2023-2024学年安徽省阜阳市颍州区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市颍州区九年级（上）期末数学试卷，共11页。
1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．6B．9C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，则下列说法不正确的是（ ）
A．点M在第四象限B．点M关于x轴的对称点的坐标为（6，5）
C．点M关于y轴的对称点的坐标为D．点M关于原点的对称点的坐标为
4．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
5．有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则∠EPD的度数是（ ）
第6题图
A．136°B．144°C．145°D．150°
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB'C'D'，则图中阴影部分的面积为（ ）
第7题图
A．1B．C．D．
8．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作，交BF于点H，则线段GH的长是（ ）
第9题图
A．B．1C．D．
10．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，且．下列说法错误的是（ ）
第10题图
A．圆心O到AB的距离为1
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为
C．以AB为边向上作矩形ABPQ，交⊙O于点P，Q，则扇形OPQ的面积为π
D．取弦AB的中点D，当AB绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为2π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是______．
12．已知等腰三角形的两边长为方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
13．如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B．若点B是AC的中点，△AOB的面积为2，则k的值为______．
第13题图
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作于点E，连接PQ．请解决下列问题：
第14题图
（1）______；
（2）当△ABP与△PEQ相似时，______．
三、（本大题共2小题，每小题8分、满分16分）
15．解方程：．
16．如图，OC为⊙O的半径，弦AB垂直平分半径OC，垂足为E．若AB的长为6，求⊙O的半径．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点D，点D在网格的格点上．
（1）以点D为位似中心，在网格内点D上方画出△ABC的位似图形且使得它们的相似比为2：1；
（2）将（1）中的绕点D顺时针旋转90°得到，画出．
18．【观察】，，，…，，，，，，…，，，．
【发现】根据以上材料，回答下列问题：
（1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______．
【类比】观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，．
（2）猜想mn的最大值为______，并用你学过的知识加以证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，对应的x的取值范围．
20．定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度．
六、（本题满分 12 分）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆．AB是⊙O的直径，过点O作于点E，延长OE至点D，连接CD，使．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，求AC的长．
七、（本题满分12分）
22．如图，过等边三角形ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上一点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到线段CQ，连接QB．
（1）求证：；
（2）连接PB并延长交直线CQ于点D，且．
①试猜想BC和BQ的数量关系，并证明；
②若，求PB的长．
八、（本题满分14分）
23．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）若点P为直线BC上方抛物线上的一点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024年度（上）九年级期末学情调研
数学卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．A
10．C【解析】如图1，过点O作于点H，连接OA，则．在Rt△AOH中，由勾股定理得，∴圆心O到AB的距离为1，故选项A正确；如图1，延长HO交⊙O于点C，此时△ABC的面积最大．∵，∴，∴△ABC面积的最大值为，故选项B正确；如图2，连接PA，QB．∵四边形ABPQ是矩形，∴，∴PA，QB是⊙O的直径，∴．在Rt△ABP中，由勾股定理得．∵，∴，∴△POB是等边三角形，∴，∴，∴，故选项C错误；取弦AB的中点D，连接OD，OA，OB．∵，∴，∴，∴当AB绕点O旋转一周时，点D运动的路线是以O为圆心，半径长是1的圆，∴点D运动的路线长为，故选项D正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 12．10 13．
14．（1）（2分） （2）4或5（3分） 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，∵点P为BC的中点，∴，∴．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴．∵，∴，∴．①当时，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，即，∴；当时，．∵，∴，∴，∴四边形ABPQ是矩形，∴．综上所述，PQ的长为4或5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：整理，得，因式分解，得，
∴或，解得，．
16．解：如图，连接OA．
∵OC为⊙O的半径，AB垂直平分半径OC，，
∴，．
设⊙O的半径为r，则．
在Rt△OAE中，由勾股定理得，即，解得（负值舍去）．
∴⊙O的半径为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）如图，即为所作．
（2）如图，即为所作．
18．解：（1）
（2）1600
证明：由题意，得．
将代入mn，得，
∴当时，mn的最大值为1600．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）将代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
∵点B（3，n）在反比例函数的图象上，∴，∴点B的坐标为．
将，代入，
得解得
∴一次函数的解析式为．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
由，得点C的坐标为（0，2），
∴．
（3）根据函数图象可知，当时，对应的x的取值范围为或．
20．解：（1）∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，A（8，0）．
∵水面离桥洞最大距离为1米，
∴该抛物线顶点坐标为（4，1）．
设该抛物线解析式为，把A（8，0）代入，得，
解得，∴该拱桥所在抛物线的解析式为．
（2）由题意，得．
把代入，得，
解得，，∴（米）．
答：此时拱桥内水面的宽度为米．
六、（本题满分12分）
21．（1）证明：如图，连接OC．
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴，∴，即．
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵，∴．
在Rt△COD中，由勾股定理得．
∵，∴．
∵，∴．
七、（本题满分12分）
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴，．
由旋转，得，，
∴，∴，即．
在△ACP和△BCQ中，
∴，∴．
（2）解：①．
证明如下：如图，连接PQ．
由旋转，得，，∴△CPQ是等边三角形．
∵，∴，∴PD是CQ的垂直平分线．
∵点B在PD上，∴．
②由（1）知，∴，，∴．
∵，∴，∴，∴．
在Rt△CDP中，，
∴，∴．
∵，，∴．
∵，∴．
∴，∴．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）令，得，
解得，，即，B（3，0），∴．
（2）由抛物线知，点C的坐标为（0，3）．
如图1，连接OP，设，
则．
∵，∴当时，，
此时，，
∴当△BCP的面积最大时，点P的坐标为．
（3）存在满足条件的点N．
如图2，过点N作于点H，连接NA．
由抛物线可知，抛物线的顶点为M（1，4），与y轴的交点为C（0，3）．
设直线MC的解析式为，把M（1，4）代入，得，解得，
∴直线MC的解析式为，∴，∴．
当时，．
设N（1，n），则，，
∴，解得，
∴点N的坐标为或．