考点34 数列的概念（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
【知识点】
1．数列的有关概念
2.数列的分类
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，记为an＝f(n)．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
【核心题型】
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【例题1】（2023·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65B．127C．129D．255
【变式2】（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列前n项的积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
命题点1 累加法
【例题2】（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ）
A．21B．25C．27D．31
【变式1】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
【变式2】（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
【变式3】（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
命题点2 累乘法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的前18项和为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山西太原·二模）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．
题型三 数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值
命题点1 数列的单调性
【例题4】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知n为正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·浙江·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和记为，满足，若数列为单调递增数列，则公差的取值范围为 .
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知是曲线上的点，，是数列的前n项和，且满足，
(1)求；
(2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
(3)证明：当时，弦的斜率随n单调递减．
命题点2 数列的周期性
【例题5】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）数列满足，，则 ．
【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前2024项和．
命题点3 数列的最值
【例题6】（2024·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ）
A．63B．64C．71D．72
【变式1】（2024·天津·二模）已知数列为不单调的等比数列，，数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（2023·上海普陀·一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
3．（2024·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·辽宁大连·一模）数列中， ，若数列是等差数列，则最大项为（ ）
A．B．或C．D．
二、多选题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则D．若数列是递增数列，则
6．（2024·福建泉州·一模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，数列是常数列
C．当时，D．当时，数列单调递减
三、填空题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则 .
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ．
9．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为．
(1)求．
(2)若，则当取最小值时，求的值．
11．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（ ）
A．272B．152C．68D．38
2．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4B．8C．D．
3．（2024·安徽阜阳·一模）已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
6．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（ ）
A．530B．531C．578D．579
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（ ）
A．190B．210C．380D．420
8．（2024·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则（ ）
A．B．数列的前项和为
C．数列的前项和为D．数列的第项为
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，为的前n项和，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在实数m，使为无穷多项的常数列
D．存在常数m，，使，，成等差数列
11．（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列中的最大项为
C．D．
三、填空题
12．（2024·四川广安·二模）已知数列的前项和为，且，，则 .
13．（2023·河南新乡·二模）已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
14．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
四、解答题
15．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；
(2)如果，求数列的前项和.
16．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列是等差数列，记为数列的前n项和，，，求．
17．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列中，，．
(1)记，证明：为等比数列；
(2)记为的前项和，若是递增数列，求实数的取值范围．
18．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和为，，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：当取得最大值时，．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43B．46C．37D．36
2．（2024·全国·模拟预测）已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ）
A．7B．15C．8D．16
3．（2024·全国·模拟预测）已知，数列中，，，为数列的前项和，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·河南·模拟预测）已知数列满足，则数列的前40项和（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列满足（m为正整数），，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则m所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若，k为正整数，则的前k项和为
6．（2024·海南海口·二模）已知为正项数列的前项和，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2023·广西·模拟预测）有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为 ．
8．（2024·上海徐汇·二模）已知数列的前项和为，若（是正整数），则 .
9．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列的前项和为，，，，则 ．
四、解答题
10．（2024·山东济南·一模）已知数列的前n项和为，且，令.
(1)求证：为等比数列；
(2)求使取得最大值时的n的值.
11．（2024·山东·模拟预测）已知数列满足，，．
(1)若，为递增数列，且，，成等比数列，求；
(2)若，，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．
概念
含义
数列
按照 排列的一列数
数列的项
数列中的__________
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝____________
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数______
无穷数列
项数______
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1 an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列