考点09 函数的对称性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．
【知识点】
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称．
【核心题型】
题型一 轴对称问题
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)成轴对称．
【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为.若，则（ ）
A．1012B．2024C．3036D．4048
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ）
A．0B．C．2D．
题型二 中心对称问题
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．
【例题2】（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）定义在上的偶函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．是奇函数
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
【变式3】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
题型三 两个函数图象的对称
函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称．
【例题3】（2024上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数与的图象（ ）
A．关于原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于直线对称
【变式1】（2024下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2020上·安徽·高一校联考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么的对称中心为( )
A．B．C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称B．y＝0对称C．x＝1对称D．y＝1对称
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．-4B．0C．4D．8
2．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数则的图象关于（ ）
A．点对称B．点对称C．直线对称D．直线对称
4．（2023·云南·模拟预测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2024·全国·二模）已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ）
A．点是的图象的一个对称中心
B．为周期函数，且4是的一个周期
C．为偶函数
D．
7．（2024·江苏南通·二模）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．D．
三、填空题
8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数的图象关于直线对称，，且对任意，均有成立，若对任意恒成立，则的最小值为 .
9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则 .
四、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
(3)f(x)＝2x＋.
11．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.
(1)求的值；
(2)判断函数的零点个数.
12．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数关于点中心对称．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论在区间上的单调性；
(3)设，证明：．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数B．有两个零点
C．的最大值为2eD．的图象关于对称
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（ ）
A．4B．2C．1D．0
4．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．是奇函数
5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数定义域为，且，关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（ ）
A．2B．14C．18D．25
7．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A．4036B．4040C．4044D．4048
二、多选题
9．（2023·山东·模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，，，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．在上单调递减D．在上有50个零点
10．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数．若，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的周期是2
C．的图象关于直线对称D．
11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
三、填空题
12．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 .
14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数，函数与关于点中心对称．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不等的实根，，且，求a的值．
16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
17．（23-24高三上·上海·期中）已知函数.
(1)当时，确定是否存在，使得的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数，的图象与轴负半轴总有公共点，求的取值范围；
(3)当时，函数的图象与图象关于点对称，若对任意：，恒成立，求的取值范围.
18．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称．
(1)求m的值，及的最小值；
(2)设，均为正数，且，求的最小值.
19．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，则的图象（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于直线对称
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．函数关于直线对称
C．D．的周期为3
3．（2023·四川乐山·一模）已知函数定义域为R，且满足，，，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数，则下列关于的结论中正确的是（ ）
A．在上有最小值B．若，则有最大值
C．D．关于点中心对称
5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
二、多选题
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
7．（2024·吉林白山·二模）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2023·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，则 ．
四、解答题
10．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，且
(1)证明：函数的图像关于直线对称；
(2)若满足， 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围．
11．（2023·上海嘉定·二模）已知，等差数列的前项和为，记．
(1)求证：函数的图像关于点中心对称；
(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．