沪教版（五四制）（2024）七年级下册12.7 分数指数幂达标测试

这是一份沪教版（五四制）（2024）七年级下册12.7 分数指数幂达标测试，文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第03讲有效数字与分数指数幂原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第03讲有效数字与分数指数幂解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
一、有效数字
1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．
2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．
☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．
☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）
3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．
☆近似数的精确度通常有两种表示方法：
精确到哪一个数位；
保留几个有效数字．
4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
二、分数指数幂
有理数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：
，，其中、为正整数，．
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数．
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．
有理数指数幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么
（1），；
（2）；
（3），．
三、实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
；；；．
考点一：有效数字
【例题1】一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．
【难度】★
【答案】； ； 四； 1、7、3、2．
【解析】，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．
【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.
【变式训练1】写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?
1)2000； 2）4.523亿；3）；4）0.00125．
【难度】★
【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；
2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；
3)有效数字：7、3、3，精确到千位；
4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．
【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，
叫做这个近似数的有效数字．
【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．
【变式训练2】用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．
（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；
（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；
（3）548203(精确到千位) ≈_________；
（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．
【难度】★
【答案】（1）0.00844； （2）12.98； （3）； （4）．
【解析】（1）0.00844； （2）12.98； （3）； （4）．
【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．
【变式训练3】已知，按四舍五入法取近似值．
（1）__________（保留五个有效数字）；
（2）_________（保留三个有效数字）；
（3）0.045267_________（保留三个有效数字）．
【难度】★★
【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或．
【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或．
【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．
【变式训练4】用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别?
【难度】★★
【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．
【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.
【总结】本题主要考查了精确度的概念．
【变式训练5】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?
（1）3.201；（2）0.0010；（3）2.35亿；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字；
（3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字．
【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字；
（3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字．
【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．
【变式训练6】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．
考点二:分数指数幂
【例题2】（2011春•上海校级期中）计算＝ ．
【分析】根据积的乘方运算以及平方差公式得出原式＝[（）2﹣（5）2]，进而利用幂的乘方运算得出答案．
【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]，
＝[（）2﹣（5）2]，
＝2，
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握整数指数幂、积的乘方、以及平方差公式等考点的运算．
【例题3】（2020•浦东新区三模）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣+9+2
＝12+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式训练1】（2018春•长宁区期末）利用幂的运算性质进行计算：（×）3
【分析】直接利用分指数幂的性质分别计算得出答案．
【解答】解：（×）3＝（2×2）3
＝2
＝2
＝
＝4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握分数指数幂的性质是解题关键．
【变式训练2】（2021春•奉贤区期末）利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．
【分析】直接利用分指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）÷
＝×÷
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算，正确化简各数是解题关键．
【变式训练3】（2019春•虹口区期末）利用幂的性质进行计算：．
【分析】把式子化成指数幂的形式，通过同底数指数相乘，底数不变，指数相加即得．
【解答】解：原式＝×＝×＝．
【点评】本题考查了实数运算，把根下化成指数幂，从而很容易解得．
【变式训练4】利用幂的运算性质进行计算：÷．
【分析】首先将原式化为分数指数幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则计算即可解答．
【解答】解：÷
＝3×÷
＝3×
＝3．
【点评】本题主要考查分数指数幂的意义，分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）．
【变式训练5】利用幂的运算性质计算：×÷．
【分析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝×3÷3＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练6】（2012春•金山区校级期末）计算：．
【分析】原式第一项利用分数指数幂及平方根的定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用分数指数幂及立方根的定义化简，即可得到结果．
【解答】解：原式＝3+1﹣5﹣4＝﹣5．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数幂、负指数幂，平方根、立方根的定义，分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练7】（2017春•奉贤区校级月考）利用幂的运算性质计算：××．
【分析】原式变形后，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3××＝3＝＝9．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三：实数的运算
【例题4】的整数部分为a，小数部分为b，则=_________．
【难度】★
【答案】．
【解析】，，，．
【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．
【例题5】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．
【例题6】计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．
【例题7】计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式．
【总结】本题主要考查了实数的混合运算．
【例题8】设：，
试比较与的大小．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵
，
，
∴，，
∴．
【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．
【例题9】已知实数x、y满足，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，， ，
解得， ．
【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．
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日期：2022/1/27 10:38:07；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
【例题1】，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.
【例题2】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）， ，
又， ；
．
【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．
【例题3】若的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，
．
【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．
【例题4】化简：．
【难度】★★★
【答案】0或1．
【解析】当时，原式；
当时，
．
【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．
【例题5】已知，，，，试用的代数式表示下列各数值．
（1）；（2）； （3）； （4）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．
【例题6】已知：的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， 又，
， ，
又， ， ．
【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．
【例题7】材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28=3）．一般地，若（且 ，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381=4）；
（1）计算以下各对数的值：lg24=______，lg216=______，lg264=______；
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，lg24、lg216、lg264之间又
满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
=______；（且，M＞0，N＞0）．
【难度】★★★
【答案】（1）2，4，6； （2），；（3）．
【解析】（1），，；
（2），；
（3）．
【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．
【例题8】已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，
，，
，
．
【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．
【例题9】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，，，
的立方根是．
【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．
【例题10】已知，其中，求．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， ，
， ，
或（舍去）， ，
．
【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．
【例题11】已知实数a、b、x、y满足，，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，
，，
，
，，， ，
．
【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．
【例题12】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得
，，那么便有：
例如：化简；
解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，
即，
∴==
（1）化简：；（2）化简：；（3）化简：．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）根据，可得：，，
，，即，，
；
（2）根据，可得：，，
，，即，，；
根据，可得：，，
，，即，，
．
【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）下列等式或说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答
【详解】解：A. 错误；B. 正确；
C. 错误；D. 错误；故选：B.
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记并灵活应用算术平方根的定义.
2.若，a的小数部分是b，则的值是（）
A．0 B．1 C．－1 D．2
【难度】★
【答案】B．
【解析】，，．
【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．
3.下列语句中正确的是()
A．500万有7个有效数字
B．0.031用科学记数法表示为
C．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数
D．3.14159精确到0.001的近似数为3.141
【难度】★
【答案】C．
【解析】万有三个有效数字，故选项A错误；
用科学记数法表示为，故选项B错误；
精确到的近似数为，故选项D错误．
【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．
4（2019·上海金山区·七年级期中）已知实数满足，那么______．
【答案】
【分析】根据分数指数的幂运算即可得．
【详解】，则
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数的幂运算，熟记运算法则是解题关键．
5．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）把化为幂的形式____________ 。
【答案】
【分析】根据分数指数幂的定义求解可得．
【详解】解：=，故答案为：．
【点睛】本题主要考查分数指数幂，解题的关键是掌握分数指数幂的定义．
6．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）把147400 ____________（保留三个有效数字）。
【答案】1.47×105
【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【详解】解：147400=1.474×105≈1.47×105．故答案为：1.47×105．
【点睛】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．
规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
7．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）把化成幂的形式是____________________.
【答案】；
【分析】根据分数指数幂的意义即可求解．
【详解】解：=，故答案是：
【点睛】本题考查了分数指数幂，理解分数指数幂的意义是关键．
8．（2018·上海虹口区·七年级期末）用幂的形式表示：＝____________ ．
【答案】
【分析】直接利用分数指数幂的定义即可得出答案．
【详解】，故答案为：．
【点睛】本题主要考查分数指数幂，掌握分数指数幂的定义是解题的关键．
9．（2018·上海松江区·）___________．
【答案】
【分析】先将16化为，然后根据幂得乘方公式计算即可．
【详解】，故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，将16化为是解题的关键．
10．（2017·上海长宁区·七年级期末）计算：________．
【答案】4
【分析】根据分数指数幂的法则可知8 =4；
【详解】解：8=4；故答案为4.
【点睛】此题考查分数指数幂的运算；熟练掌握分数指数幂的运算法则是解题的关键．
11．（2019·上海市市西初级中学七年级期中）把表示成幂的形式是______．
【答案】
【分析】根据分数指数幂运算即可得．
【详解】，故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂，熟记分数指数幂运算法则是解题关键．
12．（2018·上海金山区·七年级期中）把化成幂的形式是_____________．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的定义即可解答本题．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查分数指数幂，解答本题的关键是明确分数指数幂的定义．
13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）计算__________．
【答案】
【分析】根据乘方的运算，即可得到答案.
【详解】解：；故答案为：.
【点睛】本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟练掌握乘方的运算法则进行解题.
14．（2019·上海市江宁学校七年级期中）把 表示成幂的形式是_________________
【答案】
【分析】根据分数指数幂的公式，表示成被开方数的指数除以根指数的形式即可.
【详解】把 表示成幂的形式是.故答案为.
【点睛】本题主要考察分数指数幂的公式，根据公式写出正确的形式是解题的关键.
15．（2016·上海奉贤区·七年级期中）把表示成幂的形式是______.
【答案】
【分析】本题利用根式与分数指数幂的互化知识作答即可
【详解】
【点睛】本题的关键是掌握根式与分数指数幂的互化的知识
16．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）计算（结果表示为含幂的形式）=_____________________
【答案】
【分析】根据幂的运算法则进行计算即可.
【详解】解：，故答案为.
【点睛】本题主要考查分数的指数幕，解题的关键是掌握幕的运算法则，
17．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）计算：________________.
【答案】；
【分析】根据负分数指数幂的意义即可求解．
【详解】原式=
【点睛】本题考查了负分数指数幂，理解负分数指数幂的意义是关键．
三、解答题
18.按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：
（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）；
（3）320541（保留三个有效数字）；（4）（精确到千位）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．
19．（2019·上海黄浦区·七年级期中）运用幂的性质运算：
【答案】
【分析】直接利用分数指数幂的性质将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了分数指数幂的性质，正确将原式变形是解题的关键．
20．（2021·上海九年级专题练习）利用幂的运算性质计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算性质直接进行求解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
21．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）计算：
【答案】．
【分析】按照零指数幂，分数指数幂和二次根式的运算法则计算即可．
【详解】原式=
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，分数指数幂和二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（2018·上海松江区·）利用幂的性质计算：．
【答案】1
【分析】直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2019·上海普陀区·七年级期中）利用幂的运算性质进行计算：．（结果写成幂的形式）
【答案】
【分析】根据分数指数幂的性质，即可化简运算
【详解】解：原式，故答案为：
【点睛】本题考查了分数指数幂实数的运算，分数指数幂和整数指数幂统称为有理数指数幂，（m，n为大于1的正整数）．
24．（2019·上海静安区·七年级期末）利用幂的运算性质 计算：．
【答案】6．
【分析】根据同底数幂的运算法则，即可求解．
【详解】原式====．
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算法则以及分数指数幂的性质，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．
25．（2019·上海市光明中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】先将变成，可与相乘得2，再计算除法.
【详解】解：原式=.
【点睛】本题考查分数幂的计算，直接根据运算法则计算即可.
26．（2019·上海市光明中学七年级期中）计算：
【答案】12
【分析】根据积的乘方公式计算.
【详解】解：原式=.
【点睛】熟练运用积的乘方公式可以使计算更加简便。
27．（2019·上海市中国中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】分别根据立方根的性质、分数指数幂的性质和二次根式的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算法则进行计算即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、分数指数幂及二次根式的运算法则是解答此题的关键．
28．（2018·上海浦东新区·中考模拟）计算
【答案】6
【分析】利用分数指数幂的性质、运算法则求解．
【详解】原式= =1+5=6．
【点睛】本题考查有理数指数幂的化简求值，解题时要认真审题，注意分数指数幂的性质、运算法则的合理运用．
题组B 能力提升练
1.计算：
（1） ；（2）； （3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）； （2）；
（3）．
【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．
2.计算：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．
3.计算：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；
；
；
．
【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．
题组C 培优拔尖练
1.化简求值：
（1）已知：，求；；；
（2）已知：，求．
【难度】★★★
【答案】（1），，； （2）．
【解析】（1），；
， ，
， ；
， ；
， ，
，
．
【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．
2.计算：
（1）；（2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．
3.已知、是有理数，且，求、的值．
解：∵
∴
∵、是有理数
∴
解得
4.设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，，，
的立方根是．
【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．
5.如果，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， ，，
， ， 即，
， ， ， ．
【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．
6.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】 ，
， ，
．
【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．
7.若表示不超过x的最大整数（如等），
求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】


．
【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．