2023-2024学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x3﹣1
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9B．C．D．9
4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米B．12米C．11米D．10米
7．（3分）y是x的二次函数，其对应值如下表：
下列叙述不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的对称轴是直线x＝1
B．m＝1
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有两个公共点
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
二.填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）______
9．（3分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
10．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则另一个根是 ．
11．（3分）某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为： ．
12．（3分）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则A'的坐标是 ．
13．（3分）若抛物线y＝4x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ．
14．（3分）关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+2x﹣c的图象的顶点在第 象限．
15．（3分）已知点（1，m），（﹣2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，则m n．（填“＞”“＜”或“＝”）
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a+b＞0．下列结论：
①若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最大值；
②若这个函数的图象经过第三象限的点P，则必有a＜0；
③若a＜0，则方程ax2+bx＝0必有一根大于1；
④若a＞0，则当≤x≤1时，必有y随x的增大而增大．
结合图象判断，所有正确结论的序号是 ．
二.解答题（共12小题，共68分）
17．（4分）按要求解下列方程．
（1）用因式分解法解：x2+5x＝0；
（2）用公式法解：x2+3x+1＝0．
18．（4分）小北同学解方程x2﹣2x﹣1＝0的过程如下所示．
解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
解：x2﹣2x＝1…第一步
（x﹣1）2＝1…第二步
x1＝0，x2＝2…第三步
（1）小北同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第 步开始出现错误．
（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．
19．（4分）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．
20．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣10），B（2，8）两点．
（1）求b，c的值；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
21．（4分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
22．（4分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 ．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 ．
23．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD、BD、CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
24．（4分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
25．（5分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x＝2．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x﹣15＝0的正数解（写出必要的思考过程）
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
27．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接BE、CE、DE．过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE＝CE时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF的度数；
（3）联结AF，求证：DE＝AF．
28．（5分）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y＝，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
2023-2024学年北京市东城区广渠门中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）
1．（3分）习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
2．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x3﹣1
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故此选项不合题意；
B、y＝不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y＝3x2+x﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝2x3﹣1不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9B．C．D．9
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m的等式，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．90°
【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE＝90°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠CAD＝180°﹣∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解答本题的关键．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴，
在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
6．（3分）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米B．12米C．11米D．10米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．（3分）y是x的二次函数，其对应值如下表：
下列叙述不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的对称轴是直线x＝1
B．m＝1
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有两个公共点
【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当x＝0时，求出m的值，可以判断B，根据a的值和对称轴确定y随x的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与x轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．
【解答】解：设二次函数为y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x+1，
对称轴为：，故选项A正确，
当x＝0时，y＝1，
∴m＝1，故选项B正确，
∴a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故选项C正确，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴图象与x轴有一个公共点，故选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】先确定点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，再求AP的最小值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠BCN+∠BNC＝90°，
又BN＝AM，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠ABM＝∠BCN，
∴∠ABM+∠BNC＝90°，
∴∠BPC＝∠BPN＝90°，
∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示，
连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小，
在Rt△ABO1中，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．
二.填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）______
9．（3分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则另一个根是 1 ．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之积，把已知根代入计算即可求出另一根．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，设另一根为a，
∴2a＝2，
解得：a＝1，
则另一根是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．（3分）某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为： 400（1﹣x）2＝144 ．
【分析】利用经过两次降价后的出厂价＝原出厂价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：400（1﹣x）2＝144．
故答案为：400（1﹣x）2＝144．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A的坐标为（3，2），将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则A'的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A'的坐标．
【解答】解：如图：
∵将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，
∴A'B'＝AB＝2，OB'＝OB＝3，∠OA'B'＝∠OBA＝90°，
∴A'（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】此题考查了旋转变换、点的坐标及旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的三要素，及旋转的性质：（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，﹣a）．
13．（3分）若抛物线y＝4x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 y＝4（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：平移后的抛物线的解析式是y＝4（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝4（x﹣2）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+2x﹣c的图象的顶点在第 二 象限．
【分析】首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，
∴b2﹣4ac＝4+4c＜0，
故二次函数y＝x2+2x﹣c的图象与x轴没有交点，
∵二次函数y＝x2+2x﹣c的图象开口向上，对称轴为：直线x＝﹣＝﹣1，
∴抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．
15．（3分）已知点（1，m），（﹣2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，则m ＞ n．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】首先得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可判定．
【解答】解：∵y＝ax2+2ax+3（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴点（1，m）关于对称轴的对称点为（﹣3，m），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a+b＞0．下列结论：
①若这个函数的图象经过点（2，0），则它必有最大值；
②若这个函数的图象经过第三象限的点P，则必有a＜0；
③若a＜0，则方程ax2+bx＝0必有一根大于1；
④若a＞0，则当≤x≤1时，必有y随x的增大而增大．
结合图象判断，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据抛物线经过原点和点（1，a+b），然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点和（2，0），且x＝1时，y＝a+b＞0，
∴抛物线开口向下，函数必有最大值，故①正确；
②当顶点在第一象限，则a＜0，当顶点在第三象限，则a＞0，故②错误；
③若a＜0，则抛物线顶点在第一象限，开口向下，
∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1，
∴方程ax2+bx＝0必有一根大于1，故③正确；
④若a＞0，则抛物线顶点在x轴的下方，开口向上，
∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点和（1，a+b），且a+b＞0，
∴抛物线的对称轴﹣＜，
∴当≤x≤1时，必有y随x的增大而增大，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二.解答题（共12小题，共68分）
17．（4分）按要求解下列方程．
（1）用因式分解法解：x2+5x＝0；
（2）用公式法解：x2+3x+1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用求根公式计算即可．
【解答】解：（1）∵x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
则x＝0或x+5＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣5；
（2）∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，
则x＝，即x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18．（4分）小北同学解方程x2﹣2x﹣1＝0的过程如下所示．
解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
解：x2﹣2x＝1…第一步
（x﹣1）2＝1…第二步
x1＝0，x2＝2…第三步
（1）小北同学是用 配方法 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第 二 步开始出现错误．
（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的基本步骤解答即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，小北同学是用配方法来求解的．从第二步出现错误．
故答案为：配方法，二；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法”、公式法、因式分解法是解题的关键．
19．（4分）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．
【分析】把m代入方程得到m2﹣m的值，变形代数式后整体代入得结果．
【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．
∴3﹣2m2+2m
＝3﹣2（m2﹣m）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．
20．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣10），B（2，8）两点．
（1）求b，c的值；
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）依据题意，将A、B代入解析式进行计算可以得解；
（2）由（1）再令y＝0，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）点 A（﹣1，﹣10），B（2，8）代入抛物线，得
，
∴．
（2）∵b＝5，c＝﹣6
∴y＝x2+5x﹣6．
令y＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣6．
∴二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣6，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．
21．（4分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即Δ＞0即可；
（2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
【解答】（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1
＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m）
＝1＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3，
解得m＝﹣3或1．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．
22．（4分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为 ．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）连接AA2，CC2，分别作线段AA2，CC2的垂直平分线，两线相交于点M，则点M为△ABC与△A2B2C2的旋转中心，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为＝．
故答案为：．
（3）如图，连接AA2，CC2，再分别作线段AA2，CC2的垂直平分线，两线相交于点M，
则△ABC是绕点M逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，
∴旋转中心的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
23．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD、BD、CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝4，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝2，
∴AD＝DE＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
24．（4分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ （36﹣3x） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出长BC为（36﹣3x）米；
（2）根据围成的菜地面积为96平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x米，
∴长BC为34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8．
当x＝4时，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合题意，舍去；
当x＝8时，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合题意．
答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（5分）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+5）＝14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x＝2．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正确构图是 ② （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x﹣15＝0的正数解（写出必要的思考过程）
【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；
（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵应构造面积是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x﹣3）＝10，中间的小正方形面积为32，
∴大正方形的面积又可表示为4×10+32＝49，
∴大正方形的边长为7，所以x+x﹣3＝7，
∴x＝5，
故正确构图②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2所示的图形，
图中的大正方形面积是（x+x+2）2，其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2）＝15，中间的小正方形面积为22，
所以大正方形的面积又可表示为4×15+22＝64，进一步可知大正方形的边长为8，所以x+x+2＝8，得x＝3．
【点评】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
【分析】（1）将a＝1，b＝﹣2代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论a＞0与a＜0两种情况．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，
∴抛物线经过原点（0，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，
∵y2＜0，
∴t＞0，
当y3＝y1时，t＝＝，
∵y3＜y1，
∴t＞，
当y3＝0时，t＝＝1，
∴＜t＜1满足题意．
②a＜0时，抛物线开口向下，
∵y2＜0，
∴t＜0，
∴x＞0时，y随x增大而减小，
∴y3＜y2，不符合题意．
综上所述，＜t＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
27．（5分）已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接BE、CE、DE．过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE＝CE时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF的度数是否发生变化？如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF的度数；
（3）联结AF，求证：DE＝AF．
【分析】（1）根据旋转的性质得到BE＝CE，得到△BEC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BCE＝60°，计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠CED＝90°﹣，∠CEB＝45°+，根据平角的定义计算，得到答案；
（3）作AG∥DF，AH∥GF，CI⊥DF，证明矩形AGFH是正方形，得到∠AFH＝∠FAH＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝AF，证明△AHD≌△DIC，根据全等三角形的性质得到AH＝DI，根据等腰三角形的性质得到DE＝2DI，证明结论．
【解答】（1）解：在正方形ABCD中，BC＝CD，
由旋转可知，CE＝CD，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵∠BCD＝90°，
∴α＝∠DCE＝30°；
（2）解：∠BEF的度数不发生变化，
理由如下：在△CED中，CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝＝90°﹣，
在△CEB中，CE＝CB，∠BCE＝90°﹣α，
∴∠CEB＝∠CBE＝＝45°+，
∴∠BEF＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝45°；
（3）证明：过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I，
则四边形AGFH是平行四边形，
∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形，
∵∠BAD＝∠BFP＝90°，∠BPF＝∠APD，
∴∠ABG＝∠ADH．
∵∠AGB＝∠AHD＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADH（AAS），
∴AG＝AH，
∴矩形AGFH是正方形，
∴∠AFH＝∠FAH＝45°，
∴AH＝AF，
∵∠DAH+∠ADH＝∠CDI+∠ADH＝90°，
∴∠DAH＝∠CDI．
∵∠AHD＝∠DIC＝90°，AD＝DC，
∴△AHD≌△DIC（AAS），
∴AH＝DI，
∵CD＝CE，CI⊥DE，
∴DE＝2DI，
∴DE＝2AH＝AF．
【点评】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（5分）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y＝，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ﹣3≤t≤3 ．
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t的不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，
∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；
此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，
当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，
整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，
此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，
解得，m＝，
y＝0时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＞0，
综上，m的值为4或；
（3）根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：y＝，
函数图象如图所示：
当x2＝4时，如图，点Q关于直线x＝2的对称点为Q′（0，y2），关于x＝0的对称点为Q′′（﹣4，y2），
若 当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，
则需满足，
解得﹣3≤t≤3．
故答案为：﹣3≤t≤3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
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