考点02 常用逻辑用语（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
【知识点】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反.
【核心题型】
题型一 充分、必要条件的判定
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
【例题1】（2024·陕西·模拟预测）给出下列三个命题：
①命题，使得，则，使得；
②“或”是“”的充要条件；
③若为真命题，则为真命题.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】运用含有一个量词的命题的否定可判断①，解一元二次不等式并结合充分条件、必要条件的定义可判断②，运用复合命题的真假关系可判断③.
【详解】对于①，命题，使得，则，使得，故①正确；
对于②，因为的解集为或，所以“或”是“”的充要条件，故②正确；
对于③，若为真命题，则、中至少有一个为真命题，
当真假或假真时，则为假，当真真时，则为真，故③错误.
故正确的命题是①②，即正确命题的个数为2.
故选：C.
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出当直线与圆有公共点时的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为，
若直线与圆有公共点，则，解得，
因为，，，
所以，直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是为.
故选：B.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性以及不等式的性质、充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】取，则，但，故不充分，
取，则，但，故不必要．
故选：D．
【变式3】（2024·安徽淮北·一模）记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解.
【详解】若是递增数列，则公差，所以，
故，所以为递增数列，
若为递增数列，则，则，
故，所以是递增数列，
故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，
故选：C
题型二 充分、必要条件的应用
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【例题2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1