沪教版（五四制）（2024）七年级下册13.4 平行线的判定同步达标检测题

这是一份沪教版（五四制）（2024）七年级下册13.4 平行线的判定同步达标检测题，文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第05讲平行线的判定原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第05讲平行线的判定解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
二．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
三．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
一．平行线（共4小题）
1．（2021春•饶平县校级期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或垂直D．相交或平行
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系判断．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直．
故选：D．
【点评】考查在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系．概念理解题．
2．（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3．（2021春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
【分析】根据直线的位置关系解答．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．
4．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【分析】根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解．
【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
C．直线与角是不同的两个概念，错误；
D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
二．平行公理及推论（共3小题）
5．（2019春•嘉祥县期末）下列说法错误的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【分析】分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；
B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；
C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键．
6．（2020春•崇明区期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】利用对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误；
B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
C、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故错误；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质及平行公理等知识，解题的关键是了解有关的定理及定义，难度不大．
7．（2018春•嘉定区期中）在平面内，下列四个说法中，正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直
B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】依据垂线的性质以及平行公理，即可得出结论．
【解答】解：A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线的性质以及平行公理，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
三．平行线的判定（共14小题）
8．（2020春•华亭市期末）如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠B＝∠DCE
C．∠3＝∠4D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．
【解答】解：A、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理；
B、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理；
C、错误，若∠3＝∠4，则AD∥BE；
D、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．
9．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由∠2＝∠3，根据同位角相等，则两直线平行可证得b∥c，可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，
∴a∥b，
∵∠2＝∠3，
∴b∥c，
∴a∥c，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，则两直线平行”是解决问题的关键．
10．（2021春•普陀区期中）如图，如果∠A+ ∠B ＝180°，那么AD∥BC．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC．
故答案为∠B．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
11．（2021春•浦东新区期中）如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则 DE∥BC ．
【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．
【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，
∴∠CDE＝2∠CDF＝110°，
∵∠C＝70°，
∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°，
∴DE∥BC．
故答案为：DE∥BC．
【点评】本题考查平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定方法是解题关键．
12．（2021春•普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC ，
得∠1＝∠2（ 等量代换 ），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
13．（2021春•上海期中）如图，直线a、b都与直线c相交，其中不能判定a∥b的条件是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠6C．∠1＝∠4D．∠5+∠8＝180°
【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；
B、∠3＝∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，不合题意；
C、∠1＝∠4不能得到a∥b，符合题意；
D、∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，记住同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念，属于中考常考题型．
14．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠AB．∠A＝∠3C．∠1＝∠4D．∠A+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【解答】解：
当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故A不可以；
当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF；∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故B、D都可以；
当∠1＝∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故C可以；
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
15．（2021春•奉贤区期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ 2∠2 （ 角平分线的定义 ）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝ 116 °（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ 180 °．
∴ AD ∥ BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠B＝180°是解题的关键．
16．（2021春•青浦区期中）如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是 ①④ ．
【分析】根据平行线的判定和各个小题中的条件，可以判断是否可以使得a∥b，从而可以解答本题．
【解答】解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；
当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；
当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；
当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2021春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 3 个．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
18．（2021春•普陀区期中）如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．
解：因为CD⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（ 垂直的定义 ）．
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（ 等量代换 ）．
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（ 等式的性质1 ）．
所以DF∥AE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据垂直定义得出∠CDA＝∠DAB，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：因为CD⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（垂直的定义），
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（等式的性质1），
所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
19．（2021春•青浦区期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，说明AB∥CD的理由．
解：因为GH是∠EGC的角平分线（ 已知 ），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（ 角平分线的定义 ）．
因为CD是条直线（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（ 平角的定义 ）．
所以∠IGD＝68°．
因为∠EIB＝68°（已知），
所以 ∠IGD ＝ ∠EIB （ 等量代换 ）．
所以AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决．
【解答】解：因为GH是∠EGC的角平分线（已知），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（角平分线的定义），
因为CD是条直线（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（平角的定义），
所以∠IGD＝68°，
因为∠EIB＝68°（已知），
所以∠IGD＝∠EIB（等量代换），
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，平角的定义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（2021春•普陀区校级月考）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC∥DE．
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，利用已知，等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，故有两直线平行．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC∥DE．
【点评】本题利用了角平分线的性质，以及平行线的判定中内错角相等，两直线平行的知识．
21．（2021春•长沙县期末）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1＝∠2，所以 AE ∥ CF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ 两直线平行，内错角相等 ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ∠3 ＝， ∠4 ＝，
所以 ∠3 ＝ ∠4 ，
所以AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．
【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC＝∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3＝，∠4＝，
所以∠3＝∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
平行线的判定即两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共9小题）
1．（2021春•芝罘区期末）如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（ ）
A．∠A＝∠CFDB．∠BED＝∠EDF
C．∠BED＝∠AD．∠A+∠AFD＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A、当∠A＝∠CFD时，则AB∥DF，不合题意；
B、当∠BED＝∠EDF时，则AB∥DF，不合题意；
C、当∠BED＝∠A时，则AC∥DE，符合题意；
D、当∠A+∠AFD＝180°时，则AB∥DF，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
2．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由∠2＝∠3，根据同位角相等，则两直线平行可证得b∥c，可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，
∴a∥b，
∵∠2＝∠3，
∴b∥c，
∴a∥c，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，则两直线平行”是解决问题的关键．
3．（2020春•杨浦区期末）如图，在下列条件中，能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ABC＝∠ADCD．∠ABC+∠BCD＝180°
【分析】根据内错角相等，两直线平行解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．
4．（2020春•江岸区校级期中）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥cD．若a∥b，b⊥c，则a⊥c
【分析】根据平行线的判定定理及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．
【解答】解：A、根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出本选项正确，不合题意，
B、根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，
C、根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，
D、根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定定理及性质，垂直的性质，关键在于熟练掌握相关的性质定理并做到熟练应用．
5．（2019春•虹口区期末）如图，能推断AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠2＝∠4C．∠3＝∠4+∠5D．∠3＝∠1+∠2
【分析】利用平行线的判定进行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4不能推断AD∥BC，故此选项错误；
B、∠2＝∠4不能推断AB∥DC，故此选项错误；
C、∠3＝∠4+∠5能推断AB∥DC，故此选项正确；
D、∠3＝∠1+∠2不能推断AB∥DC，能推出AB∥CD，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
6．（2019春•花都区期末）如图，能判定直线a∥b的条件是（ ）
A．∠2+∠4＝180°B．∠3＝∠4C．∠1+∠4＝90°D．∠1＝∠4
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．
【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直线a∥b；
B．由∠3＝∠4，不能判定直线a∥b；
C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直线a∥b；
D．由∠1＝∠4，能判定直线a∥b；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7．（2019春•浦东新区期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
C．同旁内角相等，两直线平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】依据平行线的判定，点到直线的距离以及平行公理进行判断即可．
【解答】解：A． 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故本选项错误；
B． 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故本选项正确；
C． 同旁内角互补，两直线平行，故本选项错误；
D． 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，点到直线的距离以及平行公理，解题时注意：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
8．（2019春•普陀区期中）如图，下列推理正确的是（ ）
A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BCB．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC
C．∵∠4+∠D＝180°，∴AD∥BCD．∵∠4+∠B＝180°，∴AD∥BC
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【解答】解：A、由∠2＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项错误；
B、∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，故本选项正确；
C、由∠4+，∠D＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；
D、由∠4+∠B＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行．
9．（2018春•青浦区期中）下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是邻补角
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短
D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补
【分析】依据邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，即可得出结论．
【解答】解：A．有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
C．从直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故本选项错误；
D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故同旁内角互补，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
二．填空题（共3小题）
10．（2014秋•朝阳区期末）在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种： 相交 和 平行 ．
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．
【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故答案为：相交，平行．
【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系，属于基础题，应熟记这一知识点．
11．（2019春•静安区期中）如图，如果∠ABD＝∠CDB，那么 DC ∥ AB ．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DC，AB．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
12．（2018春•青浦区期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的条件是： ①②③④ （把你认为正确的序号填在空格内）．
【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【解答】解：①∠1＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；
②∠3＝∠6可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b；
③∠1＝∠8＝∠2可根据同位角相等，两直线平行得到a∥b；
④∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b；
故答案为①②③④．
【点评】本题考查平行线的判定，记住同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念．
三．解答题（共8小题）
13．（2020春•闵行区校级期中）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠BAE＝∠CPF，求证：AE∥PF．
【分析】由平行线的判定定理得AB∥CD，再由平行线的性质得∠BAP＝∠CPA，由已知得出∠PAE＝∠APF，再由平行线的判定定理得出AE∥PF．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠CPA，
∵∠BAE＝∠CPF，
∴∠PAE＝∠APF，
∴AE∥PF．
【点评】本题考查了平行线的判定定理得出，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
14．（2019春•浦东新区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB∥EF的理由．
【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4＝180°，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF．
【点评】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键．
15．（2020春•闵行区期末）如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，
试说明AB∥CD的理由．
解：因为GH平分∠AGE（已知），
所以∠AGE＝2∠AGH（ 角平分线的定义 ）
同理∠ DMF ＝2∠DMN
因为∠AGH＝∠DMN（已知）
所以∠AGE＝∠ DMF （ 等量代换 ）
又因为∠AGE＝∠FGB （ 对顶角相等 ）
所以∠ DMF ＝∠FGB （ 等量代换 ）
所以AB∥CD （ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义和等量关系可得∠AGE＝∠DMF，再根据对顶角相等和等量关系可得∠DMF＝∠FGB，再根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：因为GH平分∠AGE（已知），
所以∠AGE＝2∠AGH（角平分线的定义）
同理∠DMF＝2∠DMN
因为∠AGH＝∠DMN（已知）
所以∠AGE＝∠DMF（等量代换）
又因为∠AGE＝∠FGB （对顶角相等）
所以∠DMF＝∠FGB （等量代换）
所以AB∥CD （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，DMF，DMF，等量代换，对顶角相等，DMF，等量代换，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
16．（2020春•浦东新区期末）如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB∥EF的理由．
【分析】根据平行线的判定可得EF∥CD，AB∥CD，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠COF+∠C＝180°，
∴EF∥CD，
∵∠C＝∠B，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
【点评】考查了平行线的判定，关键是熟悉同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行的知识点．
17．（2020春•崇明区期中）如图所示，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，请说明AE∥PF的理由．
【分析】先判定PD∥AB，再根据平行线的性质，即可得到∠CPD＝∠CAB，再根据等式性质即可得出∠CPF＝∠CAE，进而判定AE∥PF．
【解答】证明：如图所示，∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴PD∥AB，
∴∠CPD＝∠CAB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠CPD﹣∠2＝∠CAB﹣∠1，即∠CPF＝∠CAE，
∴AE∥PF．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
18．（2019春•静安区期中）已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？
【分析】根据平行线的判断可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠1＝∠DBF，由已知条件和等量关系可得∠DBF+∠BFE＝180°，根据平行线的判定可证明EF∥BD．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DBF，
∵∠1+∠BFE＝180°，
∴∠DBF+∠BFE＝180°，
∴BD∥EF．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
19．（2019春•杨浦区期中）图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° 邻补角的意义
因为∠2+∠3＝180° 已知
所以∠3＝∠4 同角的补角相等
因为 ∠1＝∠3 （已知）
所以∠1＝∠4 等量代换
所以AB∥DE 同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：将∠2的邻补角记作∠4，则
∠2+∠4＝180° （邻补角的意义）
因为∠2+∠3＝180° （已知）
所以∠3＝∠4 （同角的补角相等）
因为∠1＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4 （等量代换）
所以AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
故答案为：邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．
20．（2019春•大埔县期末）如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE＝∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：因为BE平分∠ABC（已知）
所以∠ABE＝∠EBC （ 角平分线的意义 ）
因为∠ABE＝∠AEB （ 已知 ）
所以∠ AEB ＝∠ EBC （ 等量代换 ）
所以AD∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】首先根据已知BE平分∠ABC利用角平分线的意义可得∠ABE＝∠EBC，再有∠ABE＝∠AEB，可根据等量代换得到∠AEB＝∠EBC，再根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC．
【解答】解：因为BE平分∠ABC（已知），
所以∠ABE＝∠EBC（角平分线的意义），
因为∠ABE＝∠AEB （已知），
所以∠AEB＝∠EBC （等量代换），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的意义；已知；AEB；EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2020春•韩城市期末）如图，下列条件能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠3＝∠4
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AD∥BC，符合题意；
B、∵∠1＝∠2，不能判定AD∥BC，不符合题意；
C、∵∠2＝∠3，∴AB∥DC，不符合题意；
D、∵∠3＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定定理解答．
2．（2018春•金山区期中）如图，点E在AB的延长线上，则下列条件中，不能判定AD∥BC是（ ）
A．∠D+∠DCB＝180°B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠4D．∠CBE＝∠DAE
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵∠2＝∠4，
∴CD∥AB，
∴不能判定AD∥BC是选项C，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共2小题）
3．（2020春•广饶县期末）如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可．
【解答】解：用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，两直线平行；
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
4．（2019春•武胜县期末）如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ∠2＝∠4（答案不唯一） ．
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．
【解答】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD．
故答案是：∠2＝∠4 （答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
5．（2019春•奉贤区期末）如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD∥BC．
【分析】由AB与AC垂直，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证．
【解答】证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90°（垂直定义），
又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换），
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，是一道证明题，其中平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．（2018春•浦东新区期中）如图，∠1＝120°，∠BCD＝60°，AD与BC为什么是平行的？（填空回答问题）
将∠1的 邻补角 角记为∠2
∵∠1+∠2＝ 180° ，且∠1＝120°（ 已知）
∴∠2＝ 60° ．
∵∠BCD＝60°，（ 已知 ）
∴∠BCD＝∠ 2 ．
∴AD∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】首先记∠1的邻补角为∠2，得出∠2＝60°，再由∠BCD＝60°，得出∠BCD＝∠2，从而得出AD∥BC．
【解答】证明：将∠1的邻补角记为∠2．
∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝120°（ 已知），
∴∠2＝60°，
∵∠BCD＝60°（ 已知），
∴∠BCD＝∠2，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
故答案分别为：邻补角，180°，60°，已知，2，同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是先由邻补角得出∠2＝60°，再由已知得出∠BCD＝∠2，从而得出AD∥BC．
7．（2017春•浦东新区月考）如图，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，说明AC∥DF．
解：∵∠A＝∠EGC 已知
又∵∠A＝∠D 已知
∴ ∠D ＝ ∠EGC （ 等量代换 ）
∴DF∥AC 同位角相等两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定和性质解答可得．
【解答】解：∵∠A＝∠EGC（已知）
又∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠EGC（等量代换）
∴DF∥AC（同位角相等两直线平行），
故答案为：已知，已知，∠D，∠EGC，等量代换，同位角相等两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定和性质及等量代换是解题的关键．
8．（2017春•浦东新区期中）如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．说明CD∥EF的理由．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出AB∥CD，进而得出CD∥EF．
【解答】解：因为 AB⊥BG，CD⊥BG （已知），
所以∠B＝90°，∠CDG＝90°（垂直的意义），
所以∠B＝∠CDG （等量代换），
所以AB∥CD （同位角相等，两直线平行），
因为∠A+∠AEF＝180° （已知），
所以AB∥EF （同旁内角互补，两直线平行），
所以 CD∥EF（平行线的传递性）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出AB∥CD 是解题关键．
9．（2016春•闸北区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．说明AB∥DC的理由．
解：∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC
∴∠ 1 ＝∠ 2 ．（等量代换）
∵∠1＝∠3， （已知）
∴∠2＝ ∠3 ． （等量代换）
∴ CD ∥ AB ． （内错角相等，两直线平行） ．
【分析】首先根据角平分线定义可证明∠1＝∠2，进而利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC
∵∠1＝∠2．
∵∠1＝∠3，（已知）
∴∠2＝3．（等量代换）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定以及角平分线的性质，正确把握平行线的判定方法是解题关键．
10．（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
11．（2021春•华容县期末）如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？
【分析】先用角平分线的性质得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再用∠1与∠2互余，即可得到∠ABD与∠BDC互补．
【解答】解：直线AB，CD平行．
证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的意义，解本题的关键是用角平分线的意义得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2．
12．（2021春•浏阳市期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC．
【分析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出∠1＝∠3，再用∠1＝∠2代换，最后用内错角相等得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．
【点评】此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直线的两直线平行，解本题的关键是判断出AD∥EF．
13．（2021春•饶平县校级期末）（1）完成下列推理，并填写理由
已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO
证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（ 垂直的定义 ）
∵DE∥BO（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠EDO＝ ∠DOB （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠CFB＝∠EDO（ 已知 ）
∴∠DOF＝∠CFB（ 等量代换 ）
∴CF∥DO（ 同位角相等，两直线平行 ）
（2）如图，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，请问∠B＝∠D吗？为什么？
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DEA＝∠BOA，根据平行线的判定得到DE∥BO，利用平行线的性质得到∠EDO＝∠DOB，等量代换得到∠DOF＝∠CFB，根据平行线的判定得到结论；
（2）首先由平行线的性质得∠A＝∠C，由AE＝CF可得AF＝CE，利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定义）
∵DE∥BO（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDO＝∠DOB（两直线平行，内错角相等）
又∵∠CFB＝∠EDO（已知）
∴∠DOF＝∠CFB（等量代换）
∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DOB；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行
（2）解：∠B＝∠D．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定以及全等三角形的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．