第11讲 一次函数的应用（10题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第11讲 一次函数的应用
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc154350594" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc154350595" 题型01 分配问题
\l "_Tc154350596" 题型02 最大利润问题
\l "_Tc154350597" 题型03 行程问题
\l "_Tc154350598" 题型04 几何问题
\l "_Tc154350599" 题型05 工程问题
\l "_Tc154350600" 题型06 分段计费问题
\l "_Tc154350601" 题型07 体积问题
\l "_Tc154350602" 题型08 调运问题
\l "_Tc154350603" 题型09 计时问题
\l "_Tc154350604" 题型10 现实生活相关问题
一次函数的实际应用：
1）一次函数应用问题的求解思路：
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
题型01 分配问题
【例1】（2023·陕西咸阳·校考一模）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本x+10本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．
(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式： ， ；
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
【答案】(1)y1=15x+40,y2=15.2x+32，
(2)选择方案②更为优惠，见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；
（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：y1=15x+4×x+10−x=15x+40，y2=15x+4x+10×80%=15.2x+32；
（2）当x=10时，y1=15×10+40=190；y2=15.2×10+32=184
∵190>184，
∴选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收取总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：y=1700x0≤x≤20y=1400x+6000x>20
(2)甲旅行社
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；
当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，
当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+x−20⋅2000⋅0.7=1400x+6000，
故乙旅行社：y=1700x0≤x≤20y=1400x+6000x>20
（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，
则甲旅行社：y=1600×25=40000；
因为25>20
所以把x=25代入y=1400x+6000中，
则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；
因为41000>40000，
所以选择甲旅行社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
【变式1-2】（2022·陕西西安·统考三模）某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如表：
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【答案】(1)y=−50x+5600
(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元
【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数关系式即可；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．
【详解】（1）由题意得
y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)
整理得y=−50x+5600
（2）由题意得20−x≥2x
解得x≤203
∵−50