2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略巩固练03等式与不等式的性质9种常见考点全面练(精练56题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略巩固练03等式与不等式的性质9种常见考点全面练(精练56题)(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了【多选】等内容，欢迎下载使用。

考点1用不等式表示不等关系
1．（2023·云南昆明·一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 .
2．（21-22高一上·浙江·期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示
3．（2021·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20B．22C．24D．26
4．（2020·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱B．7钱C．8钱D．9钱
考点2由已知条件判断所给不等式是否正确
5．（2024·北京·三模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．【多选】（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
9．【多选】（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．【多选】（2024·福建厦门·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
11．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
12．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在使得D．若且，则
14．【多选】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．当最小时，
考点3利用不等式的性质判断命题的真假
15．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
16．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
17．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
18．【多选】（2024·湖北武汉·模拟预测）设，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
19．【多选】（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
20．【多选】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
考点4作差法比较代数式的大小
21．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
24．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
25．【多选】（2023·河南·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：
①存在正整数，当时，；
②存在正整数，当时，；
③存在正整数，当时，．
其中所有正确结论的序号是 ．
27．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
28．（2023·陕西·模拟预测）已知且.
(1)若，设，比较和的大小;
(2)若，求的最小值.
考点5作商法比较代数式的大小
29．【多选】（2021·广东肇庆·一模）下列大小关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
30．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
32．（2022·广西·模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
33．（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
34．（2023·四川资阳·一模）已知，，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
35．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A．B．
C．D．
36．【多选】（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
考点6由不等式的性质证明不等式
37．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．
（2）设a，b，c为正实数，求证：．
38．（2024·全国·模拟预测）已知．证明：
(1)当时，；
(2)．
39．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
40．（2023·河北衡水·三模）已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范围；
（2）若ab＞0，求证：．
41．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
（1）请给出的一组值，使得成立；
（2）证明不等式恒成立．42．（2023·河南平顶山·一模）（1）解不等式 ；
（2）已知 、 ，求证：
考点7利用不等式求值或取值范围
43．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
44．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
45．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
47．（23-24高一·全国·课后作业）若，，，则的取值范围为
48．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A．B．C．D．或
考点8糖水不等式
49．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．B．C．D．
50．（23-24高一上·广东广州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ）
A．B．
C．D．
51．【多选】（2021·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
52．（2021·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
54．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.
考点9不等式的实际应用
55．（2023·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
56．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
巩固练03 等式与不等式的性质9种常见考点全面练（精练56题）
考点1用不等式表示不等关系
1．（2023·云南昆明·一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 .
【答案】
【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式.
【详解】依题意，.
故答案为：
2．（21-22高一上·浙江·期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示
【答案】
【分析】运用不等式的性质可得答案.
【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，
因为，所以成立.
故答案为：.
3．（2021·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【分析】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出.
【详解】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数，
则由题意得，，，，可得，
所以，，，即至少有个.
故选：B.
4．（2020·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱B．7钱C．8钱D．9钱
【答案】C
【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
考点2由已知条件判断所给不等式是否正确
5．（2024·北京·三模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如，此时，所以B不正确；
对于C中，由函数在上为单调递减函数，
因为，所以，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时，所以D不正确.
故选：C.
6．（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C.
【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误；
对于B：当、，满足，但是，故B错误；
对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确
对于D：当、，满足，但是，故D错误.
故选：C
7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C
8．【多选】（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
9．【多选】（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设，则，在单调递增，
所以，即，即，A正确；
令，，则，而，所以，B不正确；
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时取得最小值，即，C正确；
设，则，所以在上是增函数，
所以由得，即，D正确.
故选：ACD
10．【多选】（2024·福建厦门·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对A、B：借助不等式的性质即可得；对C：借助指数函数的单调性即可得；对D：借助基本不等式计算即可得.
【详解】对A：由，则，故A正确；
对B：由，则，故B错误；
对C：由在上单调递增，故，故C错误；
对D：由，则，故，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD.
11．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，
于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，由知，
知，所以，即，
，此时，选项B错误.
故选：ACD.
12．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由，得，所以，A正确．
因为，所以，所以0，所以，B正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，C正确．
因为，所以，D错误．
故选：ABC．
13．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在使得D．若且，则
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．
对于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正确．
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误．
对于D，由，得．由，得．
因为，所以，所以，D正确．
故选：ABD．
14．【多选】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．当最小时，
【答案】BCD
【分析】根据反例可判断A的正误，再利用不等式的基本性质，以及基本不等式和绝对值的几何意义可判断BCD的正误.
【详解】对于A中，当时，，所以A错误；
对于B中，由，可得，所以B正确；
对于C中，因为，所以，
又因为，所以等号不成立，，所以C正确；
对于D中，由的最小值，即为数轴到和的距离之和最小，
当且仅当时最小，此时，所以D正确.
故选：BCD.
考点3利用不等式的性质判断命题的真假
15．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.
对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；
对于C：取，时，则，，，则，故C错误；
对于D：当，时，，，则，故D错误；
故选：B.
16．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
17．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，若，当时，不满足，即A错误；
对于B，若，则，所以B错误；
对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；
对于D，若，不妨取，则，可得D错误；
故选：C
18．【多选】（2024·湖北武汉·模拟预测）设，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据给定的正实数条件，利用不等式性质，结合选项的条件推理判断ABD；令，借助辅助角公式及三角函数性质求解判断C.
【详解】对于A，由，得，而，则，
因此，即，于是，A正确；
对于B，由，得，即，
又，B正确；
对于C，令，则，
其中锐角满足，显然，
因此当时，，C正确；
对于D，由，得，，，
当，即时，，即，D错误.
故选：ABC
19．【多选】（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，则，而，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
20．【多选】（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断.
【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的.
因为根据不等式性质可得正确.
因为，所以所以即所以故C错误.
因为，所以，
所以正确.
故选：BD
考点4作差法比较代数式的大小
21．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小.
【详解】根据题意得,,,,
对于A选项,
对于B选项,
对于C选项,
对于D选项,
故选：B.
22．（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.
【详解】设，则令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，则，
又，得，
所以，
故选：A
23．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
24．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
25．【多选】（2023·河南·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，得到，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.
【详解】由不等式，可得且，即，
对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；
对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.
故选：ABC.
26．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：
①存在正整数，当时，；
②存在正整数，当时，；
③存在正整数，当时，．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据递推关系求出，用差比较法可判定各选项.
【详解】对于①：由，，可得，
又，当时，
因为，所以时，故①错误；
对于②：，又，
结合①的结论时，
所以当时，，故②正确；
对于③：，
，
所以当时，，
所以，故③正确；
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题关键在于求出，根据递推关系分析出当时，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③.
27．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）因为，构建，利用导数判断的单调性，结合分析判断；
（2）构建，原题意等价于在内恒成立，利用导数分类讨论的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，且，则有：
若，则，即；
若，则，即；
若，则，即.
（2）若恒成立，则，
构建，
原题意等价于在内恒成立，
则，
1.若，则
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，不符合题意；
2.若，则有：
（ⅰ）若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，符合题意；
（ⅱ）若时，令，解得或，
①若，即时，当时，，
可知在内单调递减，此时，不合题意；
②若，即时，则，
可知在内单调递增，
当时，此时，不合题意；
③若，即时，则，
由（1）可知：当时，，
则，
可得，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
28．（2023·陕西·模拟预测）已知且.
(1)若，设，比较和的大小;
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作差后因式分解即可得；
（2）借助基本不等式与三元基本不等式即可得.
【详解】（1），
由且，故，故；
（2）由，故，又，故，，
则有，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
考点5作商法比较代数式的大小
29．【多选】（2021·广东肇庆·一模）下列大小关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】结合指数函数和幂函数的性质可判断选项A、B，利用作差法可判断选项C，利用作商法可判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】由指数函数和幂函数可知，当时，
因为，所以，选项A不正确；
因为，所以，故选项B正确；
因为，所以，即
所以，所以，故选项C不正确；
因为，，
所以，
所以，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉指数函数和幂函数，记住同一直角坐标系中它们的图象，当时，另外代数式比较大小可以用作差法与0比较大小，同号的可以利用作商法与1比较大小，变形的过程很灵活，属于常考题型.
30．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解.
【详解】，
，而
而，因为，所以，
所以，故，
所以.
故选：B
31．（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
32．（2022·广西·模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，通过求导可得到，再通过正数成等比数列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案
【详解】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
33．（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.
【详解】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；
选项B中，，，与大小不能确定，故B错误；
选项C中，由于，故C错误；
选项D中，令，则，故D错误.
故选：A.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题.
34．（2023·四川资阳·一模）已知，，下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对称函数的性质及作差（作商）法判断即可.
【详解】解：因为，，
对于A：指数函数单调递减，所以，故A错误；
对于B：，，故B错误；
对于C：显然，，且，
，，，，，故C错误；
因为在定义域上单调递减，所以，，，
故，故D正确，
故选：D．
35．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.
【详解】解:由题知,
所以,
当且仅当时取等,
因为,所以,
即,故,
即选项A错误,选项B正确;
因为,
所以,
当且仅当,即时取等,
所以可得,
故选项C正确,选项D错误.
故选:BC
36．【多选】（2021·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由于已知得，即利用基本不等式可判断A；由，可判断B；令，，，可判断C，D．
【详解】由于，且，所以，所以，且，，，A正确；
因为，即，B正确；
令，，，则，，C，D错误．
故选；AB．
【点睛】本题考查了比较大小，解题的关键点是由已知得出，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.
考点6由不等式的性质证明不等式
37．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．
（2）设a，b，c为正实数，求证：．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，a，b为正实数，
所以，所以，当且仅当时，取等号．
（2）由（1），得．
同理，得，
所以，
当且仅当时，取等号．
38．（2024·全国·模拟预测）已知．证明：
(1)当时，；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，再根据不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可得证；
（2）由，得，再结合基本不等式即可得证.
【详解】（1）证明：由，
等式两边同时除以，得，
当时，，所以，
所以，得，又，所以；
（2）证明：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
39．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
【详解】（1）证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
40．（2023·河北衡水·三模）已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．
（1）求a-b的取值范围；
（2）若ab＞0，求证：．
【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．
①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，
得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，
利用配方法即可容易证明.
【详解】（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．
①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，
所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，
而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，
所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，
因为
当且仅当ab＝2时取等号，
所以．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．
41．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
（1）请给出的一组值，使得成立；
（2）证明不等式恒成立．
【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析
【解析】（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.
【详解】解析:（1）（答案不唯一）
（2）证明:由题意可知,,因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
42．（2023·河南平顶山·一模）（1）解不等式 ；
（2）已知 、 ，求证：
【答案】(1) 或 或 (2)见解析
【详解】 试题分析：（1）把原不等式化简为等价不等式，即可额牛街不等式的解集；
（Ⅱ）由 、 是非负实数，作差比较，即可作出证明．
试题解析：
（1）原不等式可化为
继续化为 ，其等价于 ．
∴原不等式的解为 或 或 ．
（Ⅱ）由 、 是非负实数，作差可得：

当 时， ，从而 ，得；
当 时， ，从而 ，得；
所以， ．
考点7利用不等式求值或取值范围
43．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由可得，所以，
故答案为：
44．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
45．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：D.
46．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质，变形求解.
【详解】，两式相乘得，所以，A正确；
由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；
因为，所以两式相乘得，C正确；
因为，所以两式相乘得，D错误．
故选：AC
47．（23-24高一·全国·课后作业）若，，，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用不等式的性质运算即可得解.
【详解】解：设，则，
解得：，，则，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案为：.
48．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
【详解】设，，，
，
∴，.
∴赋分是或.
故选：D.
考点8糖水不等式
49．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了.
【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了，
所以.
故选：D
50．（23-24高一上·广东广州·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.
【详解】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.
故选：B.
51．【多选】（2021·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】依题意得到，再根据不等式的性质一一判断即可；
【详解】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
52．（2021·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【分析】根据题中糖水不等式，结合对数的运算性质和换底公式进行解题即可.
【详解】空1：因为，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
53．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
【答案】(1)若，则；证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）用作差比较法即可；
（2）结合（1）的结论即可证明.
【详解】（1）若，则.
证明：.
因为，所以，又，故，
因此.
（2）在锐角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
54．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；
（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.
【详解】（1）该不等式为
证明：因为，所以，于是.
（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，
又 ，
所以当时，两种方案一样；
当时，第二种方案比较经济.
考点9不等式的实际应用
55．（2023·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
【答案】(1)方案一元升；方案二元升
(2)方案二比较经济划算，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果.
【详解】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
（2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
且，所以选择第二种加油方案比较经济划算.
56．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【答案】(1)小时
(2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期