湖南省长沙市立信中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（原卷版）-A4

这是一份湖南省长沙市立信中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（原卷版）-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 总分：120分
命题人：刘巧 审核人：王璐
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果点和点关于x轴对称，则值是（ ）．
A. B. 1C. D. 5
3. 下列计算正确的是( )
A B.
C. D.
4. 国家能源局发布数据，截至3月底，全国累计发电装机容量约29.9亿千瓦时，同比增长14.5%，将数据“29.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A. B.
C D.
7. 将一副含的直角三角板和的等腰直角三角板按如图形式叠放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知平分，于，点是上的动点，若，则长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D，E两点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 一个正边形每一个内角都等于，则______．
12 已知，则______．
13. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件：____________．
14. 已知是等腰三角形，其中一个内角为，则它的底角为______°．
15. 如图，把一张周长为的长方形纸片沿对角线折叠，则的周长为______．
16. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为________．

三、解答题（本大题共9小题，17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题9分，24、25各10分）
17. 计算：
18. 解方程组和不等式组
（1）解方程；
（2）解不等式组
19. 先化简，再求值：其中．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的
（2）点的坐标为______，点的坐标为______；
（3）若在轴上有点，使得，求点的坐标．
21. 如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．

（1）求证：BD＝BC；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？
23. 如图，在等边中，点、点分别在、上，，连接、交于点，作于．
（1）求证：；
（2）求证：．
24. 为了引领当代中学生迈向未来航空新纪元，2019年，在中国空军航空开放日上，“南天门计划”首次被提出，2023年6月央视官方宣传片播出，它的核心是构建一个全球性综合战略防卫体系，以应对未来可能的外星和硅基生命体的威胁，体现了中国航空工业对未来技术发展的前瞻性思维．在对“南天门计划”的小组学习中，我们对在平面直角坐标系中任一点，规定以下三种变换为“南天门变换”：
①，如：；
②，如：；
③，如：；
例如：．
请回答下列问题：
（1）利用“南天门变换”化简：______；______；______；
（2）通过以上“南天门变换”得到的坐标叫做“南天门”坐标，规定“南天门”坐标可以进行如下运算：
，；
，当时，且．
①“南天门”坐标中横坐标为整数，满足：（常数为正整数），求存在的点的坐标．
②“南天门”坐标在第四象限，满足：，当为正整数时，求的值．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）点的坐标为______；
（2）连接，试判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，点在线段上一动点，作轴于点，交于点，当时，是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．