第八章　§8.5　椭　圆-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的 .注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数2＝|C1C2|，由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以C1，C2为焦点且长轴长为6的椭圆，
则2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1　(1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C： ＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为A.4　　　B.8　　　C.10　　　D.20
由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20.
(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图).步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为______.
如图，设点F关于折痕的对称点为点A，由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2，所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，
例2　(1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为
题型二　椭圆的标准方程
不妨设A(xA，yA)在第一象限，由椭圆的左焦点F(－1,0)，点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，
又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，
根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
跟踪训练2　(1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为
如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以|PF2|＋|F2Q|＝|PF2|＋|PF1|＝2a＝6，得a＝3.又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|F2Q|＝n，
题型三　椭圆的几何性质
设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
求椭圆离心率或其范围的方法
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
方法一　由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，
方法二　由题意知A(－4,0)，F(2,0)，设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1,0)，连接MN，如图，
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
所以1