所属成套资源:【艺考生专用】高考数学40天突破训练讲义(教师版+学生版)
专题16 极值与最值-2025年新高考艺术生数学突破讲义
展开
这是一份专题16 极值与最值-2025年新高考艺术生数学突破讲义,文件包含专题16极值与最值原卷版docx、专题16极值与最值解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共29页, 欢迎下载使用。
知识点一:极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极大值,记作.如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极小值,记作.极大值与极小值统称为极值,称为极值点.
求可导函数极值的一般步骤
(1)先确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)求方程的根;
(4)检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点.
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者;函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
导函数为
(1)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
(2)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
一般地,设是定义在上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行:
(1)求在内的极值(极大值或极小值);
(2)将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;
②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【方法技巧与总结】
(1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则
不等式在区间D上恒成立.
不等式在区间D上恒成立.
(3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
(5)对于任意的,总存在,使得;
(6)对于任意的,总存在,使得;
(7)若存在,对于任意的,使得;
(8)若存在,对于任意的,使得;
(9)对于任意的,使得;
(10)对于任意的,使得;
(11)若存在,总存在,使得
(12)若存在,总存在,使得.
【典例例题】
例1.(2024·江苏南通·二模)若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】函数,
可得,
若,此时单调递增,无极值点,
故,令,解得,
当时,,当时,,
故是的极值点
由于函数有大于零的极值点,
,解得.
故选:C.
例2.(2024·高三·陕西·阶段练习)已知函数,其导函数的图象如图所示,则( )
A.有2个极值点B.在处取得极小值
C.有极大值,没有极小值D.在上单调递减
【答案】C
【解析】由题意及图得,当时,;当时 ,;
所以在上单调递增,在上单调递减,
则有一个极大值,没有极小值,故ABD错误,C正确,
故选:C.
例3.(2024·高三·江西·开学考试)已知函数没有极值点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,是开口向上的二次函数,
因为函数没有极值点,则,
所以,解得,
所以的取值范围是.
故选:B.
例4.(2024·高二·湖北黄冈·期末)已知函数在处有极小值,则常数的值为 ( )
A.1B.2或6C.2D.6
【答案】C
【解析】,
由题意得,即,解得或6,
当时,,
当或时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故函数在处有极小值,满足要求,
当时,,
当或时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故函数在处有极大值,不合要求,
故常数的值为2.
故选:C
例5.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知函数在区间上的最小值为1,则实数a的值为( )
A.-2B.2C.-1D.1
【答案】D
【解析】由题意可知:,
所以当时,则在上单调递增,
所以.
故选:D.
例6.(2024·江西上饶·一模)已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的导函数为B.在上单调递减
C.的最小值为D.的图象在处的切线方程为
【答案】C
【解析】A:,因此本选项不正确;
B:由上可知:,
当时,,函数单调递增,因此本选项不正确;
C:由上可知:,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以当时,函数的最小值为,因此本选项正确;
D:由上可知,因为,
所以的图象在处的切线方程为,因此本选项不正确,
故选:C
例7.(2024·全国·模拟预测)设e为自然对数的底数,函数在处取得极值,则实数a的值为 .
【答案】
【解析】因为,所以.所以.所以.
又当时,,
令,得,令,得,符合函数在处取得极值
故答案为:.
例8.(2024·高三·河北·期末)已知函数的最小值为0,则 .
【答案】
【解析】因为,所以.
若,则在上单调递减,无最小值.
若,则在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.
故答案为:
例9.(2024·陕西西安·模拟预测)已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值.
【解析】(1)易知函数的定义域为,
因为是奇函数,所以,则.
由,得.
因为在上取得极大值2,
所以解得
经经检验当时,在处取得极大值2,
故.
(2)由(1)可知,,
当时,单调递增;
当和时,单调递减;
即函数在处取得极小值,在处取得极大值;
又因为,
所以在上的最大值为52,最小值为.
例10.(2024·高三·山东德州·期中)记函数的导函数为,已知,.
(1)求实数的值;
(2)求函数在上的值域.
【解析】(1)
因为,所以,解得
(2)由(1)可知
由,解得或;由,解得
所以函数在,单调递增;在单调递减
又,,,.
所以,,
所以函数在上的值域为.
例11.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,.讨论函数的最值;
【解析】由函数,可得其定义域为,且,
当时,可得,在上单调递增,无最值;
当时,令,可得,所以在上单调递减;
令,可得,所以在单调递增,
所以的最小值为,无最大值.
综上可得:
当时,无最值;当时,的最小值为,无最大值.
例12.(2024·高三·天津·期中)已知函数.
(1)求的单调区间与极值;
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【解析】(1)由题设,令,得或,
当时,即,解得或,单调递增区间为和.
当时,即,解得,单调递减区间为.
函数的极大值为,极小值为.
(2)由,,,则
且在区间上连续,函数在区间内的最大值为54,最小值为.
【过关测试】
一、单选题
1.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,有大于零的极值点,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由题意有正根,即方程有正根,
而当时,,所以的取值范围为.
故选:D.
2.(2024·高三·河南焦作·期末)已知函数有两个极值点p,q,若,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】依题意,,则,
因为,所以,
显然,,两式相除得,则,
代入中,解得,则.
故选:D
3.(2024·广西·模拟预测)设,若为函数的极大值点,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由三次函数的性质可知,要使为函数的极大值点,则:
当时,函数大致图象如图(1)所示,则,此时;
当时,函数大致图象如图(2)所示,则,此时.
综上:.
故选:C.
4.(2024·全国·模拟预测)已知函数,为的导函数,,则( )
A.的极大值为,无极小值
B.的极小值为,无极大值
C.的极大值为,无极小值
D.的极小值为,无极大值
【答案】C
【解析】的定义域为,,
所以,
求导得,令,得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,且当时,取得极大值,无极小值.
故选:C.
5.(2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末)若为函数的极值点,则函数的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,
因为是函数的极值点,
所以,则,
所以,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以.
故选:C
二、多选题
6.(2024·高二·江苏连云港·期末)已知函数的定义域为R且导函数为,如图是函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数的减区间是,
B.函数的减区间是,
C.是函数的极小值点
D.是函数的极小值点
【答案】BC
【解析】观察图象,由,得或,显然当时,,当,,
由,得或,显然当时,,当时,,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,A错误,B正确;
函数在处取得极小值,在处取得极大值,C正确,D错误.
故选:BC
7.(2024·高三·云南楚雄·阶段练习)已知定义域为的函数的导函数为,且的图象如图所示,则( )
A.在上单调递减B.有极小值
C.有2个极值点D.在处取得最大值
【答案】AB
【解析】由的图象可知或时,,则单调递减,故A正确;
又或时,,则单调递增,
所以当时,有极小值,故B正确;
由的图象结合单调性可知,2,4时,有极值,所以有3个极值点,故C错误;
当时,,则单调递增,
所以,在处不能取得最大值,故D错误.
故选:AB.
8.(2024·高二·江苏常州·期末)函数的导函数的图象如图所示,则( )
A.是函数的极值点B.3是函数的极大值点
C.在区间上单调递减D.1是函数的极小值点
【答案】AC
【解析】对于A项,由图象可知,
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
所以,在处取得极大值.故A正确;
对于B项,由图象可知,
当时,恒成立,且不恒为0,所以在上单调递减.
所以,3不是函数的极大值点.故B错误;
对于C项,由B可知,在区间上单调递减.故C正确;
对于D项,由B可知,在上单调递减.
所以,1不是函数的极小值点.故D错误.
故选:AC.
三、填空题
9.(2024·辽宁·一模)已知函数在处有极值8,则等于 .
【答案】
【解析】
若函数在处有极值8,则即
解得:或,
当时,,此时不是极值点,故舍去;
当时,,
当或时,,当,故是极值点,
故符合题意,
故,
故.
故答案为:.
10.(2024·高三·浙江绍兴·期末)已知函数在上存在极值点,则正整数的值是
【答案】5
【解析】,
时,或,
因为函数定义域为,在左端点处无法取到极值,
,而,所以,,经检验满足题意,
故答案为:5.
11.(2024·高三·四川·期末)函数的极大值为 .
【答案】/
【解析】,当时,,当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为.
故答案为:
12.(2024·高三·陕西西安·期中)等差数列中的是函数的极值点,则 .
【答案】
【解析】由函数,可得,
因为是函数的极值点,即是方程的两个根,
可得,又由,所以.
故答案为:.
13.(2024·高三·四川南充·阶段练习)已知函数在区间上的最小值为 .
【答案】
【解析】,
则.
令 , 解得(舍去),或.
所以
故在单调递增,在单调递减,
,
又,
所以.
故答案为:
四、解答题
14.(2024·湖南衡阳·二模)已知函数,当时,取得极值.
(1)求的解析式;
(2)求在区间上的最值.
【解析】(1)依题意可得,
又当时,取得极值,所以,即;
解得;
所以;
(2)由(1)可知,
令,可得或,
当变化时,的变化情况如下表所示:
因此,在区间上,的最小值为,最大值为.
15.(2024·重庆·模拟预测)已知函数 在时取得极值.
(1)求实数;
(2)若,求的单调区间和极值.
【解析】(1)因为,所以,
由题意得,
即,解得,经检验符合题意;
(2)由(1)得,,
则,
由得或,得,
即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
所以的极大值为,极小值为
16.(2024·高三·江西·开学考试)已知函数(、为实数)的图象在点处的切线方程为.
(1)求实数、的值;
(2)求函数的单调区间和极值.
【解析】(1)因为,该函数的定义域为,,
因为函数(、为实数)的图象在点处的切线方程为,
则,解得.
(2)由(1)可得,该函数的定义域为,,
由可得,列表如下:
所以,函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.
17.(2024·高三·河南·专题练习)已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若函数在处取到极小值,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意,,则,
又,故所求的切线方程为.
(2)由题意,,故.
若,则,故当时,,当时,,
故当时,函数取到极小值;
若,则令,解得或,
要使函数在处取到极小值,则需,即,
此时当时,,当时,,当时,,满足条件.
综上,实数m的取值范围为.
18.(2024·高二·江苏扬州·期末)已知函数在处取得极小值5.
(1)求实数a,b的值;
(2)当时,求函数的最小值.
【解析】(1),
因为在处取极小值5,所以,得,
此时
所以在上单调递减,在上单调递增
所以在时取极小值,符合题意
所以,.
又,所以.
(2),所以
列表如下:
由于,故时,.
19.(2024·高二·山西大同·期末)已知函数在时取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)易知,
依题意,解得,
此时,
当或时,;当时,,
即函数在,上单调递增,在上单调递减,
因此函数在时取得极值,
所以.
(2)由(1)得函数在上单调递减,在上单调递增;
所以,
由题意可得,解得,
所以的取值范围为.
20.(2024·高二·安徽滁州·开学考试)已知函数在处有极值.
(1)求、的值;
(2)求出的单调区间,并求极值.
【解析】(1)因为,该函数的定义域为,,
则,解得,此时,,
经检验,,合乎题意.
因此,,.
(2)因为,该函数的定义域为,,
令,可得,列表如下:
所以,函数的递减区间为,递增区间为,
函数的极小值为,无极大值.
21.(2024·高三·贵州安顺·期末)已知函数
(1)求的单调增区间;
(2)方程在有解,求实数m的范围.
【解析】(1)的定义域为R,
,
当时,;时,;
故单调增区间为,;
(2)由(1)知,函数在区间,上单调递增,
在区间上单调递减,
∵,,,,
∴,,
故函数在区间上的最大值为4,最小值为1,
∴,
∴.
22.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数(其中是自然对数的底数),.
(1)求证:;
(2)当时,求证:.
【解析】(1)因为,所以.
当时,;
当时,,
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数,
所以,所以.
(2)令,则.
由(1)可得,所以,
所以函数在上是增函数.
因为,所以,所以.
23.(2024·高二·河南·期中)已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数和的值;
(2)求在上的最大值(其中e是自然对数的底数).
【解析】(1)
因为
所以,
由题意可得,,
解得:,.
(2)由(1)可得,
所以,且,
易得,当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,,且,
即最大值为:.
24.(2024·高三·浙江温州·期末)已知函数,.
(1)若不单调,求实数a的取值范围;
(2)若的最小值为,求实数a的取值范围.
【解析】(1),
当时,,当时,,
∴函数在上单调递减,在上单调递增,
又∵在上不单调,∴;
(2)由(1)知函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,,不符合题意,
当时,,
所以实数a的取值范围为.
25.(2024·高二·浙江宁波·期末)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,求函数的最大值.
【解析】(1)的定义域为,
当时,,,
当,解得:,
当,解得:.
在上为增函数;在上为减函数;
(2)的定义域为,
,
当时,令,得,令时,得,
的递增区间为,递减区间为.
.
26.(2024·高三·全国·专题练习)已知函数,求的最小值.
【解析】由已知可得,定义域为,
且.
当时,有,所以函数在上单调递增;
当时,,所以函数在上单调递减.
所以,在处取得唯一极小值,也是最小值.
27.(2024·高三·山东青岛·期中)已知函数.
(1)若是函数的极值点,求在处的切线方程.
(2)若,求在区间上最大值.
【解析】(1),
又是函数的极值点,
∴,即
∴,
∴,
在处的切线方程为,即,
所以在处的切线方程是
(2),令,得,
∴在单调递减,在单调递增
而,
①当,即时,
②当,即时,
综上,当时,;
当时,
单调递增
单调递减
单调递增
减
极小值
增
0
1
2
3
0
0
1
↗
极大值6
↘
极小值5
↗
10
减
极小值
增
相关学案
这是一份专题41 数列求和 -2025年新高考艺术生数学突破讲义,文件包含专题41数列求和原卷版docx、专题41数列求和解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共31页, 欢迎下载使用。
这是一份专题40 数列通项 -2025年新高考艺术生数学突破讲义,文件包含专题40数列通项原卷版docx、专题40数列通项解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共29页, 欢迎下载使用。
这是一份专题29 排列组合 -2025年新高考艺术生数学突破讲义,文件包含专题29排列组合原卷版docx、专题29排列组合解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共24页, 欢迎下载使用。