初中数学12.1 实数的概念练习

这是一份初中数学12.1 实数的概念练习，文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第01讲实数的概念及数的开方原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第01讲实数的概念及数的开方解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、实数的概念
1、无限不循环的小数叫做无理数．
注意：
1)整数和分数统称为有理数；
2)圆周率π是一个无理数．
2、无理数也有正、负之分．
如、、等这样的数叫做正无理数；
、、这样的数叫做负无理数；
只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．
3、有理数和无理数统称为实数．
（1）按定义分类
（2）按性质符号分类
二、数的开方
开平方：
定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．
如，，的平方根是．
说明：
只有非负数才有平方根，负数没有平方根；
平方和开平方互为逆运算．
算术平方根：
正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．
★注意：
1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；
2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；
3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．
开立方：
1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．
2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．
★注意：
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；
零的立方根是0；
一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．
开次方：
1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．
如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．
当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．
★注意：
实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；
正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；
负数的偶次方根不存在；
零的次方根等于零，表示为．
三、数的方根的非负性
数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；
应用：与整式、分式的综合应用．
考点一：实数的概念
【例题1】．（2019·上海市香山中学七年级期中）下列说法中，正确的是( )
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【答案】C
【分析】根据实数的概念即可判断
【详解】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选C．
【点睛】本题考查实数的概念，解题关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．
【变式训练1】．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 _____________________。
【答案】2个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】解：=1，=1，=2，
所以无理数有：、0.1010010001…，共2个．故答案为：2个．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
考点二：数的开方
【例题2】（2019·上海市光明中学七年级期中）下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义分别计算可得出正确选项.
【详解】A选项，正确；B选项，负数没有平方根，故错误；C选项，，故C错误；D选项，，故D错误.所以选A.
【点睛】本题考查了算术平方根的计算，属于基础题，掌握基本概念是关键.
【变式训练1】（2019·上海浦东新区·七年级月考）下列结论正确的是（ ）
A．；B．没有平方根C．的平方根是D．的平方是.
【答案】D
【分析】根据平方根，算术平方根的定义以及有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，故本选项错误；、时，有平方根，故本选项错误；
、，的平方根是，故本选项错误；
、9的平方是81正确，故本选项正确．故选：．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根的定义，有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式训练2】（2019·上海市市西初级中学七年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根、有理数的乘方运算逐项判断即可．
【详解】A、，此项正确 B、，此项错误
C、，无意义，此项错误 D、，此项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、有理数的乘方运算，熟记运算法则是解题关键．
【变式训练3】（2019·上海市中国中学七年级期中）下列计算正确的是( )
A．=±4B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根和绝对值的性质判断各选项即可.
【详解】解：A. =4，故该选项错误；B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；D. ，正确，故选：D.
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的性质，关键是掌握.
【例题3】（2021·上海九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根不存在B．平方根等于本身的数有0，1
C．是36的算术平方根D．立方根等于本身的数有－1，0，1
【答案】D
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、，立方根是2，存在，故本选项错误；
B、平方根等于本身的数是0，故本选项错误；
C、6是36的算术平方根，故本选项错误；
D、立方根等于本身的数有－1，0，1，故本选项正确；故选D．
【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，任何实数都有立方根．
【变式训练1】（2021·上海九年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是±B．﹣9是81的一个平方根
C．的算术平方根是4D．＝﹣3
【答案】C
【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义、以及立方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、因为（±）2＝，所以的平方根是±，故该选项说法正确；
B、因为（﹣9）2＝81，所以﹣9是81的一个平方根，关系选项说法正确；
C、因为＝4，所以的算术平方根2，不是4，故该选项说法错误；
D、因为（﹣3）3＝﹣27，所以＝﹣3，故该选项说法正确；故选择：C．
【点睛】本题考查有关平方根，算术平方根，立方根问题，关键是掌握平方根的性质，算术平方根性质，以及立方根性质，会用性质进行审误．
【变式训练2】（2021·上海九年级专题练习）7的平方根是______，______．
【答案】 4
【分析】根据平方根的定义和立方根的定义即可得到答案．
【详解】解：7的平方根是，，故答案为：；4．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，属于基础题，要注意符号．
【例题4】（2020·上海杨浦区·期末）方程的解是__________．
【答案】
【分析】先移项，再开立方即可．
【详解】解：，，，故答案为：．
【变式训练1】（2020·上海金山区·月考）方程的根是_______________
【答案】
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，∴ｘ＝=-2，故答案为x=-2．
【点睛】本题考了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解答本题的关键．
【例题5】（2018·上海虹口区·期末）计算：__________．
【答案】
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
【详解】解：∵，∴，故答案为：-2
【点睛】本题主要考查乘方运算和开方运算的互逆关系，常常借助乘方运算求数的开方运算.
【变式训练1】（2019·上海杨浦区·七年级期末）1的四次方根是___________．
【答案】±1
【分析】根据(±1)4=1，即可得到答案．
【详解】∵(±1)4=1，∴1的四次方根是：±1．故答案是：±1．
【点睛】本题主要考查四次方根的意义，掌握四次方运算与开四次方运算是互逆运算，是解题的关键．
考点三：方根的非负性
【例题6】当x取何值时，下列各式有意义：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★★
【解析】（1）；（2）为任意实数；（3）；（4）；
（5）；（6）为奇数时，a取一切实数；为偶数时，．
【总结】本题考查实数的方根有意义的条件．
【变式训练1】若有意义，则=__________．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由题意知：，所以．
【总结】本题考查实数的方根有意义的条件及运算．
【变式训练2】互为相反数，求2x-5y的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：与互为相反数，所以+=0， 所以．
【总结】本题考查实数的奇次方根互为相反数的条件．
【变式训练3】已知，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：， 解得：， 所以．
【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．
【变式训练5】已知y=，求xy的平方根．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意知：，所以，所以xy的平方根是．
【总结】本题考查实数的平方根的有意义的条件及求实数的平方根．
1.为什么是无理数?请说明理由．
【难度】★★★
【解析】假设是有理数，则能写成两个整数之比的形式：，
又因为p、q没有公因数可以约去，所以是最简分数．
把两边平方，得，即．
由于是3的倍数，则p必定是3的倍数．
设， 则， 同理q必然也是3的倍数，设，
既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设是最简分数矛盾，故是无理数．
【总结】考查对无理数的理解及证明．
2.已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．
（1）_______；（2）____________；
（3）_________；（4）______________；
（5）___________；（6）_____________．
【难度】★★★
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．
3.填写下表，并回答问题：
数a与它的立方根的小数点的移动有何规律?
根据这个规律，若已知，求a的值．
【难度】★★★
【解析】（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点
相应地向右或向左移动一位；
（2）由（1）总结的规律可知：．
【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．
4.阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.
（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 ______21 ；②23______32 ；③34______43；④45______54； ⑤56______65；
⑥67______76； ⑦78______87．
（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系: ______
（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．
【难度】★★★
【答案】（1）①；⑤>；⑥>；⑦>：
（2）当n =1或2时，nn＋12的整数时，nn＋1>（n＋1）n；
（3）>．
【解析】（1）①12 < 21 ；②2343；④45>54； ⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；
（2）当n=1或2时，nn＋12的整数时，nn＋1>（n＋1）n；
（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．
【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。
5.（2020·山西吕梁市·七年级期中）（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．
【答案】（1）48；（2）28
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）第一步：，，，
，能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：，，，
，能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
而，则，可得，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
即，故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
6．（2019·厦门市湖滨中学七年级期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .
请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
【答案】（1）7；2；27；（2）见解析.
【分析】(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.
【详解】(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，
故答案为：7，2，27；
(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；
验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；
先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.
【点睛】本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.
7.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】移项得：，即，
所以， 解得：， 所以．
【总结】本题考查绝对值与平方根的非负性及相关运算．
8.当时，求的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】原式=．
【总结】本题考查实数的计算．
9.设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，
又因为，．
所以，把a=0代入已知条件得：，
所以原式=．
【总结】本题考查平方根有意义的条件及实数的运算．
10.已知，求x的个位数字．
【难度】★★★
【答案】6．
【解析】由题意，得：， 解得：，代入原式得：，
因为，发现个位数字都是6，故x的个位数字为6．
【总结】本题综合性较强，主要考查绝对值与实数的混合计算，注意总结规律．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2020·上海浦东新区·七年级期末）下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐一判断即可得．
【详解】解：在所列实数中，无理数有这2个，故选：A．
【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．任意一个数算术平方根是正数B．只有正数才有算术平方根
C．因为3的平方是9，所以9的平方根是3D．-1是1的平方根
【答案】D
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】解：A.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故A选项错误；
B.0也有算术平方根，是0，故B选项错误；
C.应为3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C选项错误；
D.-1是1的平方根，故D选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及平方根的定义，是基础题，需要熟练掌握．
3．（2020·上海市中国中学七年级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是2B．负数没有立方根
C．零没有平方根D．任意一个实数都有立方根
【答案】D
【分析】分别根据平方根及立方根的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、的平方根是2，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项错误；
C、0的平方根是0，故本选项错误；
D、符合立方根的性质，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键．
4．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是 _____________________。
【答案】2个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】解：=1，=1，=2，
所以无理数有：、0.1010010001…，共2个．故答案为：2个．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．（2020·上海市民办立达中学七年级月考），，，则_______________；
【答案】
【分析】将根号下的小数转化为分数，再计算立方根，结合题目给的关系式即可得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的性质，比较简单．
6．（2019·上海崇明区·）计算：__________．
【答案】
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
【详解】解：∵，∴，故答案为：-2
【点睛】本题主要考查乘方运算和开方运算的互逆关系，常常借助乘方运算求数的开方运算.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2018·上海金山区·七年级期中）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】A、B、C按照算术平方根，D按照指数幂的运算法则运算即可．
【详解】A. ，故此项错误； B. ，故此项正确；
C. ，故此项错误； D. ，故此项错误．故答案选B．
【点睛】本题考查了算术平方根，指数幂的运算法则,熟悉法则是解答此题的关键．
2．（2019·上海市江宁学校）下列说法正确的是（ ）
A．是0.5的平方根 B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0
C．的平方根是7 D．负数有一个平方根
【答案】B
【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．
【详解】A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；
B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；
C、72的平方根为±7，所以C选项错误；D、负数没有平方根．故选B．
【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）；0的平方根为0．
3．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）下列说法中，错误的是
A．一个正数的两个平方根的和为零B．任意一个实数都有奇次方根
C．平方根和立方根相等的数只有零D．的4次方根是
【答案】D
【分析】根据平方根、立方根、开方的定义和性质对每一项分别进行分析即可．
【详解】A．一个正数的两个平方根的和为零，故本选项正确；
B．任意一个实数都有奇次方根，故本选项正确；
C．平方根和立方根相等的数只有零，故本选项正确；
D．m（m＞0）的4次方根是±，故本选项错误．故选D．
【点睛】本题考查了实数，用到的知识点是平方根、立方根、开方，熟练掌握课本中的有关定义和性质是本题的关键．
4．（2019·上海浦东新区·七年级期中）如果x取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是( )
A．xB．C．D．|3x＋2|
【答案】C
【分析】利用平方根有意义的条件以及绝对值有意义的条件进而分析求出即可．
【详解】A.x可以取全体实数，不符合题意;B. ≥0, 不符合题意;
C. >0, 符合题意;D. |3x＋2|≥0, 不符合题意.故选C.
【点睛】本题考查了平方根和绝对值有意义的条件，正确把握平方根和绝对值有意义的条件是解题关键．
5．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）下列说法正确的是( )
A．平方根是本身的数只有0;B．立方根是本身的数只有0和1;
C．绝对值是本身的数只有0和1;D．相反数是本身的数只有0和1.
【答案】A
【分析】分别根据平方根，立方根，绝对值，相反数的定义即可得出答案.
【详解】解：平方根是本身的数有O，故A正确；立方根是本身的数只有0、1和-1，故B错误；绝对值是本身的数是非负数，故C错误；相反数是本身的数只有0，故D错误. 故答案为A.
【点睛】本题考查了平方根，立方根，绝对值，相反数的定义，灵活运用定义是解题的关键.
6．（2019·上海全国·七年级单元测试）–27的立方根与的平方根之和是
A．0B．–6
C．0或–6D．6
【答案】C
【分析】根据立方根的定义求得-27的立方根是-3，根据平方根的性质，的平方根是±3，由此即可得到它们的和．
【详解】∵-27的立方根是-3，而=9，9的平方根是±3，
所以它们的和为0或-6．故选C．
【点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
7．（2019·上海七年级课时练习）下列说法中正确的有（ ）个.
① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是，的立方根是。
③如果 ，那么x＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据平方根、立方根、乘方的定义以及性质逐一进行分析判断即可.
【详解】① 负数没有平方根，但负数有立方根，正确；
②的平方根是，的立方根是，故②错误；
③任何实数的平方都不可能为负数，故③错误；
④算术平方根等于立方根的数有0、1，故④错误，
所以正确的有1个，故选A.
【点睛】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解题的关键.
8．（2018·上海七年级零模）下列说法正确的是（ ）
A．﹣81平方根是﹣9 B．的平方根是±9
C．平方根等于它本身的数是1和0 D．一定是正数
【答案】D
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．
【详解】A、﹣81没有平方根，故A选项错误；B、＝9的平方根是±3，故B选项错误；
C、平方根等于它本身的数是0，故C选项错误；D、一定是正数，故D选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．
9．（2019·上海全国·七年级单元测试）下列各数：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的个数是( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】由于负数没有平方根，先计算所给的数，再根据平方根的定义即可判断．
【详解】∵（-5）2=25＞0，-4＜0，-|-16|=-16＜0，
题中数据非负数有0，32，（-5）2=25，π，共4个．故选B．
【点睛】本题主要考查了平方根定义的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
二、填空题
10．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）的立方根是___________．
【答案】2
【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
11．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）的值是_________；的立方根是_________．
【答案】16
【分析】根据平方根和立方根的定义进行解答．
【详解】，，∴的立方根是
故答案为：16；．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的问题，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
12．（2019·上海市三门中学七年级期中）下列各式中：①；②；③；④期中正确的有____________.（填写序号）
【答案】④.
【分析】根据立方根，合并同类项，完全平方公式，进行计算即可；
【详解】①，故错误；②，不是同类项不能合并，故错误；③，故错误；④，故正确；故答案为：④.
【点睛】此题考查立方根，合并同类项，完全平方公式，解题关键在于掌握运算法则.
13．（2016·上海奉贤区·七年级期中）若的立方根等于，则=______.
【答案】0或±1
【分析】根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0分析解答节课
【详解】∵0的立方根是0,1的立方根是1，-1的立方根是-1
∴立方根等于它本身的数是0或者±1
【点睛】本题的关键是掌握立方根的性质
14．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）25的立方根是__________________
【答案】
【分析】根据立方根的定义即可解答.
【详解】解：25的立方根是，故答案为.
【点睛】本题考查了立方根的定义，25是一个完全平方数，是对解答的一个诱导，这是本题易错的原因.
15．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如果的平方根是，则_________
【答案】81
【分析】根据平方根的定义即可求解.
【详解】∵9的平方根为，∴=9，所以a=81
【点睛】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根的定义.
16．（2018·上海松江区·七年级期末）若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．
【答案】
【分析】根据平方根的定义即可求解.
【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质.
17．（2019·上海虹口区·七年级月考）一个棱长为1dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，则这个新正方体的棱长是______dm.
【答案】
【分析】首先根据题意求出正方体的体积，再求立方根即可得出结果．
【详解】∵2×13=2(dm3)，∴新正方体的棱长是dm3．故答案为.
【点睛】本题考查了正方体的体积、立方根；熟练掌握立方根的概念，根据题意求出正方体的体积是解决问题的关键．
18．（2019·上海虹口区·七年级月考）学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为_______.
【答案】48米
【分析】正方形的面积等于边长的平方，所以边长应该是面积的算术平方根，而正方形的周长是边长的4倍，由此可以求出篱笆的长度.
【详解】∵正方形花圃的面积为144平方米，∴正方形花圃的边长为12米，
因此，所需要准备竹篱笆的长度为：12×4=48（米）.故答案为48米.
【点睛】本题考查了算术平方根的应用以及正方形的性质.
19．（2019·上海虹口区·七年级月考）已知｜a+2｜=0，那么=______.
【答案】2
【分析】由于|a+2|≥0，≥0，而|a+2|=0，由此即可得到|a+2|=0，=0，接着可以求出a、b的值，然后代入所求代数式即可求出结果．
【详解】∵|a+2|≥0，≥0，|a+2|+=0，∴|a+2|=0，=0，
∴a+2=0，b-10=0，∴a=-2，b=10，∴．故答案为2．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质确定待定的字母的取值，然后代入所求代数式计算即可解决问题．
题组C 培优拔尖练
1．（2019·上海全国·七年级单元测试）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
2．（2019·上海市江宁学校）已知，求的平方根。
【答案】
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，可以列出方程求得a和b的值，进而求出的值，再算出平方根即可.
【详解】∵，∴a-24=0, ,
解得：a=24, ,∴=24+=49,∴的平方根为.故答案为：.
【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，平方根的定义，根据已知条件列出方程是解题的关键.
3．（2019·上海七年级课时练习）已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．
【答案】2
【分析】先根据求出a的值，然后代入计算即可.
【详解】解：∵
∴当≥0时，原式＝＋＋＝0，解得＝0,
｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.
当＜0时，原式＝－＋＝0，解得＝0，
｜－1|＋｜＋1｜＝1＋1＝2.
【点睛】本题考查了立方根和算术平方根的定义，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键.
4．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）若实数使得与互为相反数,求的四次方根.
【答案】±2
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，及绝对值、算术平方根的非负性，可得出x、y的值，代入计算即可．
【详解】∵与互为相反数，∴0，∴，解得：，∴xy=16，16的四次方根为±2．
【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，解答本题的关键是根据相反数的定义得出方程．
5．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）已知：,求的值。
【答案】4
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计算即可．
【详解】解：由题意可知：， ，
所以4x+2y=16，所以==4.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和数的开方，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．（2019·上海浦东新区·七年级期中）已知，，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根和立方根的性质求出a，b的值，进而再求的平方根即可.
【详解】∵，，∴，．
∴.
【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．
7．（2019·上海浦东新区·七年级月考）若，求的4次方根
【答案】yx的4次方根为
【分析】根据非负数的意义，求出x、y的值，然后代入求解即可.
【详解】因为0,所以x-2=0，y-4=0,解得x=2，y=4,
所以=42=（±2）4 所以yx的4次方根为.
8．（2019·上海浦东新区·七年级月考）若正数M的两个平方根是和，试求和M的值.
【答案】a=2,M=9
【分析】根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可列方程求解.
【详解】因为正数M的两个平方根是和,所以3a-3+2a-7=0,
解得a=2,所以M=（3a-3）2=32=9.
9．（2019·上海市中国中学七年级期中）如图，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，体积为．
求出这个魔方的棱长．
图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
【答案】（1）4cm；（2）阴影部分面积为：边长为cm.
【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；
（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．
【详解】（1）（cm）．
（2）∵魔方的棱长为4cm，∴小立方体的棱长为2cm，∴阴影部分面积为：×2×2×4=8（cm2），边长为：=（cm）．
【点睛】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．
10．（2019·上海浦东新区·七年级月考）先阅读下列材料，再回答相应的问题
若与同时成立，则x的值应是多少？
有下面的解题过程：
由于与都是算术平方根，故两者的被开方数与均为非负数.而与互为相反数，两个非负数互为相反数，只有一种情形，那便是，所以.
问题：已知，求的值.
【答案】
【分析】根据阅读的解题过程，可类比求解即可求出x、y的值，代入求解即可.
【详解】由于与都是算术平方根，
故两者的被开方数与均为非负数，
而与互为相反数，两个非负数互为相反数，只有一种情形，那便是，，所以，y=2，代入即可得==.
a
…
0.000001
0.001
1
1000
1000000
…….
…
…