专题41 数列求和 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和．
【典型例题】
例1．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
例2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】注意到，则.
则
.
故选：B
例3．（2024·高三·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ）
A．2045B．2046C．4093D．4094
【答案】C
【解析】由，得，而，解得，
所以的前11项的和
.
故选：C
例4．（2024·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则 ．
【答案】/
【解析】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
例5．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 .
【答案】240
【解析】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
例6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1），故为常数列，
其中，故，
故，即；
（2），设的前项和为，
则①，②，
两式①-②得，
，
故.
例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设的公差为，由题意得
；
当时，则，，
当时，则，，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，
，①
，②
①－②得，
.
例8．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中；
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，
故.
（2），
故.
故数列的前项和.
例9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
【解析】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
例10．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：．
【解析】（1）设的公差为，则根据题意有，
解之得，所以，
即的通项公式为；
（2）由上可知，
所以，
则，
易知,
.
例11．（2024·高二·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
【解析】（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2），
.
例12．（2024·高三·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．
【解析】（1）设数列的公差为，
则，，解得,
故；
（2）由可得前11项分别为
故的前11项分别为
所以
.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
2．（2024·高二·全国·课时练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
【答案】A
【解析】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（ ）
A．16B．20C．33D．120
【答案】C
【解析】因为，
∴，，，，，
∴其前6项之和是.
故选：C．
二、多选题
4．（2024·高二·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
三、填空题
5．（2024·高二·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．
【答案】2022
【解析】由，
令，
则，
两式相加得：，
∴．
故答案为：2022
6．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列满足，则 ， .
【答案】 3
【解析】由题意，得，则数列为首项为1公差为3的等差数列，
所以，得，则；
由，得，
即，
所以.
故答案为：；3
7．（2024·陕西西安·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ．
【答案】
【解析】由题意，数列的通项公式为，
可得
.
故答案为：.
8．（2024·高三·河南·专题练习）数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项的和 .
【答案】34
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
将的每一项除以2所得余数构成的新数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，
这是一个周期数列，周期为3，
又，故数列的前50项的和为
故答案为：34
9．（2024·高三·河南焦作·期末）已知数列中，，且，则的前12项和为 ．
【答案】
【解析】依题意，故，,
所以，，，…，
故的前12项和为．
故答案为：
10．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 .
【答案】348
【解析】设公差为，由题意得，
即，解得，
解得或（舍去），
故，，
则，，，，
，，，
，，，
，，
故.
故答案为：348
11．（2024·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
【答案】1012
【解析】由等和数列概念可得，，，，，
所以.
故答案为：1012
12．（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）记数列的前项和为，且，则 .
【答案】/
【解析】，
，
所以数列是周期为3的周期数列，又，，，
.
故答案为：.
13．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知数列满足，其前项和为，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
.
故答案为：.
四、解答题
14．（2024·高三·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【解析】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
15．（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
16．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）由题知，当时，，则．
又．①
当时，，②
①-②得，
所以．
当时，也适合．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为．
所以，①
，②
①-②得，
整理得，
因为．所以
17．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）由，
当时，由，
两式相减，得，
因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即.
设等差数列的公差为，
因为，所以，因此，
故，；
（2）由（1）可知，，
所以，
设数列的前项和为，
则有，
，
两式相减，得，
即，
因此.
18．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【解析】（1）因为，
当时，得，
当时，，
两式相减得：，则，
检验：满足上式，故；
（2）由（1）知，
则，
故，
两式相减可得：
，
故．
19．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，
，
，
，
；
（2）当，
当时，，
，
，
①，
②，
由①-②得，，
，
.
20．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为.
由，得，
解得.
因为的各项均为正数，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以，
，
两式相减，得
所以.
21．（2024·高三·山东·期中）数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．
【解析】（1）方法1：
当．
又也适合上式，．
方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．
，
（2）由（1）知，①
②
①－②，
22．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
所以，
又，故为等比数列，首项为1，公比为2；
（2）由（1）可知，，故，
，
故
，
令①，
则，
其中②，
①-②得，
，
故，
.
23．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，即，解得，
数列的通项公式为
（2），则，
，

.
24．（2024·高三·江西·开学考试）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）
设，则，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，．
（2），
．
25．（2024·高三·广东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则由，，
得，解得，
故；
（2）由（1）得，
故
.
26．（2024·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的各项均为正数，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的通项公式及其前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由得，，
所以，
又，所以.
由，
得.
27．（2024·高三·山东聊城·期末）已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
则，
所以
，所以.
28．（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求证：.
【解析】（1）因为成等比数列，且，
所以，由，解得，
所以.
（2）由，
得，
由，有，所以，得.
29．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，，所以，
因为，所以，将两式相减，得：，
所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当为奇数时，，，……，且，
则，
当为偶数时，则，
所以.
（2）设的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
30．（2024·高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，， 是数列的前项和.求
【解析】（1）为等差数列，设公差为，，，
，，成等比数列，，
即，
整理得，解得或，
当时，，，
当时，，，
数列的通项公式为或；
（2），由（1）知，，，
，
.
故.
31．（2024·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意，当时，，
当时，，
当时，上式也符合，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，，所以，．
（ⅰ）当n为偶数时，；
（ⅱ）当n为奇数时，；
综上所述，.