考点20 利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果
【核心题型】
题型一 将不等式转化为函数的最值问题
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，且是的极值点，证明：.
【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围.
题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)当时，，求的最大值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.
【变式3】（2024·贵州黔西·一模）已知函数.
(1)判断的单调性;
(2)证明:.
题型三 适当放缩证明不等式
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知等比数列的前项和为，则数列的公比满足（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·广东·模拟预测）令．则的最大值在如下哪个区间中（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数，且．
(1)讨论的单调性；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，证明：．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（22-23高三上·四川绵阳·开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西咸阳·三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·福建·模拟预测）机械制图中经常用到渐开线函数，其中的单位为弧度，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上恰有个零点（）
C．在上恰有个极值点（）
D．当时，
三、填空题
7．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足，则的值为 ．
四、解答题
9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
10．（2024·广东佛山·二模）已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
11．（2023·四川成都·二模）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若是的最大的极大值点，求证：.
综合提升练
一、单选题
1．（22-23高三上·河南·阶段练习）若，其中，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北衡水·三模）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·新疆·三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
5．（2023·河南·模拟预测）设a，b为正数，且，则（ ）.
A．B．C．D．
6．（2024·上海虹口·二模）已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
7．（2024·四川泸州·三模）已知，，给出下列不等式
①；②；③；④
其中一定成立的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·福建龙岩·二模）已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ）
A．在上单调递增
B．（其中是自然对数的底数）
C．
D．
10．（2023·河南信阳·模拟预测）已知，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（2023·四川成都·三模）已知函数，.当时，，则实数的取值范围为 ．
13．（23-24高三下·广东云浮·阶段练习）若实数，满足，则 ．
14．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
四、解答题
15．（2024·青海西宁·二模）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，求证：．
16．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
17．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记.
(1)若函数在处的切线过原点，求实数的值；
(2)对于正实数，求证：；
(3)当时，求证：.
18．（2024·上海嘉定·二模）已知常数，设，
(1)若，求函数的最小值；
(2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·上海奉贤·二模）设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;
②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;
③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·青海·二模）定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．在上恒成立，则
D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为正项数列的前n项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是 ；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是 .
8．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在上函数满足：，写出一个满足上述条件的函数 .
四、解答题
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，
(1)求的最小值；
(2)证明：.
10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．
11．（2024·山西晋城·二模）已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．