备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题34 掌握直线方程的基本类型

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专题34 掌握直线方程的基本类型
【考点预测】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
二、基本公式
1、两点间的距离公式
2、的直线斜率公式
3、直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率存在且过，
注：①当时，；②当不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率存在且过，
（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．
注：可表示经过两点的所有直线
（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．
（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定．

两直线方程
平行
垂直



（斜率存在）
（斜率不存在）
或

或中有一个为0，另一个不存在．
四、三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
【典例例题】
例1．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
例2．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，

直线与线段相交，直线的斜率或.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（    ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
例5．（2023·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.
故选：D
例6．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．
【答案】5
【解析】直线的斜率为，
因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，
所以，则.
故答案为：.
例7．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则，
为钝角，，则，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
例8．（2023·高三课时练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为______.
【答案】或
【解析】依题意，到直线的距离相等.
的中点为，
当过以及时，
直线的方程为.
直线的斜率为，
当直线过并与平行时，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故答案为：或
例9．（2023·上海静安·统考一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．
【答案】
【解析】由直线与直线平行，
可知，即，
故直线为，
直线变形得，
故，
故答案为：.
例10．（2023·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．
【答案】8x－y－24＝0
【解析】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)，
的坐标分别是.
因为被点平分，所以
，
于是.                           
由于在上，在上，所以，
解得，即的坐标是.        
直线的方程是，                  
即  .                               
所以直线的方程是.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【解析】（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，
解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，
解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以
解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，
的取值范围是：.

【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为135°，∴，解得．
故选：D
2．（2023·浙江宁波·高二统考期末）直线的倾斜角为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，
由题意可知：，所以，
故选：.
3．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】D
【解析】由，解得或，经过验证满足题意.
故选：D.
4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
设边上的高的斜率为，则，
故选：C
5．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）若直线：与直线：（）互相垂直，则（    ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【解析】由题意得，
当时，直线，与直线不垂直，故，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，
故选：B．
6．（2023·山东威海·高二统考期末）经过，两点的直线的倾斜角为（    ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】由斜率公式可得，
故经过，两点的直线的倾斜角为60°.
故选：B.
7．（2023·山西运城·高二统考期末）已知直线：与：平行，则实数a的值为（    ）
A．或2 B．0或2 C． D．2
【答案】C
【解析】若两直线斜率都不存在，直线中，直线中，
所以没有实数a能同时满足两条直线斜率均不存在；
若两条直线都有斜率，两直线平行斜率相等，得
，解得或，经过验证：时两直线重合，舍去，
所以,
故选：C
8．（2023·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ）
A． B． C．6 D．12
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，即.
故选：C.
9．（2023·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线与轴垂直，则为（    ）
A． B．0 C． D．或0
【答案】A
【解析】因为与轴垂直，
所以直线的斜率为0，
所以，且，解得.
故选：A.
10．（2023·广东广州·高二统考期末）直线l：的倾斜角θ为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的倾斜角θ满足，故.
故选：D.
11．（2023·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，

则，即，
.
故选：B
12．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】设直线与线段交于点，其中，
所以，.
故选：A.
13．（2023·山东东营·高二统考期末）已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为.
所以，解得.
故选:C.
14．（2023·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为过两点，的直线的斜率为，
所以，解得.
故选：C
15．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）直线的纵截距为（    ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】因为直线，
令，可得，
所以直线的纵截距为.
故选：A.
16．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；
若直线斜率存在时，设直线方程为，
由得：或，
故直线方程为或，
整理得或.
故选：D
17．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由点斜式得，即.
故选：A
18．（2023·湖南益阳·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与直线平行的直线方程为：，
又因为直线过点，所以，解得：，
所以所求直线方程为，
故选：.
19．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】∵点到直线l的距离为，
点到直线l的距离为，而，
∴，可得，解得或，
故直线l的方程为或．
故选：C
20．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.
故选：D.
21．（2023·全国·高三专题练习）如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为已知点关于直线的对称点为，
故直线为线段的中垂线，
求得的中点坐标为，
的斜率为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
22．（2023·高二单元测试）两平行直线与的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以这两条平行线的距离为：，
故选：B
23．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
二、多选题
24．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】CD
【解析】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为，
当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和.
故选：CD.
25．（2023·山东泰安·高二统考期末）下列说法正确的是（    ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．过点且垂直于直线的直线方程为
D．直线的倾斜角为120°
【答案】AC
【解析】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.
故选：AC.
26．（2023·江苏盐城·高二校考期末）下列说法错误的是（    ）
A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B．直线必过定点
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，
可设直线方程为，又直线过点，则，即，
此时直线方程为，故A错误；
对于B：直线可变形为，由解得，
即直线必过定点，故B正确；
对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误；
对于D：直线即，经过定点，
当直线经过点时，斜率为，
当直线经过点时，斜率为，
由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误；

故选：ACD
三、填空题
27．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知直线：，：，若，则实数a的值为______.
【答案】
【解析】，则，解得.
故答案为：
28．（2023·高二课时练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，且，则直线的倾斜角是.
所以，
所以，即，代入直线方程，整理得：.
故答案为：
29．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）直线，当m变动时，所有直线都通过定点______.
【答案】
【解析】将直线方程化为.
解，可得，
所以，当m变动时，所有直线都通过定点.
故答案为：.
30．（2023·高二课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．
【答案】
【解析】联立，得，
即直线与的交点为，
因为两直线的交点在曲线上，
所以，解得.
故答案为：.
31．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意，直线，
令，可得；令，可得，即，
如图所示，
当直线过点，可得；
当直线过点，可得，
要使得直线与直线的交点在第一象限，则，
即实数的取值范围是.
故答案为：.

32．（2023·高二课时练习）到直线的距离为______．
【答案】
【解析】到直线的距离为 ，
故答案为：
33．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】设点，
因为直线的斜率为，
则有，
解得：，
所以点的坐标为.
故答案为：
34．（2023·福建三明·高二统考期末）两条平行直线与间的距离为________.
【答案】
【解析】因为直线与平行，可知,则，解得，
直线，即，直线，
所以直线与间距离为.
故答案为：
35．（2023·高二课时练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为______．
【答案】3，-4
【解析】直线方程化为和，
∴，解得或．
故答案为：3或．
36．（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．
【答案】
【解析】设对称直线为，
则有，即
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中.
故答案为：.
四、解答题
37．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）直线过两直线：和：的交点，且与直线：平行，求直线的方程．
【解析】方程得与的交点为．
∵直线的斜率为，，
∴直线的斜率为，故直线的方程为，
即．
38．（2023·高二课时练习）求直线绕逆时针旋转后所得到的直线方程．
【解析】设直线的倾斜角为，旋转之后的倾斜角为，则，，且旋转之后的直线过点，
所以直线方程为.
所以旋转之后的直线方程为.
39．（2023·高二课时练习）若直线与的夹角是，求实数m的值．
【解析】由，所以直线的斜率为，
由，所以直线的斜率为，
因为直线与的夹角是，
所以
于是有.
40．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知点和直线．
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；
(2)若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．
【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，
因为，所以直线的斜率为2．
又直线经过点，所以直线的方程为：，
即．
（2）点P到直线l的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与己知矛盾；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得．
所以，直线的方程为：．
41．（2023·高二课时练习）经过点并且在两个坐标轴上的截距相等，求满足条件的直线的斜率．
【解析】当直线经过原点时，满足在两个坐标轴上的截距相等，此时直线斜率为；
当直线不经过原点时，则所求的直线方程形如，则，此时直线斜率为.
所以经过点并且在两个坐标轴上的截距相等，满足条件的直线的斜率为或.
42．（2023·高二课时练习）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程．
(1)P（2，3），；
(2)P（-2，-1），；
(3)P（-5，-1），．
【解析】（1）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.
（2）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为.
（3）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为.
43．（2023·广东佛山·高二统考期末）的三个顶点分别为，，，M是AB的中点.
(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程；
(2)求的面积.
【解析】（1）由题意可知：AB的中点M为，
则边AB上的中线CM所在直线的方程为，即.
（2）由（1）可得：，且点到直线CM的距离，
故的面积.
44．（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求a、b的值．
【解析】因为点关于直线对称的点是，
所以有，解得，.
45．（2023·高二课时练习）已知点的坐标为，直线的方程为，求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于点的对称直线的方程．
【解析】（1）设，由题意可得，解得，
所以点的坐标为.
（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，
则，解得，
由于在直线上，则，即，
故直线关于点的对称直线的方程为.
46．（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考期末）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，
求BC边上的高所在直线的方程；
求的面积．
【解析】由题意，直线BC的斜率，则BC边上高的斜率，
则过A的高的直线方程为，即，
的方程为，．
点A到直线的距离，
，
则三角形的面积．