（河北卷）中考数学第二次模拟考试（2份，原卷版+解析版）

这是一份（河北卷）中考数学第二次模拟考试（2份，原卷版+解析版），文件包含河北卷中考数学第二次模拟考试全解全析doc、河北卷中考数学第二次模拟考试考试版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.计算﹣2﹣（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．1C．﹣1D．5
【答案】菁B．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【详解】解：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2.（2020•苏州）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解答此题的关键．
3.如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．米B．米
C．2a•cs32°米D．2a•tan32°米
【答案】D．
【分析】利用32°的正切值表示出BC，利用中点定义可得到所求的线段的长．
【详解】解：在Rt△BDC中，∵∠CDB＝32°，BD＝a米，
∴BC＝BD•tan32°＝a•tan32°，
∵点C是AB的中点，
∴AB＝2BC＝2a•tan32°米，
故电线杆AB的长可表示为2a•tan32°米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
4.下列运算正确的是（ ）
A．22+22＝23B．a4÷a2＝a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．＝5
【答案】菁A．
【分析】A、先根据有理数的乘方计算，可知左边两边相等是8；
B、根据同底数幂的除法底数不变指数相减进行计算；
C、左边是完全平方公式，得三项，右边是平方差公式，不相等；
D、根据二次根式的除法运算，两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
【详解】解：A、22+22＝8＝23，故A正确；
B、a4÷a2＝a4﹣2＝a2，故B错误；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C错误；
D、＝，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，有理数的乘方，完全平方公式，二次根式的除法，熟练掌握公式和法则是关键．
5.（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm
【答案】菁D．
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（ ）
A．n2an+1B．n2an﹣1C．nnan+1D．（n+1）2an
【答案】A．
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【详解】解：∵第1个单项式a2＝12•a1+1，
第2个单项式4a3＝22•a2+1，
第3个单项式9a4＝32•a3+1，
第4个单项式16a5＝42•a4+1，
……
∴第n（n为正整数）个单项式为n2an+1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．
7.如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
A．80°B．100°C．120°D．160°
【答案】菁B．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠1＝40°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8.将有理数682000000用科学记数法表示，其中正确的是（ ）
A．68.2×108B．6.82×108C．6.82×107D．6.82×109
【答案】菁B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：682000000用科学记数法表示为6.82×108，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.（2022•齐齐哈尔模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】菁B．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
10.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）
A．1：B．1：2C．1：D．1：
【答案】D．
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB,
∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,
∴AP＝PE,
∴设AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．
11.已知点A（﹣3，﹣2）沿水平方向向右平移4个单位长度得到点A'．若点A'在直线y＝x+b上，则b的值为（ ）
A．5B．3C．1D．﹣3
【答案】D．
【分析】由点A的坐标及点A′，A之间的关系，可求出点A′的坐标，由点A'在直线y＝x+b上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣2＝1+b，解之即可得出b的值．
【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）沿水平方向向右平移4个单位长度得到点A'，
∴点A′的坐标为（1，﹣2）．
又∵点A'在直线y＝x+b上，
∴﹣2＝1+b，
∴b＝﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣平移，利用点的平移及一次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
12.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】菁B．
【分析】由C是OB的中点推出S△AOB＝2S△AOC，则AB•OB＝4，所以AB•OB＝8，因此k＝8．
【详解】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，
∴△AOB的面积为4，
∵AB⊥x轴，
∴AB•OB＝4，
∴AB•OB＝8，
∴k＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确S△AOB＝2S△AOC是解题的关键．
13.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【答案】菁A．
【分析】根据化简，然后去绝对值化简即可．
【详解】解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握是解题的关键．
14.2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
【答案】C．
【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．
【详解】解：A、单独生产B帐篷所需天数为＝4（天），单独生产C帐篷所需天数为＝1（天），
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；
B、单独生产A帐篷所需天数为＝2（天），
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；
C、单独生产D帐篷所需天数为＝2（天），
∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；
D、单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．
15.若数a使关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为（ ）
A．9B．12C．15D．19
【答案】菁B．
【分析】首先由不等式组，解得，根据已知解集为x≤4，可得a＜8，再由分式方程有非负整数解，从而得出a的取值，再求和即可得解．
【详解】解：解不等式组得，
解得，
由解集x≤4可得＜x≤4，
∵有且仅有4个整数，
∴整数解是1，2，3，4．
∴0≤＜1，解得3≤a＜8，
解方程，
去分母得，x+a﹣2x＝x﹣3，
即﹣2x＝﹣a﹣3，
解得x＝，
由x为非负整数，且x≠3，a为整数且3≤a＜8，
得a＝5，7，
∴符合条件的a的和为5+7＝12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键．
16.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3B．4C．D．5
【答案】菁B．
【分析】连接BD，延长BF、CD交于N，根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质推出∠N＝∠ABF，根据已知条件求出DF＝AF，AE＝BE＝AB＝CD，根据全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DN＝AB，求出BE＝AB＝CN，根据相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根据相似三角形的性质求出＝＝，求出＝＝，求出△BCM的面积即可．
【详解】解：连接BD，延长BF、CD交于N，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴AB＝2BE，DF＝AF，
∴S△ABF＝S△DFB＝S△ABD＝S平行四边形ABCD，
同理S△BCE＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，
∴S四边形AEMF＝S△BCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠N＝∠ABF，
在△DNF和△ABF中
，
∴△DNF≌△ABF（AAS），
∴DN＝AB＝DC，
∴BE＝AB＝CN，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△NCM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵△BEM的面积为1，
∴△BCM的面积是4，
即四边形AEMF的面积是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）
17.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ，q＝ ．
【答案】﹣2；﹣3．
【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值．
【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3，
∴q＝1×（﹣3）＝﹣3，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，
∴﹣p＝4﹣2＝2，
∴p＝﹣2，
故答案为：﹣2；﹣3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
18.我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x，y）．
（1）若（6，y）是“相伴数对”，则y的值为 ；
（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b＝ ．
【答案】菁（1）；（2）．
【分析】（1）根据相伴数对的定义求解．
（2）先建立关于a，b的方程，然后求解．
【详解】解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）∵（a，b）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义，建立相关方程是求解本题的关键．
19.教学实践课上，老师拿出三个边长都为1cm的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”
同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．
（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为 cm；
（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是 cm．
【答案】菁（1）；（2）．
【分析】（1）根据勾股定理求解即可．
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG＝x，则OP＝2﹣x，再根据勾股定理解答．
【详解】解：（1）图1中，对应的圆形硬纸板的最小直径＝＝（cm）．
故答案为：．
（2）如图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG＝x，则OP＝2﹣x，
则有：x2+12＝（2﹣x）2+（）2，
解得：x＝，
则ON＝＝（cm），
∴直径为cm．
故答案为：．
【点睛】此题考查正多边形与圆，解答此题的关键是找出找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
20.（本题满分8分）计算：
（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．
（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）设x＝2t，y＝3t，利用x+y＝15得到2t+3t＝15，然后求出t，从而得到x、y的值；
（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（1）∵x：y＝2：3，
∴设x＝2t，y＝3t，
∵x+y＝15，
∴2t+3t＝15，
解得t＝3，
∴x＝6，y＝9；
（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．也考查了解一元二次方程．
21.（本题满分9分）如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
【分析】（1）先证明∠EAB+∠ABE＝90°，然后再证明∠CBE＝∠EAB，从而可证明∠CBA＝90°；
（2）连接OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到＝＝，即＝，然后解得DG的长即可．
【详解】解：（1）证明：∵AB是半⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°．
∵∠EAB＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE＝90°，即∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OD．
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠BDO．
∴OD∥BE．
∴△GOD∽△GBE．
∴＝．
∵GA＝AO，
∴GA＝AO＝BO，
∴＝＝即＝．
∴GD＝10．
【点睛】本题主要考查的是切线的判定、相似三角形的性质和判定、平行线的判定，证得OD∥BE是解题的关键．
22.（本题满分9分）2022年冬奥会在北京和张家口联合举办．乐乐和果果都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．花样滑冰，B．速度滑冰，C．跳台滑雪，D．自由式滑雪．乐乐和果果计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率为＝．
【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23.（本题满分9分）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离．
【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，则DH＝，即点D到直线AB的距离为；若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6﹣6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣3．
【详解】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH＝BC，
若AC＝6，则BC＝AC•cs45°＝3，此时DH＝，即点D到直线AB的距离为；
若AB＝BC＝6，则DH＝BC＝3，即点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH，
若AB＝AC＝6时，BH＝6，BC＝＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，
∴AD＝6﹣6，即此时点D到直线AB的距离为6﹣6；
若BC＝6，则AB＝BC•cs45°＝3，
∴BH＝3，
∴CH＝6﹣3，
∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3；
综上所述，点D到直线AB的距离为或3或6﹣6或6﹣3．
【点睛】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
24.（本题满分9分）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 ．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y＝﹣x+，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（1，4），
∴点D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为（0，）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE＝＝＝，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E＝＝，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E＝+，
故答案为：+．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
25.（本题满分10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交BC于点E、F．
（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．
（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得BO＝AO＝OC，可得∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，由平行线的性质可证∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，可得结论；
（2）由“SAS”可证△AOD≌△COF，可得AD＝CF；
（3）由相似三角形的性质可得＝，设AC＝2x，由直角三角形的性质和勾股定理求出OB，OA即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，点O为斜边BC的中点，
∴BO＝AO＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠OED＝∠OBA，∠ODE＝∠OAB，∠ODF＝∠OAC，∠OFD＝∠OCA，
∴∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，
∴EO＝DO，FO＝DO，
∴EO＝FO，
∴点O是线段EF的中点；
（2）AD＝CF，理由如下：
∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴OD＝OF，∠AOD＝∠COF，
又∵AO＝CO，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
（3）如图1，旋转前，∵DE∥AB，
∴，
∴，
如图3，旋转后，∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD∽△BOE，
∴＝，
如图3，过点A作AH⊥BC于H，
设AC＝2x，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝60°，BC＝4x，
∵AH⊥BC，
∴∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝x，AH＝CH＝x，
∵点O是斜边BC的三等分点，
∴BO＝x，CO＝，
∴OH＝，
∴AO＝＝＝x，
∴＝＝．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）先由直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点求得A（﹣2，0），B（0，4），再由抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点用待定系数法求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，先求出直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），用含m的代数式表示线段MF的长及△MBC的面积，再根据二次函数的性质求出当△MBC面积最大时点M的坐标；
（3）分两种情况讨论，一是射线BP在直线BP的下方，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，可证明∠PBC+∠OBA＝45°，求出直线BP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P的坐标；二是射线BP′在直线BC的上方，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，先证明∠P′BC+∠OAB＝45°，再求出直线BP′的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出此时点P′的坐标即可．
【详解】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），
∴c＝4，
把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，
抛物线y＝﹣x2+x+4，当y＝0时，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0），OC＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
把C（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），
∴MF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵S△MBC＝OG•MF+CG•MF＝OC•MF，
∴S△MBC＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，
∴点M标为（2，4）．
（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，
∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，
∴∠OBA＝∠OBP，
∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，
设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，
解得n＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
由得，，
∴P（6，﹣8）；
如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），
∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，
∴∠BCE＝∠BCD＝45°，
∵BC＝BC，
∴△BCE≌△BCD（SAS），
∴∠P′BC＝∠PBC，
∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，
设直线BP′的解析式为y＝rx+4，
则4r+4＝2，
解得r＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
由得，，
∴P′（3，），
综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，）．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
菁B
C
D
A
D
A
B
B
B
D
D
B
A
C
B
B