2023~2024学年山东省潍坊市高密市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省潍坊市高密市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，52分）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若是锐角，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】是锐角，，
，
，
故选：B．
2. 如图，在中，，劣弧的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，如图所示：

则
∵，
∴
∴
故劣弧的度数是
故选：D
3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
，
故选：A．
4. 如图，在中，，则内切圆的半径是（ ）

A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】如图，

在中，，
根据勾股定理.
四边形中，，，
∴四边形是正方形，
由切线长定理，得：，，；
∴；∴．故选：C．
5. 某企业2021年营业额为100万元，2021年、2022年、2023年总营业额为500万元，设平均每年营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设平均每年营业额增长率为，则列方程为，
故选D．
6. 如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ）

A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∴
∵的半径为6，∴,∴．
故选：B．
7. 一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图：过点作，垂足为，过点 作，交的延长线于点，

由题意得： ，
中, 海里，，
(海里)，(海里),
海里，海里，
在中, 海里，
海里，
∴小岛A与出发点B之间的距离为海里，故选:A.
8. 如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
四边形是矩形，，，
，
由折叠得，，
，
，
，，
，且，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，，
，
故选：．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 若关于的方程有两个相等的实数解，则的值可能为( )
A. B. C. 2D. 4
【答案】AD
【解析】由题意可知：
故选：AD．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 在一个三角形中至少有两个锐角
B. 在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C. 在圆中，直径对的圆周角等于
D. 如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等
【答案】ABC
【解析】A．在一个三角形中至少有两个锐角，故A正确；
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦，故B正确；
C．在圆中，直径对的圆周角等于，故C正确；
D．在同圆或等圆中，如果两条弧度数相等，那么这两条弧也相等，故D错误．
故选：．
11. 如图，在直角中，于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
．
故选：CD．
12. 如图，正方形边长为2，在正方形内部，以为直径作半圆，点是中点，分别与半圆交于点，点，连接．下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D. 点是半圆的三等分点
【答案】ABC
【解析】作，交于点O，连接，

∴，
∵正方形边长为2，点E是中点，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，故A符合题意，
过作于，则，
∴，
∴，
∴，，，
∴，故B符合题意；
∴，故C符合题意，
∵若点G、F是半圆的三等分点，
则 ，
∴，即 ，
在中，，故D不符合题意，
故选：ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，98分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13. 关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是________．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的一个根是2，
∴，解得：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交边于点，若，则的长是________．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
根据作图可得是的垂直平分线，
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，是左侧一动点，且，则线段长度的最大值是________．

【答案】
【解析】如图，以为直径作圆O，

∵，
∴，
∴点P在圆O上运动，
连接并延长，交圆O于点D，当点P与点D重合时，最大，即为线段的长度，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
16. 如图，是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第行有个点，…，容易发现，15是三角形点阵中前5行的点数和．若三角形点阵中前行的点数之和为120，则的值是________．
【提示：】

【答案】15
【解析】由题意得：，
解得：，（舍去），故答案为：15．
四、解答题（本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
∴，
∴，
（2）
∴，或者，
∴，；
（3）
∴，或者，
∴，；
（4）
∵，，，
，
，
∴，．
18. 计算：
（1）
（2）
解：（1）原式
（2）原式
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程两根的和比两根的积大1，求的值；
（3）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为2，当是等腰三角形时，求的值．
解：（1）∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程两根是则，．
∵方程两根的和比两根的积大1
∴
解得或
（3）由（1）知，，的长至少有一个为．
当时，原方程为：，
即，解得：，．
当时，原方程为．
∴．
此时，三边、、能围成等腰三角形，
当时，原方程为，
解得：．
此时，三边、、能围成等腰三角形，
∴或．
20. 李老师佩戴智能运动手环跑步锻炼，两次锻炼的数据如下表．已知第二次锻炼平均步长和步数与第一次相比均有减少，且第二次锻炼平均步长减少的百分率是步数减少的百分率的2倍．设第二次锻炼步数减少的百分率为．
注：距离平均步长步数，
（1）①________；②________；③________；
（2）求的值．
解：（1）①米，
②第二次锻炼平均步长为：米/步，
③第二次锻炼的步数为步，
故答案为：①4000；②；③；
（2）由题意：
解得： （舍去），．
∴，
答：x的值约为0.2；
21. 如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面米，）
解：过点E作，分别过点A，点C作，．
设楼的高度为x米，则米， 由题意得，，，
∵∴
在中，，，∴，
由题意知，四边形是矩形，∴，
∴，
在中，，∴，
∵，，∴，
解得，，
答：的高度为米．
22. 已知为的直径，为上一点，连接．

（1）如图1，若点为半圆的中点，求的长；
（2）如图2，连接，点在外，连接交于点，此时，平分，，求证，是的切线；
（3）如图3，在（2）问的条件下，连接，若，求．
解：（1）连接，

∵为⊙O的直径，
∴，
∴是直角三角形，
∵点C为半圆的中点，
∴，
∴
（2）连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴半径，
∴是⊙O的切线；
（3）∵为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
在中，，
∴
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．

解：∵，
∴

又∵∠C是公共角，∴，
∴，∵，
∴，即，
∵，∴，
在中， ，∴，
∴，∴，
设所在的直线方程为，
将，代入得，，
∴，
∴所在的直线为．
第一次锻炼
第二次锻炼
平均步长（米/步）
0.8
②________
步数（步）
5000
③________
距离（米）
①________
2000