专题34 掌握直线方程的基本类型 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
二、基本公式
1、两点间的距离公式
2、的直线斜率公式
3、直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率存在且过，
注：①当时，；②当不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率存在且过，
（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．
注：可表示经过两点的所有直线
（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．
（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定．
四、三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
【典型例题】
例1．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·高三·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为
D．直线经过第二象限
例4．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 ， .
例9．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 .
例10．（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为 ．
例11．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
例12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点的距离之积等于1，化简得曲线. 则的最大值为 .
例13．（2024·高二·全国·课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
例14．（2024·高二·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .
例15．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .

例16．（2024·高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．
例17．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）当点到直线距离最大时，值为 ．
例18．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．
例19．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·福建漳州·期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·山东聊城·期末）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·广东深圳·期末）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
7．（2024·高二·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·高二·河北邯郸·阶段练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·高二·山东临沂·期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·高三·河南周口·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为
D．已知，若直线与线段有公共点，则
11．（2024·高三·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
12．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知直线：的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·高二·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·高二·福建南平·阶段练习）两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4B．C．D．
二、多选题
16．（2024·高三·全国·专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．
17．（2024·高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线的倾斜角为
B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点
C．对任意的实数k，直线与直线都不重合
D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直
三、填空题
19．（2024·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．
20．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是
21．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .
22．（2024·高三·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
23．（2024·高二·全国·课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ．
24．（2024·高二·上海长宁·期末）直线和直线的夹角的大小为 .
25．（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ．
26．（2024·天津河东·一模）已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为 .
27．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为 ．
28．（2024·高三·全国·专题练习）点到的距离是，则 ．
29．（2024·高三·全国·对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ．
30．（2024·高三·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
31．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）直线关于点对称的直线方程是
32．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 .
33．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为
34．（2024·高二·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
35．（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为 ．
四、解答题
36．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线经过直线的交点．
(1)若直线经过点，求直线的方程;
(2)若直线与直线垂直，求直线的方程．
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．