第24讲 特殊四边形-菱形（1考点+19题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第24讲 特殊四边形-菱形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156917260" \l "_Tc156807534" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156917261" 考点一 菱形的性质与判定
\l "_Tc156917262" 题型01 利用菱形的性质求角度
\l "_Tc156917263" 题型02 利用菱形的性质求线段长
\l "_Tc156917264" 题型03 利用菱形的性质求周长
\l "_Tc156917265" 题型04 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156917266" 题型05 利用矩形的性质求坐标
\l "_Tc156917267" 题型06 利用矩形的性质证明
\l "_Tc156917268" 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
\l "_Tc156917269" 题型08 证明四边形是菱形
\l "_Tc156917270" 题型09 根据菱形的性质与判定求角度
\l "_Tc156917271" 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156917272" 题型11 根据菱形的性质与判定求面积
\l "_Tc156917273" 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156917274" 题型13 与菱形有关的新定义问题
\l "_Tc156917275" 题型14 与菱形有关的规律探究问题
\l "_Tc156917276" 题型15 与菱形有关的动点问题
\l "_Tc156917277" 题型16 菱形与一次函数综合
\l "_Tc156917278" 题型17 菱形与反比例函数综合
\l "_Tc156917279" 题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合
\l "_Tc156917280" 题型19 菱形与二次函数综合
考点一 菱形的性质与判定
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
1. 对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.
2. 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.
3. 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.
4. 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，
5. 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的12 .
题型01 利用菱形的性质求角度
【例1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=（ ）
A．115°B．150°C．125°D．130°
【答案】B
【分析】根据菱形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠1，AB∥DC，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠1=15°，
∴∠DAB=30°，
∴∠D=180°−∠DAB=180°−30°=150°，
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形邻角互补和每一条对角线平分一组对角解答．
【变式1-1】（2023·陕西西安·一模）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴∠1=80°（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等．
【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC,CD于点E，F． 若∠EAF=60°，则∠D的度数为 ．

【答案】80°/ 80度
【分析】证△ABE△ADF(AAS)，得∠BAE=∠DAF，设∠B=∠D=x，则∠AEB=∠B=x，∠DAF=∠BAE=180°−2x，再由∠B+∠BAD=180°求出x=80°，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=DC，
由题意得：AB=AE，AD=AF，
∴∠AEB=∠B， ∠AFD=∠D，
∴∠AEB=∠B=∠AFD=∠D，
在△ABE和△ADF中，
∠AEB=∠AFD∠B=∠DAB=AD
∴△ABE≌△ADF (AAS) ，
∴∠BAE=∠DAF，
设∠B=∠D=x，则∠AEB=∠B=x，
∴∠DAF=∠BAE=180°−2x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC
∴∠B+ ∠BAD=180°，
即x+180°−2x+60°+180°−2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠D=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2020·吉林长春·统考二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=124°，则∠OED= 度．
【答案】28
【分析】由菱形的性质可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=62°，BO=DO，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=124°，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=62°，BO=DO，
∴∠BDE=28°,
∵DE⊥BC，
∴OE=OD=OB，∠BDE=28°，
∴∠ODE=∠OED=28°，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式1-4】（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F，连接BF，求∠DBF的度数．
【答案】∠DBF =45°
【分析】根据菱形的性质，以及垂直平分线的性质，求出∠ABD，∠ABF，再利用角的和差定义即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD=75°，
∴∠A=180°−75°−75°=30°，
由作图可知，EF垂直平分线段AB，
∴FA=FB，
∴∠FBA=∠A=30°，
∴∠DBF=∠ABD−∠ABF=45°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等角对角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型02 利用菱形的性质求线段长
【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点O，点E，F分别是OD和OC的中点，AE与BF交于点G，则EF的长为 ．

【答案】6
【分析】根据条件可判断EF为△COD的中位线，则EF=12CD计算即可．
【详解】∵点E，F分别是OD和OC的中点，
∴EF是△COD的中位线，
∴EF=12CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=12，
∴EF=12CD=6．
【点睛】本题主要考查中位线性质和判定，菱形的性质，能够判定中位线并应用性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江·模拟预测）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为43，则另一条对角线的长为 ．
【答案】4或12
【分析】题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以应分两种情况进行分析求解．
【详解】解：如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，
若AC=43，
∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°，AF=12AC=23,BF=12BD，
∴BF=AFtan30°=23×3=6，
∴BD=2BF=12；
若BD=43，
∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°，AF=12AC,BF=12BD=23，
∴AF=BF⋅tan30°=2，
∴AC=2AF=4；
故答案为：4或12．
【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形，熟练掌握菱形的性质、灵活应用分类思想是关键．
【变式2-2】（2022·湖南长沙·校考二模）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2−2m+1x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH= ．

【答案】245/445/4.8
【分析】根据菱形的性质得出AB=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，求出∠AOB=90°，根据勾股定理得出AO2+BO2=25，根据根与系数的关系得出2AO+2BO=2(m+1)，2AO⋅2BO=8m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴AO2+BO2=AB2=52=25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2−2(m+1)x+8m=0的两实数根，
∴2AO+2BO=2(m+1)，2AO⋅2BO=8m，
∴AO+BO=m+1，AO⋅BO=2m，
∴AO2+BO2=(AO+BO)2−2AO×BO=25，
∴(m+1)2−4m=25，
解得：m1=6，m2=−4，
∴当m=−4时，AO⋅BO=−8