2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    以下是各种交通标志指示牌，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图所示，，要说明≌，需添加的条件不能是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    如图，≌，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    利用基本作图，不能作出唯一三角形的是(    )

A. 已知两边及其夹角 B. 已知两角及夹边
C. 已知两边及一边的对角 D. 已知三边

5.    在下列说法中，正确的是(    )

A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C. 等腰三角形的对称轴是底边上的高
D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧

6.    下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

7.    如图，在中，，为上一点，且，若的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

9.    如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点连结，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是______．

12. 已知等腰三角形的两边长分别是和，周长是______．
13. 如果等腰三角形的顶角等于，那么它的底角为______
14. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则______．

15. 如图，在边长为的正方形网格中，两格点，之间的距离______填“”，或“”

16. 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图、图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都是尺尺寸，则的长是几寸？若设图中单扇门的宽寸，则可列方程为：______．
     
17. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为______．

18. 如图，等边中，，且，是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点运动的过程中的大小______填变大，变小或不变，当的长取得最小值时，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的．
    的形状是______．
    利用网格线画，使它与关于直线对称．
    求作一格点，使点到、的距离相等，且点到点和点的距离相等，在图中用没有刻度的直尺作出点不写作法，保留作图痕迹．

20. 本小题分
    如图，与中，、、、在同一条直线上，，，，求证：．

21. 本小题分
    如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．
    若，求的度数．
    若，的周长为，求的周长．

22. 本小题分
    如图，是的高，点在边上，若，，．
    求，的长．
    判断的形状并加以说明．

23. 本小题分
    如图，四边形中，，，、分别是、的中点．
    请你猜想与的位置关系，并给予证明；
    若，时，求的长．

24. 本小题分
    【生活经验】
    如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”方法是：
    画线段，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
    以点为圆心，仍以中相同长度为半径画弧交的延长线于点；
    连接，则就是直角；
    请你就是直角作出合理解释．
    【数学结论】
    由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
    在一个三角形中，如果______，那么这个三角形是直角三角形．
    【应用结论】
    两个等腰三角形的腰长相等都为、顶角互补，底边长分别为和，探究、、之间的数量关系．

25. 本小题分
    如图，在中，，点在射线上，且，点在的延长线上，且，
    若，则______；
    在的条件下，把题中的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？证明你的猜想．
    如果把第题中“”的条件改为“”，其余条件不变，请画出对应的示意图，猜想与有怎样的数量关系并加以验证．

26. 本小题分
    已知：如图，在中，，，，点、分别是直线、上一个动点．
    若是等腰三角形，用直尺和圆规作出点不写作法，保留作图痕迹，直接写出的长；
    若≌，求的长．
     
27. 本小题分
    观察推理：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、求证：≌；
    类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积；
    拓展提升：如图，，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段当点恰好落在射线上，请直接写出点运动的时间．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、当时，符合的判定条件，故本选项不符合题意；
B、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意；
C、当时，符合的判定条件，故本选项不符合题意；
D、当时，符合的判定条件，故本选项不符合题意；
故选：．
和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或即可．可据此进行判断，两边及一边的对角对应相等是不能判定两个三角形全等的．
本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是和不能作为判定两个三角形全等的依据．
 

3.【答案】 

【解析】解：≌，，
，，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、已知两边及其夹角，可以确定三角形，本选项不符合题意．
B、已知两角及夹边，可以确定三角形，本选项不符合题意．
C、已知两边及一边的对角，不能确定三角形，本选项符合题意．
D、已知三边，可以确定三角形，本选项不符合题意．
故选：．
根据全等三角形的判定即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、全等的三角形不一定对称，故错误；
B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误，
故选：．
利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案．
本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B中的三条线段不能构成三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，由勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
，即是的高，
的面积为，，
，
，
．
故选：．
根据中，，可证是的高，然后利用三角形面积公式求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
到三个顶点距离相等的点是，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
由翻折的性质可知：，
，
故选：．
根据，求出即可解答．
本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：延长，交点于，

平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，；
，
，即；
，
是的中点，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故选：．
延长，交点于，可证≌，得出，，则，当时，最大面积为，即最大面积为．
本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
 

11.【答案】： 

【解析】

【分析】
考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意的对称数字为关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
【解答】
解：是从镜子中看，
对称轴为竖直方向的直线，
的对称数字是，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
这时的时刻应是：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当是腰时，则三角形的周长是．
故答案为：．
分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角等于，等腰三角形的底角相等，
底角等于，
故答案为：．
利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，
则，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得．
本题主要考查直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点，之间的距离，
故答案为：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：取的中点，过作于，如图所示：
由题意得：，
设寸，
则寸，寸，寸，
寸，
在中，
，即，
故答案为：．
取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】
解：将此长方形折叠，使点与点重合，
．
．
，
根据勾股定理可知：．
．
解得：．
的面积为：
故答案为．  

18.【答案】不变  

【解析】解：由题意知，在和中，
，
≌，
，
，
即的大小不变，
由题意知，当时最短，
此时，
，
，
故答案为：不变，．
根据对称性证≌，得出，再根据当时最短，根据所对的边等于斜边的一半得出，即可得出的值．
本题主要考查等边三角形的性质，对称的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，对称的性质等知识是解题的关键．
 

19.【答案】直角三角形 

【解析】解：由勾股定理得，，，，
，
是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
如图，即为所求；

如图，点即为所求．
利用勾股定理求出，，的长，得，则是直角三角形；
利用轴对称的性质即可画出图形；
画的平分线和的垂直平分线，交点即为点．
本题主要考查了勾股定理和其逆定理，轴对称的性质，网格中角平分线和线段垂直平分线的画法等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
．
，
．
即．
在和中，
，
≌．
． 

【解析】利用全等三角形的判定方法，证明和全等即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
垂直平分，
，
，
的周长

，
，
的周长． 

【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
根据三角形的周长公式解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
 

22.【答案】解：是的高，
，
中，，，，
由勾股定理可得：，
中，，，，
由勾股定理可得：；
是直角三角形．
，，
，
，，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
 

23.【答案】解：理由如下：
连接、，
，为中点，
，
，
，
，
是中点，
；

，
、、、四点共圆，且直径是，为圆心，
，
又是中点，
． 

【解析】结论：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可解决问题．
先证明、、、四点共圆，再根据圆周角定理得出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】一边上的中线等于这边的一半 

【解析】解：由作图可知，，
，，
，
，
，
．

结论：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：一边上的中线等于这边的一半．

如图，当，，时，符合题意．

由可知，，
，
．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．
根据中结论解决问题即可．
利用中结论，利用勾股定理解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
的度数不会改变，
证明如下：设，
，
，
，
，
，
，
，
；
画出对应的示意图如图所示，
猜想：，
证明如下：设，，
则，
，
，
，
，
，
，
．
根据等腰直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出、，结合图形计算，得到答案；
，仿照的解法计算即可；
根据题意画出图形，设，，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质用表示出，证明结论．
本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：作图如下：的长分别是；；；．

当时，设，则有，解得，即．
当时，可得，
当时，，，
综上所述，的长分别是；；；．



如图中，≌，
，，
，
，
．


如图中，≌，
，，
，
，
． 

【解析】分三种情形，弧长图形即可．
分两种情形分别画出图形，利用全等三角形的性质求解即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

27.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作于，

，
，
，
，
由旋转知，，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图，

由旋转知，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
点运动的时间． 

【解析】利用同角的余角相等判断出，即可得出结论；
先作出高，进而判断出≌，求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
利用等式的性质得出，进而判断出≌，即可求出，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等边三角形的性质等知识，解本题的关键是判断两三角形全等．