沪教版（五四制）（2024）七年级下册14.1 三角形的有关概念一课一练

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一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
三．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
四．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
五．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略。
一．三角形（共2小题）
1．（2018春•浦东新区期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（ ）
A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形
B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形
C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形
D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形
二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）
3．（2021春•惠来县期末）三角形的角平分线、中线、高都是（ ）
A．直线B．线段C．射线D．以上都不对
4．（2020•奉贤区二模）如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
5．（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在 ．
6．（2021春•阳谷县期末）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条．
7．（2017春•辉县市期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
三．三角形的面积（共8小题）
8．（2021秋•浦东新区校级月考）如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（ ）
A．周长扩大4倍，面积扩大2倍
B．周长扩大2倍，面积扩大4倍
C．周长扩大4倍，面积扩大4倍
D．周长扩大4倍，面积扩大16倍
9．（2021春•浦东新区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积．
10．（2020秋•宝山区期末）如图，△ABC经过平移后得到△DEF，下列说法：
①AB∥DE；
②AD＝BE；
③∠ACB＝∠DFE；
④△ABC和△DEF的面积相等；
⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面积相等，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．（2021秋•浦东新区校级月考）如图：△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝ ．
12．（2021秋•松江区校级期中）如图，△ABC和△A1B1C1中，A1B1∥AB，A1C1∥AC，C1为OC的中点，△A1B1C1面积是5，则△ABC的面积为（ ）
A．10B．20C．25D．50
13．（2021秋•虹口区校级月考）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，AE＝EB，，BD与CE交于点F，S△ABC＝40，则S四边形AEFD＝ ．
14．（2020秋•普陀区期中）在长力形ABCD中，AB＝3a厘米，BC＝a厘米，点P沿边AB从点A开始向终点B以2厘米/秒的速度移动，到达终点后停止；点Q沿边DA从点D开始向终点A以1厘米/秒的速度移动，到达终点后停止，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，试解决下列问题：
（1）用含有a、t的代数式表示三角形APC的面积；
（2）用含有a、t的代数式表示三角形PQC的面积．
15．（2020秋•浦东新区期末）如图，直角三角形△ABC的直角顶点为C，且AC＝5，BC＝12，AB＝13，将此三角形绕点A顺时针旋转90°到直角三角形AB′C′的位置．（结果保留π）
（1）求运动过程中点B和点C经过的路径之和；
（2）求△ABC扫过的面积．
四．三角形的稳定性（共2小题）
16．（2021秋•新化县期末）我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
17．（2014春•惠安县期末）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 ．
五．三角形三边关系（共4小题）
18．（2021春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10B．13C．14D．15
19．（2021秋•怀柔区期末）已知三角形的两边长分别是4和6，则第三条边长x的取值范围是 ．
20．（2018秋•静安区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．
21．（2019春•浦东新区期末）如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2020•奉贤区二模）如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
2．（2020春•虹口区期末）一个三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，那么第三边的长可以是（ ）
A．11厘米B．4厘米C．2厘米D．13厘米
3．（2021•松江区二模）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．4B．5C．10D．15
4．（2020春•嘉定区期末）现有1cm、3cm、5cm、6cm长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2020春•奉贤区期末）有长为2cm，3cm，4cm，6cm的四根木棒，选其中的三根作为三角形的边，可以圈成的三角形的有几种可能？（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二．填空题（共14小题）
6．（2020秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，BC边上的高AD和中线AE及∠BAC的平分线AF将∠BAC四等分，则∠EAD＝ ．
7．（2021春•奉贤区期末）如图，AD∥BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ．
8．（2021春•杨浦区期中）如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是 厘米．
9．（2021春•奉贤区期中）如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是 ．
10．（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在 ．
11．（2021秋•浦东新区校级月考）如图：△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则S△ADE：S四边形DEFG：S四边形BCGF＝ ．
12．（2021春•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，AE⊥BD，如果△ABC的面积是12，那么△ABE的面积是 ．
13．（2021•浦东新区模拟）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为 ．
14．（2021春•杨浦区期末）如果三角形的三条边长分别为2、x、6，那么x的取值范围是 ．
15．（2020春•虹口区期末）如图，AD∥BC，△ADE的面积等于2，△BEC的面积等于6，则△ABE的面积是 ．
16．（2019秋•浦东新区期末）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC＝6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF＝ cm．
17．（2021春•闵行区校级月考）若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
18．（2021春•浦东新区期中）不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是 ．
19．（2020春•浦东新区期末）△ABC中三边长分别为a，b，c，已知a＝5，b＝8，则第三边c的取值范围是 ．
三．解答题（共3小题）
20．（2019秋•静安区校级月考）已知：如图所示，△ABC中，D、E分别在边AC、AB上，CD＝3AD，BE：AE＝3：2，求DF：FB的值．
21．（2018春•长宁区期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点（B在A的右侧），MN＝4，MA＝1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．求x的取值范围．
22．（2019秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值．
题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．（2021春•奉贤区期中）下列三条线段能组成三角形的是（ ）
A．7、17、10B．17、10、24C．24、17、6D．2、2、
2．（2021•金山区二模）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1B．2C．4D．7
3．（2020春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2014•徐汇区校级自主招生）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关
二．填空题（共7小题）
5．（2021春•上海期中）如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，△ABC的面积为3，则△CAD的面积为 ．
6．（2021春•浦东新区期中）如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是 ．
7．（2020春•金山区期末）已知三角形的三边长分别为3cm，xcm和7cm，那么x的取值范围是 ．
8．（2018春•奉贤区期中）如图，AD∥BC，AC、BD相交于点E，△ABE的面积等于2，△BEC的面积等于5，那么△BCD的面积是 ．
9．（2018春•浦东新区期中）已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是 ．
10．（2019•徐汇区校级自主招生）求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为 个．
11．（2019春•普陀区期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝，则阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共8小题）
12．（2019秋•徐汇区校级期中）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
13．（2018秋•静安区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、C分别与点E、F对应），如果BF的长为12，点E在边BC上，且2＜EC＜4，求边BC长的取值范围．
14．（2019春•浦东新区期末）如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长．
15．（2018秋•浦东新区期中）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．
（1）三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”）
（2）如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；
（3）如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有 个．
16．（2018秋•浦东新区月考）如图，△ABC中，E是BC中点，AD＝3BD，已知S△BDE＝6，求S△ABC．
17．（2018春•静安区期中）如图，已知AD∥BC．
（1）找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由．
（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案）
18．（2017春•辉县市期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
19．（2017秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，满足∠CDB＝2∠B．
（1）求证：AB＝2CD；
（2）若AD：DB＝1：5，且△ABC的面积为，试求边AB的长度．