江苏省无锡市新吴区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市新吴区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣6）2＝14C．（x﹣3）2＝14D．（x+3）2＝4
3．（3分）⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则（ ）
A．0＜r＜2B．r＝2C．r＞2D．r≥2
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条高所在直线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．以上都不对
6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644
D．100x+80x＝100×80﹣7644
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圆的直径”（1尺＝10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
10．（3分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（ ）
A．3B．C．6D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 ．
12．（3分）写出一个根为﹣1的一元二次方程： ．
13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是 ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 ．
16．（3分）如图，用一个半径为4cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了100°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留π）
17．（3分）已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个实数根，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣5x+2＝0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
21．（10分）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
22．（10分）如图，已知A、B、C均在⊙O上，请用无刻度直尺作图．
（1）若∠A＝34°，求作一个56°的角；
（2）M、N分别是BC、AC边中点，求作△ABC的内心．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，则阴影部分的面积？
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程x2﹣3x+2＝0 （填“是”或“不是”）“倍根方程”；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m与n的关系；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
27．（10分）【给出问题】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，P是的中点，连接AP，DP．求证：AP＝DP；
【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于⊙O，点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，试求矩形ABCD的面积．
28．（10分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）判断PB与⊙Q的位置关系： ；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是多少？
2024-2025学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣6）2＝14C．（x﹣3）2＝14D．（x+3）2＝4
【答案】C
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
移项，得x2﹣6x＝5，
配方，得x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
故选：C．
3．（3分）⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则（ ）
A．0＜r＜2B．r＝2C．r＞2D．r≥2
【答案】A
【分析】根据点P在圆外⇔d＞r作出判断即可．
【解答】解：∵点P在⊙O外，
∴r＜d，
∵⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，
∴0＜r＜2．
故选：A．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判断
【答案】A
【分析】判断出判别式的值，可得结论．
【解答】解：由题意得，Δ＝m2﹣4×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条高所在直线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．以上都不对
【答案】C
【分析】由三角形内心的性质，即可判断．
【解答】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
6．（3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644
D．100x+80x＝100×80﹣7644
【答案】C
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：由题意有（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】B
【分析】由于四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠BAD的度数，而∠BAD、∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
8．（3分）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论．
【解答】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意；
（4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．
故选：B．
9．（3分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圆的直径”（1尺＝10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
【答案】D
【分析】连接OD，OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OA的值即可．
【解答】解：连接OD，OA，
∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，
∴AD＝5寸，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
即OA2＝（OA﹣1）2+52，
解得：OA＝13，
故圆的直径为26寸，
故选：D．
10．（3分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x，y），则x+y的最大值为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】B
【分析】由题易知OP＝OA＝3，所以点P的运动轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，令x+y＝m，则y＝﹣x+m，要求m值最大，因为m越往上越大，所以当直线于⊙O相切时，m最大，进而求解即可．
【解答】解：连接OC，OP，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵点A关于点C的对称点为点P（x，y），
∴OP＝OA＝3，
∴点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
令x+y＝m，
则y＝﹣x+m，
∵要求m值最大，
∴m越往上越大，
∴当直线于⊙O相切时，m最大，
设直线于y轴交于点Q，切点为P'，连接OP'，则OP'＝3，
由直线比例系数k＝1可知，直线与坐标轴所夹锐角为45°，
∴△OP'Q为等腰直角三角形，
∴OQ＝OP'＝3，
即x+y＝m＝3，
∴x+y最大值为3，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1，代入原方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，
∴1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故答案为：2．
12．（3分）写出一个根为﹣1的一元二次方程： x2＝1（答案不唯一） ．
【答案】x2＝1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义即可解决问题．
【解答】解：因为一元二次方程的一个根为﹣1，
所以这个方程可以为：x2＝1（答案不唯一）．
故答案为：x2＝1（答案不唯一）．
13．（3分）一个圆锥的母线长为13，底面圆的半径为5，则此圆锥的侧面积是 65π ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：此圆锥的侧面积＝×13×2π×5＝65π．
故答案为65π．
14．（3分）已知三角形的边长分别是3，4，5，则它的外接圆的半径是 2.5 ．
【答案】2.5．
【分析】先利用勾股定理的逆定理，判定该三角形为直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可以判定该三角形的外接圆的圆心在斜边的中点上，故斜边长的一半即为外接圆半径，即可解决．
【解答】解：设△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，如图1，
∵32+42＝52，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
取AC边的中点O，
∴OB＝OA＝OC，
∴A，B，C三点在以O为圆心，OB为半径的圆上，
即⊙O是△ABC的外接圆，
∵OB＝，
∴△ABC的外接圆的半径为2.5，
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 28° ．
【答案】28°．
【分析】连接OC，根据切线的性质得∠OCD＝90°，求出∠DOC的度数，再根据圆周角定理计算∠A的度数．
【解答】解：如图，连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝34°，
∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°，
∴，
故答案为：28°．
16．（3分）如图，用一个半径为4cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了100°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留π）
【答案】．
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为4cm，圆心角为100°的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为100°所对应的弧长，
即，
故答案为：．
17．（3分）已知m，n，3分别是等腰三角形三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个实数根，则k的值为 5或6 ．
【答案】5或6．
【分析】分为两种情况：①m、n是腰，②m、n其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可．
【解答】解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣8x+21﹣k＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（21﹣k）＝0，
解得：k＝5；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
把m＝3代入方程得9﹣24+21﹣k＝0，
解得：k＝6；
所以k＝5或6．
故答案为：5或6．
18．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 4﹣4 ．
【答案】4﹣4．
【分析】根据翻折的性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OD，
由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°，
∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°，
设AC＝a，则OC＝4﹣a＝CD，A1O＝4﹣2a，
在Rt△COD中，OC＝CD＝4﹣a，OD＝4，
由勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，
即（4﹣a）2+（4﹣a）2＝16，
解得a＝4﹣2或a＝4+2＞4（舍去），
∴OA1＝OA﹣2AC＝4﹣2（4﹣2）＝4﹣8+4＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）2x2﹣5x+2＝0．
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x1＝，x2＝2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）2x2﹣5x+2＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，
解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
21．（10分）如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 4 条．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
22．（10分）如图，已知A、B、C均在⊙O上，请用无刻度直尺作图．
（1）若∠A＝34°，求作一个56°的角；
（2）M、N分别是BC、AC边中点，求作△ABC的内心．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作直径CD，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝∠A＝34°，则∠BCD＝56°；
（2）延长OM、ON，分别交⊙O于D、E，则根据垂径定理得到＝，＝，连接AD、BE相交于P点，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，则点P为△ABC的内角平分线的交点，所以点P为△ABC的内心．
【解答】解：（1）如图1，∠BCD为所作；
（2）如图2，点P为所作．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，则阴影部分的面积？
【答案】（1）见解析；
（2）﹣．
【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠B＝∠BDO＝30°，得到∠DOA＝60°，根据直角三角形的性质得到CD＝2，DE＝CD＝，AE＝DE＝1，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DEC＝∠AED＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵CD＝2，
∴DE＝CD＝，
∴AE＝DE＝1，
∴AD＝2AE＝2，
∵OA＝OD，
∴△ODA是等边三角形，
∴OA＝AD＝2，
∴阴影部分的面积＝△AOD的面积+△ADE的面积﹣扇形AOD的面积＝+﹣＝﹣．
24．（10分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长．
【答案】（1）△FAG是等腰三角形，理由见解答；
（2）AF的长是．
【分析】（1）由＝，得∠ACB＝∠ABE，则∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，所以∠G＝∠ABC，由BC是⊙O的直径，得∠BAC＝90°，则∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，所以∠G＝∠FAG，则AF＝GF，所以△FAG是等腰三角形；
（2）由OB＝OC＝5，OD＝2，求得BD＝7，BC＝10，可证明△DBA∽△ABC，得＝，求得BA2＝BD•BC＝70，则AD＝＝，再证明∠FBA＝∠FAB，则BF＝AF，由BD2+FD2＝BF2，得72+（AF﹣）2＝AF2，求得AF＝．
【解答】解：（1）△FAG是等腰三角形，
理由：∵＝，
∴∠ACB＝∠ABE，
∵∠ACB＝∠G+∠CBE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，
∴∠G＝∠ABC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BDA＝90°，
∴∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，
∵∠G＝∠FAG，
∴AF＝GF，
∴△FAG是等腰三角形．
（2）∵⊙O的半径为5，OD＝2，
∴OB＝OC＝5，
∴BD＝OB+OD＝5+2＝7，BC＝OB+OC＝5+5＝10，
∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠ABC，
∴△DBA∽△ABC，
∴＝，
∴BA2＝BD•BC＝7×10＝70，
∴AD＝＝＝，
∵∠FBA+∠G＝90°，∠FAB+∠FAG＝90°，且∠G＝∠FAG，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴BF＝AF，
∵∠BDF＝90°，FD＝AF﹣，
∴BD2+FD2＝BF2，
∴72+（AF﹣）2＝AF2，
解得AF＝，
∴AF的长是．
25．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程x2﹣3x+2＝0 是 （填“是”或“不是”）“倍根方程”；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m与n的关系；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
【答案】（1）是；
（2）n＝4m或n＝m；
（3）2b2＝9ac．
【分析】（1）将题干中的一元二次方程求解，然后看是否符合题意即可；
（2）解方程，求得x1＝2，x2＝，根据题意得出＝4或＝1，进一步求得n＝4m或n＝m；
（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得出t+2t＝﹣，t•2t＝，即可得出结果．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
解得x1＝2，x2＝1，
故该方程是倍根方程；
故答案为：是；
（2）（x﹣2）（mx﹣n）＝0，
∴x﹣2＝0或mx﹣n＝0，
解得x1＝2，x2＝，
∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
∴＝4或＝1，
∴n＝4m或n＝m；
（3）2b2＝9ac；理由如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t＝﹣，t•2t＝，
∴t＝﹣，
∴2（﹣）2＝，
∴2b2＝9ac．
27．（10分）【给出问题】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，P是的中点，连接AP，DP．求证：AP＝DP；
【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于⊙O，点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，试求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）PA＝CP+，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）证明即可得到AP＝DP；
（2）过点B作BQ⊥BP交AP于点Q，取圆心O，连接OA，OB，证明△ABQ≌△CBP（AAS），得出PA＝AQ+PQ＝CP+；
（3）以BC为边，作正方形BCFE，连接PE，PF，BF，OC，作正方形BCFE的外接圆⊙O，则圆心O在BF上，通过勾股定理求出AE的长度，从而得出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴AP＝DP；
（2）解：PA＝CP+，理由如下：
过点B作BQ⊥BP交AP于点Q，取圆心O，连接OA，OB，
∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBQ＝∠PBQ﹣∠CBQ，
∴∠ABQ＝∠CBP，
∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BQ，PQ＝，
在△ABQ和△CBP中，
，
∴△ABQ≌△CBP（AAS），
∴AQ＝CP，
∴PA＝AQ+PQ＝CP+；
（3）解：以BC为边，作正方形BCFE，连接PE，PF，BF，OC，作正方形BCFE的外接圆⊙O，则圆心O在BF上，
∵∠BPC＝45°，∠BOC＝90°，
∴点P在⊙O上，
∵PA＝1，PD＝2，
∴BE＝EF＝BC＝AD＝PA+PD＝3，AE＝DF，
∵∠BEF＝90°，
∴BF＝，
设AE＝x，则DF＝x，AB＝3+x，
在Rt△ABP中，BP2＝AB2+AP2＝（3+x）2+12，
在Rt△PDF中，PF2＝PD2+DF2＝x2+22，
在Rt△BPF中，BF2＝BP2+PF2，
∴，
∴（负值已舍去），
∴AB＝3+x＝，
∴矩形ABCD的面积＝．
28．（10分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）判断PB与⊙Q的位置关系： 相切 ；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是多少？
【答案】（1）相切；
（2）PA＝2；
（3）⊙Q的半径的取值范围是QC＝2或．
【分析】（1）由角平分线和平行可证PA＝PQ，从而得出四边形APQB为菱形；则PB⊥AQ，垂足为C，即可证明PB与⊙Q相切；
（2）由AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，可得AD＝3，设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，在Rt△BDQ中，，解方程即可；
（3）当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，当⊙Q过点M时，连接QM，作QE⊥AM于E，设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，由NQ+ME＝AM＝5得，＝5，解方程即可，当⊙Q第二次经过点M时，同理可得．
【解答】解：（1）∵∠PAM的角平分线交直线NP于点Q，
∴∠PAQ＝∠BAQ，
∵PQ∥AB，
∴∠PQA＝∠BAQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴PA＝PQ，
又∵QB∥PA，
∴四边形APQB为平行四边形，
∴四边形APQB为菱形；
∴PB⊥AQ，垂足为C，
∴PB与⊙Q相切，
故答案为：相切；
（2）如图，当AM与⊙Q相切于点D时，AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，
在Rt△ADQ中，AD＝，
设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，
在Rt△BDQ中，，
解得，
∴PA＝2；
（3）当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，
当⊙Q过点M时，如图，连接QM，作QE⊥AM于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ+ME＝AM＝5得，
＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x＝，
当⊙Q第二次经过点M时，作ME⊥NQ于E，如图3，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ﹣EQ＝AM＝5得，
﹣＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是QC＝2或．