考点05 一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【知识点】
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
2．分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(0(a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【核心题型】
题型一 一元二次不等式的解法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
命题点1 不含参数的不等式
【例题1】（2024·青海·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数真数大于零和一元二次不等式的解法可分别求得集合，根据并集定义可求得结果.
【详解】由得：，，；
由得：，，，.
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.
【详解】集合，
又，且，
故可得，即，解得.
故答案为：.
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由，得,解得，
所以。
因为，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
命题点2 含参数的一元二次不等式
【例题2】（2024·云南红河·二模）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
【详解】因为，均为正实数，若，则；
若，则，即或；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】根据题意可得不等式等价于；
因为，所以不等式的解集为；
依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得；
由几何概型概率公式可得其概率为.
故选：C
【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当时根据二次不等式的解法讨论的范围进而即得.
【详解】由题意知，当时，；当时，；当时，．
当时， ，即 ，构造函数 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当时，，当时，由，解得，不合题意；
当时，由，得，不合题意；
当时，由，得，，所以，此时，不合题意；
当时，，由，解得，
此时当时恒成立，所以的解集为，符合题意；
当时，由，得，又，所以，此时适合题意；
综上，关于的不等式的解集为，则 .
故选：C.
【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】 或1625
【分析】讨论的范围，解出不等式，结合题意确定的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可.
【详解】不等式等价于不等式．
当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，
则50个整数解为，，…，5，6，
所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，
这50个整数元素之和为．
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．
故答案为：；或1625
题型二 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
命题点1 在R上恒成立问题
【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x的不等式的解集为”是“”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出不等式的解集为的的范围，再由必要不充分条件的定义判断可得答案.
【详解】当即时，不等式的解集为，符合题意；
当即时，若不等式的解集为，
可得，解得，
所以不等式的解集为可得，充分性不成立，
若，则不等式的解集为，必要性成立，
所以不等式的解集为”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2】（2023·福建厦门·二模）“”是“，成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由，成立，则当时，恒成立，即，
当时，，解得，
因此，成立时，，
因为，所以“”是“，成立”的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
命题点2 在给定区间上恒成立问题
【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】B
【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.
【详解】由题意若不等式在上恒成立，
则必须满足，即，
由，两式相加得，
再由，两式相加得，
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，
解得，
经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.
【详解】设，则，
原命题等价于：任意，使为真命题，
所以，其中
设， 则
函数，的最大值为与中的较大者，
所以，
∴，解得，
故选：C.
【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【详解】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】因为对任意，
所以必须满足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，则
的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对，
故答案为：
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ．
【答案】.
【分析】令，则由题意可得，解不等式组可得结果.
【详解】令，
因为对于恒成立，
所以，即，解得，
所以实数x的取值范围为，
故答案为：.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数是定义在上的增函数．若不等式对于任意恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
【详解】∵是增函数，∴对于任意恒成立．
，即对于任意恒成立．
令．，为关于a的一次函数，在上是一条线段，
由，得．
【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.
【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,
设,则
又因为,所以.
所以即
设,
对于任意,,应用一次函数性质可知
即得,解得
则实数的取值范围是.
故答案为: .
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】或，或，
又，解得.
故选:D.
2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
3．（2024·云南红河·二模）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.
【详解】因为，均为正实数，若，则；
若，则，即或；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果.
【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立．
当时，需满足，
即，解得.
综上可知，实数a的取值范围是．
故选：C
5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件是的充分不必要条件是（ ）
A．函数定义域为，：在A上成立.：为增函数；
B．：成立，：最小值为4；
C．p:函数在区间恰有一个零点，q: ；
D．p:函数为偶函数（），q:
【答案】B
【分析】对于A，D我们都可以证明互为充要条件，对于C，取即可判断；对于B，成立当且仅当，注意到时有：最小值为4成立，由此即可判断.
【详解】对于A，不妨设，则函数定义域为全体实数，在实数域上成立，但它不是增函数，故A不符合题意；
对于B，：成立等价于恒成立，从而，
注意到当时有，，等号成立当且仅当，即时有：最小值为4成立，故B符合题意；
对于C，当时， 在区间恰有一个零点，但此时不满足，故C不满足题意；
对于D，p:函数为偶函数（）等价于恒成立，
也就是说恒成立，这意味着只能，从而当且仅当，故D不满足题意.
故选：B.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知且，若在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案．
【详解】由得，
①若，则，且，，
根据穿根法可知或时不符合题意，舍去；
②若，要满足题意则，符合题意，如图所示；
③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾；
④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意；
综上可知满足在恒成立时，只有满足题意.
故选：C ．
二、多选题
1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数t的值可能为（ ）
A．20B．21C．49D．50
【答案】CD
【分析】利用的关系式以及其范围可得且，将不等式转化为，利用二次函数单调性即可得.
【详解】由可得，
又可得，
所以可得，
即在时恒成立即可，
由二次函数单调性可得，即，可知CD满足题意；
故选：CD
2．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若不等式ax2＋bx＋c0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a