考点13 函数的图像（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【知识点】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右侧图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【核心题型】
题型一 作函数图象
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
【例题1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）分类去绝对值得分段函数的解析式，进而可作出函数的图象；
（2）法一：分类去绝对值，解不等式即可求得的解集.
法二：求得与的解，数形结合可求得的解集.
【详解】（1）由，解得或，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
画出函数的图象如图所示．
（2）法一：当时，原不等式转化为，得；
当时，原不等式转化为，得；
当时，原不等式转化为，无解．
综上，原不等式的解集为．
法二：当时，解得，
当时，解得，
数形结合可知，当时，
即原不等式的解集为
【变式1】（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意求出的分段函数解析式，作出图像，从而可求解.
（2）由（1）中图像可知，即任意对从而可求解.
【详解】（1）由题意得，作出图象，如图所示，

（2）由（1）知，所以对任意恒成立，
即，解得或，
所以的取值范围为.
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数．
(1)当时，画出的图象，并根据图象写出函数的值域；
(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围．
【答案】(1)图象见解析，
(2)
【分析】（1）分类讨论求出函数的解析式画图求值域即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值，不等式有解的问题，只需，求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以，作出图象如图所示：
函数的值域为：.
（2）关于x的不等式有解，
所以有解，
由绝对值三角不等式得，
所以，所以，
所以或，
所以a的取值范围为：
【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．

(1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象；
(2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)最大值为，.
【分析】（1）把代入，再画出函数图象即可.
（2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得.
【详解】（1）当时，，
在坐标平面内作出函数的图象，如图：

（2）依题意，，其图象如图：

令，得函数的图象与直线的两个交点，
直线与直线交于点，
显然，即点，
函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为：
，
显然函数在上单调递增，当时，，
所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时
题型二 函数图像的识别
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
【例题2】（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当时，，则，C不满足，A满足.
故选：A
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】，
因为当时，都为增函数，
所以，在上单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A；分别取，，结合函数符号排除CD.
【详解】由题意可知：的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当时，，所以，排除D；
当时，，所以，排除C．
故选：B
【变式3】（多选）（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
题型三 函数图象的应用
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
命题点1 利用图象研究函数的性质
【例题3】（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【分析】去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项.
【详解】A选项，，
画出其函数图象，如下：
故不是偶函数，A错误；
B选项，在上单调递减，故B错误；
C选项，的图象关于直线对称，C正确；
D选项，的图象与轴围成的三角形面积为，D错误.
故选：C
【变式1】（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数为奇函数，且在单调递减，则下列函数在一定单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意判断函数 的性质，作出大致图象，利用函数图象的平移以及伸缩变换，可得答案.
【详解】由题意函数为奇函数，且在单调递减，
则函数关于点 对称，且在 上都是单调递减，
作出其图象示意图如图：
对于A，图象是将的图象向右平移一个单位得到，在上的单调性不确定，故A不正确；
对于B，的图象是由的图象关于y轴对称，再向右平移一个单位得到，作出其示意图：
可知在上的单调性不确定，故B不正确；
对于C，是将的图象横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位，结合图象可知，在上的单调性不确定，故C不正确；
对于D，的图象是由的图象关于y轴对称，再向左平移一个单位得到，作出其示意图：
可知在上的单调递增，故D正确；
故选：D
【变式2】（多选）（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数，，下列判断中，正确的有（ ）
A．存在，函数有4个零点
B．存在常数，使为奇函数
C．若在区间上最大值为，则的取值范围为或
D．存在常数，使在上单调递减
【答案】BC
【分析】把表示为分段函数，分类讨论作出函数图像，数形结合研究函数的奇偶性、单调区间、最值等性质.
【详解】函数函数图像如图所示：
由图像可知，函数的图像与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；
当时，，函数定义域为R，，此时为奇函数，B选项正确；
当或时，在区间上单调递增，最大值为；
当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，不合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；
综上，在区间上最大值为，则的取值范围为或，C选项正确；
若在上单调递减，则有，不等式组无解，故不存在常数使在上单调递减，D选项错误；
故选：BC
【变式3】（多选）（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【答案】AB
【分析】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由函数解析式和图象可知随着的增加而减少，故A正确．
由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．
当时，，
则，
即天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
，故D错误．
故选：AB
命题点2 利用图象解不等式
【例题4】（23-24高三下·山西·阶段练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数图象，根据单调性得到不等式解出即可.
【详解】画出的图象如图所示，由图可知在上单调递增，
又，所以，解得.
故选：D.

【变式1】（22-23高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，由题可知直线要在函数的图象的下面，利用数形结合即得.
【详解】∵，
设，则恒成立，
作出函数与的大致图象，
由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，
由图象可知当与相切与点时为一个临界值，
把代入，可得，
由，可得或(舍去)，
当过的直线经过时为另一个临界值，此时，
所以.
故选：C.
【变式2】（2023·安徽·模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得单调递增，又，结合图象可得解集.
【详解】根据题意：当时，
，
当时,
可得函数在单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出与图象.
得，则不等式的解集为，
故选：B.

【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）定义：设不等式的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为.设，，根据的取值范围分类，作出的图象，结合图象，即可求得的取值范围.
【详解】可转化为.
设，，则原不等式化为.
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数，满足，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数，的图象，如图1所示

则，即，解得.
当m