由图象可得，
∴，
即，故②正确；
③，
，
∵，
∴点到对称轴的距离大于点，
∴，故③错误；
④抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴无实数根，故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数 中与函数图象的关系．
三、解答题
17. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：由得，
∴，；
【小问2详解】
解：由得，
配方，得，
即，
开方，得，
∴，．
18. 已知二次函数．
（1）用配方法求函数的顶点坐标；（写过程）
（2）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
（3）根据图象回答下列问题：
①当x______时，y随x的增大而减小；
②当x______时，函数y有最______值，是______；
③当时，x的取值范围是______；
④当时，y的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）补全表格和画图见解析
（3）①；②，大，9；③；④
【解析】
【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）依题意，，即可作答；
（2）运用二次函数的对称性，并补齐表格以及作图，进行作答即可；
（3）结合（2）的图象，运用数形结合思想进行作答即可．
【小问1详解】
解：依题意，
∴函数的顶点坐标；
【小问2详解】
解：依题意，
∵
∴函数的对称轴是
和关于对称轴直线对称
以及和关于对称轴直线对称
∴当，则；当，则
补全表格，
在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．如图所示：
【小问3详解】
解：根据图象回答下列问题：
①当时，y随x的增大而减小；
②当时，函数y有最大值，是9；
③当时，x的取值范围是
④当时，，
当，则；当，则；
∴当时，y的取值范围是．
19. 如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边．连接，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法为解题关键．根据和均为等边三角形，得出，，，，由全等的判定定理“”即可证明，最后由全等的性质即可证明．
【详解】证明：∵ 和均为等边三角形，
∴ ，，，
∴，
∴．
20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式．
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点（2，1），
∴ ．
解得：．
∴ 该抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线的顶点为（3，），
若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3,0），此时满足题意．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
21. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，整体代入是解题的关键．
22. 列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x．
【答案】原正方形铁皮的边长为．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程，再解方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，
解得（不合题意，舍去）．
答：原正方形铁皮的边长为．
23. 已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）且
（2），
【解析】
【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
（2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用公式法即可求出的值．
小问1详解】
关于的方程有两个实数根，
，
解得：且；
【小问2详解】
解：∵k取最大整数，
∴，
∴方程为：，即，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键．
24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，平分可得到，从而可得，从而可证得四边形是平行四边形，结合可证得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质可知，，，根据勾股定理求出，得出，再根据，直角三角形性质可知．
【小问1详解】
证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
∵，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
∴，
，
，
∵在中，，，
，
∴，
，
∴，
∵，
∴为斜边上的中线，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
25. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量x的取值范围是____；
（2）下表是y与x的几组对应值．
则
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）______．
【答案】（1）
（2）
（3）函数图像见解析 （4）该函数没有最大值
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）由图表可知；
（2）根据图表可知当时的函数值为，把代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【小问1详解】
解：由图表可知：，
故答案为：；
【小问2详解】
令，
；
；
【小问3详解】
如图
【小问4详解】
该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为：该函数没有最大值．
26. 已知：二次函数的图象过点和．
（1）求二次函数的表达式及对称轴；
（2）将二次函数的图象在直线上方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点在图象G上，且，画出新函数G的图象，并直接写出m的取值范围．
【答案】（1），抛物线的对称轴为直线．
（2）画图见解析，m的取值范围为或．
【解析】
【分析】（1）把点和代入，根据待定系数法即可求得，再化为顶点式即可得到对称轴方程；
（2）求得翻折部分的解析式，然后令y=0，求得新函数图象G，与x轴的交点，根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：二次函数的图象过点和：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
【小问2详解】
∵，
∴顶点坐标为：，
顶点翻折后成为，
∴翻折部分的解析式为，
点M只能位于x轴上方（含x轴上）的图象上，，
把，代入得，
解得：或，
把，代入得，，
解得或，
根据图象G，可得m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，求得翻折后的函数的解析式是解题的关键．
27. 在中，，点D在边上．
（1）如图1，，判断线段的数量关系，并证明；
（2）在图2中，在线段取一点F，使得，以为斜边向外作等腰直角三形，连接．
①补全图形；
②判断线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1），理由见解析
（2）①图形见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证，得出，，再求出，然后由勾股定理得，，即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②延长交于点，连接、，先证四边形是矩形，得出，，再证是等腰直角三角形，得出，，，然后证，得出，，最后证是等腰直角三角形，即可得出结论．
【小问1详解】
解：（1），理由如下：
，，
，
，，
，
即，
在与中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
；
【小问2详解】
①补全图形，如图2；
②线段与的数量关系为：，证明如下：
如图3，延长交于点，连接、，
，，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质是解题的关键．
28. 发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【解析】
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵，
当时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
…
0
1
…
…
0
5
…
x
…
0
1
…
y
…
0
5
5
0
…
…
1
2
3
…
…


m
…