2023~2024学年山东省潍坊市寒亭区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省潍坊市寒亭区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。
1．本场考试时间120分钟，满分150分．
2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．
3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．
第I卷（选择题 共44分）
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题四个选项中只有一项正确．）
1. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A．
2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
3. 如图，，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
，
依次按键，，然后输入函数值0.2，，即可求出的度数．
故选：B．
4. 如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】设矩形的长，宽，
则，
矩形与矩形相似，
，即，
即．
．
故选：A．
5. 把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（ ）

A. 6B. C. D. 2
【答案】A
【解析】把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6. 将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过、、三点作圆，则所对的圆心角的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵是正方形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得，
∴
∴所对的圆心角的度数是，
故选C．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的4个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、不选均记0分．）
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 度数相等的弧所对的圆心角相等
B. 相等的圆周角所对弧的度数相等
C. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半
D. 三角形外心到三角形各边的距离相等
【答案】AB
【解析】A、度数相等的弧所对的圆心角相等，说法正确，符合题意；
B、相等的圆周角所对弧的度数相等，说法正确，符合题意；
C、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：AB．
8. 如图，下面格点三角形（顶点在方格纸的格点上）与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】设方格纸中的小正方形边长为1，
由网格特点和勾股定理得，
A、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与相似，符合题意；
B、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与不相似，不符合题意；
C、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与相似，符合题意；
D、图中三角形三边长为，
∵，
∴图中三角形与不相似，不符合题意；
故选AC．
9. 如图，内接于，为的直径，A为的中点，，连接、交于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 点A、C为的三等分点
D. 连接，则四边形为菱形
【答案】ACD
【解析】如图，连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，故A、C正确，
，
，
，
，故B错误，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故D正确，
故选：ACD．
10. 关于x的一元二次方程：①，②，其中，下列结论正确的是（ ）
A. 若方程①有实数根，则方程②必有实数根
B. 若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1
C. 若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根
D. 若是方程①实数根，则是方程②的实数根
【答案】ACD
【解析】A．若关于的方程：①有实数根，则△，
②的判别式为△，
②也必有实数根，
此选项的说法正确，故选项A符合题意；
B．若两个方程有一个相同的实数根，
，
，
，
，
，
故选项B说法错误，不符合题意；
C．方程①②的根的判别式都是，
①的求根公式为，，方程②的求根公式为：，，
若方程①有一正根一负根，则，异号，
，
，
方程②有一正根一负根，
故选项C说法正确，符合题意；
D．把代入①得：，此等式两边同时除以得：；
把得入②得：，
，
故选项说法D正确，符合题意；
故选：ACD．
第II卷（非选择题 共106分）
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．只要求填写最后结果．）
11. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”，先假设______．
【答案】一个三角形中有两个钝角
【解析】假设命题“一个三角形中有两个钝角”成立，
∴这个三角形的内角和大于，这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴假设错误，
故原命题“一个三角形中不能有两个钝角”成立．
故答案为：一个三角形中有两个钝角.
12. 如图，在中，，于D，则_______度．
【答案】
【解析】∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
故答案为：．
14. 已知与关于原点位似，位似比为．若点A的坐标为，则对应点的坐标为_______．
【答案】或
【解析】∵与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，而点A的坐标为，
点A其对应点的横坐标是，纵坐标为或横坐标是，纵坐标为，
即点的坐标为或．
故答案为：或．
四、解答题（本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
15. 解方程：
（1）；
（2）
解：（1），
∴，
∴，
∴或，
解得：；
（2），
∴，
∴，，
∴，
解得：．
16. 如图，在中，点在边上，，，，求的长．

解：，，
，
，即，
解得：，
．
17. 如图，在直径为20的中，与是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知，求OF的长．
解：过点作于点，于点，连接，如图，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形正方形，
，
直径20，
，
在中，，
，
在中，，
即的长为．
18. 如图，在中，，，．点D在的延长线上，且，连接．
（1）求；
（2）求．
解：（1）如图所示，过点A作于E，
在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴，
∴在中，．
19. 某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游．原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天．实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不变．甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？
解：设甲旅行团实际增加了x人，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：甲旅行团实际增加的人数是6人．
20. 如图1是一款折叠式拍照设备，图2是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果，悬臂、连杆和支撑臂只能在同一平面内活动．经试验，当时，拍摄效果较佳，此时点C到桌面的距离为52厘米．若已知，的夹角固定为，厘米，试求“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离．
解：如图所示，过点C作于E，过点D作，垂足分别为G、F，过点B作于P，设交于H，则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴“拍摄效果较佳”时，点D到桌面的距离为厘米．
21. 如图，是的直径，于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，连接、、，已知，．
（1）求证：；
（2）求的半径；
（3）若点G是的中点，求的长．
解：（1）连接，如图，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）连接，如图，设的半径为，
，
，
，，
，
，
在中，，
解得（舍去），，
即的半径为5；
（3）在中，
，，
，
，，
，
，
即，
点为的中点，，
，
即，
解得或（舍去），即的长为．
22. 【阅读材料】
配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．
例如：求代数式的最值．
解：因为
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
所以当时，代数式取得最小值3．
再如：求代数式的最值．
解：因为
所以当时，代数式取得最大值．
（1）【材料理解】
时，代数式的最 “大”或“小” 值为 ．
（2）【类比应用】
试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由．
（3）【迁移应用】
如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
②运用“配方法”求的最大值．
解：（1）【材料理解】：
时，代数式的最大值为．
故答案为：，大，；
（2）【类比应用】：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
理由如下：
△
，
当时，△有最小值为8，即△，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
（3）【迁移应用】：
①设的长度是厘米，的长度是厘米时，
四边形为矩形，
，
，
，
，
与之间的函数关系式为，
矩形面积；
②
，
，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．