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    专题16 极值与最值-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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    专题16 极值与最值-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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    这是一份专题16 极值与最值-2025年新高考艺术生数学突破讲义,文件包含专题16极值与最值原卷版docx、专题16极值与最值解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共29页, 欢迎下载使用。
    知识点一:极值与最值
    1、函数的极值
    函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极大值,记作.如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极小值,记作.极大值与极小值统称为极值,称为极值点.
    求可导函数极值的一般步骤
    (1)先确定函数的定义域;
    (2)求导数;
    (3)求方程的根;
    (4)检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.
    注①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.
    ②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点.
    2、函数的最值
    函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者;函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
    导函数为
    (1)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
    (2)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
    一般地,设是定义在上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行:
    (1)求在内的极值(极大值或极小值);
    (2)将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
    注①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;
    ②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;
    ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
    【方法技巧与总结】
    (1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则
    不等式在区间D上恒成立;
    不等式在区间D上恒成立;
    不等式在区间D上恒成立;
    不等式在区间D上恒成立;
    (2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则
    不等式在区间D上恒成立.
    不等式在区间D上恒成立.
    (3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:
    不等式在区间D上有解;
    不等式在区间D上有解;
    不等式在区间D上有解;
    不等式在区间D上有解;
    (4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解问题有以下结论:
    不等式在区间D上有解
    不等式在区间D上有解
    (5)对于任意的,总存在,使得;
    (6)对于任意的,总存在,使得;
    (7)若存在,对于任意的,使得;
    (8)若存在,对于任意的,使得;
    (9)对于任意的,使得;
    (10)对于任意的,使得;
    (11)若存在,总存在,使得
    (12)若存在,总存在,使得.
    【典例例题】
    例1.(2024·江苏南通·二模)若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】函数,
    可得,
    若,此时单调递增,无极值点,
    故,令,解得,
    当时,,当时,,
    故是的极值点
    由于函数有大于零的极值点,
    ,解得.
    故选:C.
    例2.(2024·高三·陕西·阶段练习)已知函数,其导函数的图象如图所示,则( )
    A.有2个极值点B.在处取得极小值
    C.有极大值,没有极小值D.在上单调递减
    【答案】C
    【解析】由题意及图得,当时,;当时 ,;
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    则有一个极大值,没有极小值,故ABD错误,C正确,
    故选:C.
    例3.(2024·高三·江西·开学考试)已知函数没有极值点,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,是开口向上的二次函数,
    因为函数没有极值点,则,
    所以,解得,
    所以的取值范围是.
    故选:B.
    例4.(2024·高二·湖北黄冈·期末)已知函数在处有极小值,则常数的值为 ( )
    A.1B.2或6C.2D.6
    【答案】C
    【解析】,
    由题意得,即,解得或6,
    当时,,
    当或时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    故函数在处有极小值,满足要求,
    当时,,
    当或时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    故函数在处有极大值,不合要求,
    故常数的值为2.
    故选:C
    例5.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知函数在区间上的最小值为1,则实数a的值为( )
    A.-2B.2C.-1D.1
    【答案】D
    【解析】由题意可知:,
    所以当时,则在上单调递增,
    所以.
    故选:D.
    例6.(2024·江西上饶·一模)已知函数,则下列说法正确的是( )
    A.的导函数为B.在上单调递减
    C.的最小值为D.的图象在处的切线方程为
    【答案】C
    【解析】A:,因此本选项不正确;
    B:由上可知:,
    当时,,函数单调递增,因此本选项不正确;
    C:由上可知:,
    当时,,函数单调递增,
    当时,,函数单调递减,
    所以当时,函数的最小值为,因此本选项正确;
    D:由上可知,因为,
    所以的图象在处的切线方程为,因此本选项不正确,
    故选:C
    例7.(2024·全国·模拟预测)设e为自然对数的底数,函数在处取得极值,则实数a的值为 .
    【答案】
    【解析】因为,所以.所以.所以.
    又当时,,
    令,得,令,得,符合函数在处取得极值
    故答案为:.
    例8.(2024·高三·河北·期末)已知函数的最小值为0,则 .
    【答案】
    【解析】因为,所以.
    若,则在上单调递减,无最小值.
    若,则在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.
    故答案为:
    例9.(2024·陕西西安·模拟预测)已知奇函数在处取得极大值2.
    (1)求的解析式;
    (2)求在上的最值.
    【解析】(1)易知函数的定义域为,
    因为是奇函数,所以,则.
    由,得.
    因为在上取得极大值2,
    所以解得
    经经检验当时,在处取得极大值2,
    故.
    (2)由(1)可知,,
    当时,单调递增;
    当和时,单调递减;
    即函数在处取得极小值,在处取得极大值;
    又因为,
    所以在上的最大值为52,最小值为.
    例10.(2024·高三·山东德州·期中)记函数的导函数为,已知,.
    (1)求实数的值;
    (2)求函数在上的值域.
    【解析】(1)
    因为,所以,解得
    (2)由(1)可知
    由,解得或;由,解得
    所以函数在,单调递增;在单调递减
    又,,,.
    所以,,
    所以函数在上的值域为.
    例11.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,.讨论函数的最值;
    【解析】由函数,可得其定义域为,且,
    当时,可得,在上单调递增,无最值;
    当时,令,可得,所以在上单调递减;
    令,可得,所以在单调递增,
    所以的最小值为,无最大值.
    综上可得:
    当时,无最值;当时,的最小值为,无最大值.
    例12.(2024·高三·天津·期中)已知函数.
    (1)求的单调区间与极值;
    (2)求在区间上的最大值与最小值.
    【解析】(1)由题设,令,得或,
    当时,即,解得或,单调递增区间为和.
    当时,即,解得,单调递减区间为.
    函数的极大值为,极小值为.
    (2)由,,,则
    且在区间上连续,函数在区间内的最大值为54,最小值为.
    【过关测试】
    一、单选题
    1.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,有大于零的极值点,则的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】由题意有正根,即方程有正根,
    而当时,,所以的取值范围为.
    故选:D.
    2.(2024·高三·河南焦作·期末)已知函数有两个极值点p,q,若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】依题意,,则,
    因为,所以,
    显然,,两式相除得,则,
    代入中,解得,则.
    故选:D
    3.(2024·广西·模拟预测)设,若为函数的极大值点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由三次函数的性质可知,要使为函数的极大值点,则:
    当时,函数大致图象如图(1)所示,则,此时;
    当时,函数大致图象如图(2)所示,则,此时.
    综上:.
    故选:C.
    4.(2024·全国·模拟预测)已知函数,为的导函数,,则( )
    A.的极大值为,无极小值
    B.的极小值为,无极大值
    C.的极大值为,无极小值
    D.的极小值为,无极大值
    【答案】C
    【解析】的定义域为,,
    所以,
    求导得,令,得,
    当时,;当时,,
    所以函数在上单调递增,在上单调递减,且当时,取得极大值,无极小值.
    故选:C.
    5.(2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末)若为函数的极值点,则函数的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】,
    因为是函数的极值点,
    所以,则,
    所以,
    当时,,当时,,
    所以函数在上单调递减,在上单调递增,
    所以.
    故选:C
    二、多选题
    6.(2024·高二·江苏连云港·期末)已知函数的定义域为R且导函数为,如图是函数的图象,则下列说法正确的是( )
    A.函数的减区间是,
    B.函数的减区间是,
    C.是函数的极小值点
    D.是函数的极小值点
    【答案】BC
    【解析】观察图象,由,得或,显然当时,,当,,
    由,得或,显然当时,,当时,,
    因此函数在上单调递减,在上单调递增,A错误,B正确;
    函数在处取得极小值,在处取得极大值,C正确,D错误.
    故选:BC
    7.(2024·高三·云南楚雄·阶段练习)已知定义域为的函数的导函数为,且的图象如图所示,则( )

    A.在上单调递减B.有极小值
    C.有2个极值点D.在处取得最大值
    【答案】AB
    【解析】由的图象可知或时,,则单调递减,故A正确;
    又或时,,则单调递增,
    所以当时,有极小值,故B正确;
    由的图象结合单调性可知,2,4时,有极值,所以有3个极值点,故C错误;
    当时,,则单调递增,
    所以,在处不能取得最大值,故D错误.
    故选:AB.
    8.(2024·高二·江苏常州·期末)函数的导函数的图象如图所示,则( )
    A.是函数的极值点B.3是函数的极大值点
    C.在区间上单调递减D.1是函数的极小值点
    【答案】AC
    【解析】对于A项,由图象可知,
    当时,,所以在上单调递增;
    当时,,所以在上单调递减.
    所以,在处取得极大值.故A正确;
    对于B项,由图象可知,
    当时,恒成立,且不恒为0,所以在上单调递减.
    所以,3不是函数的极大值点.故B错误;
    对于C项,由B可知,在区间上单调递减.故C正确;
    对于D项,由B可知,在上单调递减.
    所以,1不是函数的极小值点.故D错误.
    故选:AC.
    三、填空题
    9.(2024·辽宁·一模)已知函数在处有极值8,则等于 .
    【答案】
    【解析】
    若函数在处有极值8,则即
    解得:或,
    当时,,此时不是极值点,故舍去;
    当时,,
    当或时,,当,故是极值点,
    故符合题意,
    故,
    故.
    故答案为:.
    10.(2024·高三·浙江绍兴·期末)已知函数在上存在极值点,则正整数的值是
    【答案】5
    【解析】,
    时,或,
    因为函数定义域为,在左端点处无法取到极值,
    ,而,所以,,经检验满足题意,
    故答案为:5.
    11.(2024·高三·四川·期末)函数的极大值为 .
    【答案】/
    【解析】,当时,,当时,.
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以的极大值为.
    故答案为:
    12.(2024·高三·陕西西安·期中)等差数列中的是函数的极值点,则 .
    【答案】
    【解析】由函数,可得,
    因为是函数的极值点,即是方程的两个根,
    可得,又由,所以.
    故答案为:.
    13.(2024·高三·四川南充·阶段练习)已知函数在区间上的最小值为 .
    【答案】
    【解析】,
    则.
    令 , 解得(舍去),或.
    所以
    故在单调递增,在单调递减,

    又,
    所以.
    故答案为:
    四、解答题
    14.(2024·湖南衡阳·二模)已知函数,当时,取得极值.
    (1)求的解析式;
    (2)求在区间上的最值.
    【解析】(1)依题意可得,
    又当时,取得极值,所以,即;
    解得;
    所以;
    (2)由(1)可知,
    令,可得或,
    当变化时,的变化情况如下表所示:
    因此,在区间上,的最小值为,最大值为.
    15.(2024·重庆·模拟预测)已知函数 在时取得极值.
    (1)求实数;
    (2)若,求的单调区间和极值.
    【解析】(1)因为,所以,
    由题意得,
    即,解得,经检验符合题意;
    (2)由(1)得,,
    则,
    由得或,得,
    即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
    所以的极大值为,极小值为
    16.(2024·高三·江西·开学考试)已知函数(、为实数)的图象在点处的切线方程为.
    (1)求实数、的值;
    (2)求函数的单调区间和极值.
    【解析】(1)因为,该函数的定义域为,,
    因为函数(、为实数)的图象在点处的切线方程为,
    则,解得.
    (2)由(1)可得,该函数的定义域为,,
    由可得,列表如下:
    所以,函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.
    17.(2024·高三·河南·专题练习)已知函数.
    (1)求曲线在处的切线方程;
    (2)若函数在处取到极小值,求实数m的取值范围.
    【解析】(1)由题意,,则,
    又,故所求的切线方程为.
    (2)由题意,,故.
    若,则,故当时,,当时,,
    故当时,函数取到极小值;
    若,则令,解得或,
    要使函数在处取到极小值,则需,即,
    此时当时,,当时,,当时,,满足条件.
    综上,实数m的取值范围为.
    18.(2024·高二·江苏扬州·期末)已知函数在处取得极小值5.
    (1)求实数a,b的值;
    (2)当时,求函数的最小值.
    【解析】(1),
    因为在处取极小值5,所以,得,
    此时
    所以在上单调递减,在上单调递增
    所以在时取极小值,符合题意
    所以,.
    又,所以.
    (2),所以
    列表如下:
    由于,故时,.
    19.(2024·高二·山西大同·期末)已知函数在时取得极值.
    (1)求实数的值;
    (2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(1)易知,
    依题意,解得,
    此时,
    当或时,;当时,,
    即函数在,上单调递增,在上单调递减,
    因此函数在时取得极值,
    所以.
    (2)由(1)得函数在上单调递减,在上单调递增;
    所以,
    由题意可得,解得,
    所以的取值范围为.
    20.(2024·高二·安徽滁州·开学考试)已知函数在处有极值.
    (1)求、的值;
    (2)求出的单调区间,并求极值.
    【解析】(1)因为,该函数的定义域为,,
    则,解得,此时,,
    经检验,,合乎题意.
    因此,,.
    (2)因为,该函数的定义域为,,
    令,可得,列表如下:
    所以,函数的递减区间为,递增区间为,
    函数的极小值为,无极大值.
    21.(2024·高三·贵州安顺·期末)已知函数
    (1)求的单调增区间;
    (2)方程在有解,求实数m的范围.
    【解析】(1)的定义域为R,

    当时,;时,;
    故单调增区间为,;
    (2)由(1)知,函数在区间,上单调递增,
    在区间上单调递减,
    ∵,,,,
    ∴,,
    故函数在区间上的最大值为4,最小值为1,
    ∴,
    ∴.
    22.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数(其中是自然对数的底数),.
    (1)求证:;
    (2)当时,求证:.
    【解析】(1)因为,所以.
    当时,;
    当时,,
    所以在区间上是减函数,在区间上是增函数,
    所以,所以.
    (2)令,则.
    由(1)可得,所以,
    所以函数在上是增函数.
    因为,所以,所以.
    23.(2024·高二·河南·期中)已知函数在点处的切线方程为.
    (1)求实数和的值;
    (2)求在上的最大值(其中e是自然对数的底数).
    【解析】(1)
    因为
    所以,
    由题意可得,,
    解得:,.
    (2)由(1)可得,
    所以,且,
    易得,当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    又,,且,
    即最大值为:.
    24.(2024·高三·浙江温州·期末)已知函数,.
    (1)若不单调,求实数a的取值范围;
    (2)若的最小值为,求实数a的取值范围.
    【解析】(1),
    当时,,当时,,
    ∴函数在上单调递减,在上单调递增,
    又∵在上不单调,∴;
    (2)由(1)知函数在上单调递减,在上单调递增,
    当时,,不符合题意,
    当时,,
    所以实数a的取值范围为.
    25.(2024·高二·浙江宁波·期末)已知函数.
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)当时,求函数的最大值.
    【解析】(1)的定义域为,
    当时,,,
    当,解得:,
    当,解得:.
    在上为增函数;在上为减函数;
    (2)的定义域为,

    当时,令,得,令时,得,
    的递增区间为,递减区间为.
    .
    26.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,求的最小值.
    【解析】由已知可得,定义域为,
    且.
    当时,有,所以函数在上单调递增;
    当时,,所以函数在上单调递减.
    所以,在处取得唯一极小值,也是最小值.
    27.(2024·高三·山东青岛·期中)已知函数.
    (1)若是函数的极值点,求在处的切线方程.
    (2)若,求在区间上最大值.
    【解析】(1),
    又是函数的极值点,
    ∴,即
    ∴,
    ∴,
    在处的切线方程为,即,
    所以在处的切线方程是
    (2),令,得,
    ∴在单调递减,在单调递增
    而,
    ①当,即时,
    ②当,即时,
    综上,当时,;
    当时,
    单调递增
    单调递减
    单调递增

    极小值

    0
    1
    2
    3
    0
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