2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点05基本不等式及其应用7类常见考点全归纳(精选128题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点05基本不等式及其应用7类常见考点全归纳(精选128题)(原卷版+解析)，共93页。试卷主要包含了基本不等式的内容及辨析，利用基本不等式比较大小，利用基本不等式求最值，与基本不等式有关的参数问题，基本不等式的实际应用，利用基本不等式证明不等式，基本不等式的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 基本不等式的内容及辨析
考点二 利用基本不等式比较大小
考点三 利用基本不等式求最值
（一）直接法
（二）配凑法
（1）凑项
（2）凑系数
（3）分离
（三）常数代换法
（四）消元法
（五）换元法
（六）齐次化
（七）重组转化
（八）利用两次基本不等式求最值
（九）基本不等式与对勾函数
考点四 与基本不等式有关的参数问题
考点五 基本不等式的实际应用
考点六 利用基本不等式证明不等式
考点七 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
（二）与三角函数、解三角形的结合
（三）与平面向量的结合
（四）与数列的结合
（五）与解析几何的结合
（六）与立体几何的结合
知识点1 重要不等式
a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
知识点2 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(均值定理)
1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；
3．其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.
知识点3 利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当 x＝y 时，x＋y有最小值2eq \r(P).(简记：“积定和最小”)
2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值eq \f(S2,4).(简记：“和定积最大”)
知识点4 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．
(5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
1. 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
2. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
3. 三元均值不等式
(1)eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc).
(2)eq \f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
4.二维形式柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
5.基本不等式公式推导图
7.利用基本不等式求最值的基本方法
(1)直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
(2)配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
(3)常数代换法
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
(4)消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
(5)换元法
①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
(6)齐次化求最值
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
(7)重组转化
当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.
(8)利用两次基本不等式求最值
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.
(9)基本不等式与对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；
对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；
①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：

②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：

8.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，
当且仅当时等号成立.
9.与基本不等式有关的参数问题
(1)求参数的值或取值范围的方法
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
10.利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
11.求基本不等式与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
考点一 基本不等式的内容及辨析
1.（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2.（2024·全国·高三专题练习）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2024秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5.【多选】（2024·宁夏银川·高一银川一中校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
6.【多选】（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．时，的最小值是2
B．存在实数，使得不等式成立
C．若，则
D．若，且，则
7.（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
考点二 利用基本不等式比较大小
8.（2024·高一课时练习）若，，，则，，，中最大的一个是______．
9．【多选】（2024·山东潍坊·统考二模）已知实数，则（ ）
A． B．C．D．
10．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．【多选】（2024·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2024·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．【多选】（2024·全国·高三专题练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．【多选】（2022秋·全国·高一专题练习）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
15.【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
16.（2024·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
17.（2024·高一课时练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为的砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
考点三 利用基本不等式求最值
（一）直接法
18.（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
19．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）已知，，且，则的最大值是_____.
20．（2024·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
21.（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·全国·高三对口高考）已知，且，则的最大值为___________．
23．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
24．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最大值为__________
25．（2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
26．【多选】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
27．【多选】（2024·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为D．的最小值为
28．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
（二）配凑法
（1）凑项
29．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
30.（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）函数的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
31．（2024·陕西榆林·统考三模）若，则的最小值为________．
32．（2024·天津红桥·统考一模）已知，则的最小值为___________．
33．（2024·全国·高三专题练习）已知，求函数的最大值.
（2）凑系数
34.（2024·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
35.（2024·全国·高三专题练习）已知，求函数的最大值.
（3）分离
36．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
37．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
38.（2024·全国·高三专题练习）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
39．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
40．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．
（三）常数代换法
41.（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．17C．20D．25
42．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
43.（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
44．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．4D．1
45．（2024·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
46．（2024·湖北·荆州中学校联考二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
47.（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为__________.
48.（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）若正数，满足，则的最小值是__________．
49.（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．
50．（2024·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．
51．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
52．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
53．（2024·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为______.
54.（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知．
(1)证明：．
(2)求的最大值．
（四）消元法
55.（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
56．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
57．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为__________.
58．（2024·天津·校联考二模）若，且，则的最小值为______.
59．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________．
（五）换元法（整体化）
60.（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
61．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
62．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
63.（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.
64．【多选】（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数满足，则的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
65．（2024·全国·高三专题练习）设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
66．【多选】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为5
C．的最小值为D．
67.（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知，则的最大值是____________.
68.（2024·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
69．（2024秋·天津静海·高三校考阶段练习）若，且，则的最小值为_________
70．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
（六）齐次化
71．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
72．（2024·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
73.（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
（七）重组转化
74．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为__________．
75．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则的最小值为__________．
76．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______．
（八）利用两次基本不等式求最值
77．（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
78．（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设，那么 的最小值是___________.
79．（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
（九）基本不等式与对勾函数
80．【多选】（2024·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A．B．
C．，D．
81．（2024·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
82．（2024·全国·高三专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________．
83．（2024·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为________．
考点四 与基本不等式有关的参数问题
84．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
85．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
86.（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
87．（2024·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
88．（2024·全国·模拟预测）若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
89．（2024·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
90.（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
91．（2024·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
92.（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
93.（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）已知，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．24D．25
考点五 基本不等式的实际应用
94．（2024·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
95.（2023秋·河南·高一校联考期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
96.（2023秋·广东广州·高一校考期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．
(1)写出关于的函数表达式；
(2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值．
97．（2024·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件B．50万件C．60万件D．80万件
98．（2024·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元B．2100万元C．2200万元D．3800万元
99.（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
考点六 利用基本不等式证明不等式
100.（2023·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
101．（2024·全国·高三专题练习）证明：如果、，那么．
102．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知都是正数，且，证明：
(1)；
(2).
103．（2024·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
104．（2024·广西南宁·统考二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
105．（2024·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：
(1)；
(2)若，则.
考点七 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
106．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知二次函数的值域为，则的值是________；的最大值是__________.
107．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
108．（2024·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．
109．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知正实数a，b满足，则的最小值是______．
（二）与三角函数、解三角形的结合
110．（2024·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
111．（2024·四川遂宁·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.
112．（2024·江西九江·统考二模）在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A．B．1C．D．
113．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
（三）与平面向量的结合
114．（2024·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
115．（2024·安徽安庆·统考二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
116．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为________．
（四）与数列的结合
117．（2024·高三课时练习）在等差数列中，，且，则的最大值为______.
118．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
119．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
（五）与解析几何的结合
120.（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
121．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
122．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最大值为
123．（2024·四川宜宾·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．
124．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
125．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为（ ）
A．9B．20C．25D．30
（六）与立体几何的结合
126．（2024·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
127．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
128．（2024·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
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考点05 基本不等式及其应用7类常见考点全归纳
考点一 基本不等式的内容及辨析
考点二 利用基本不等式比较大小
考点三 利用基本不等式求最值
（一）直接法
（二）配凑法
（1）凑项
（2）凑系数
（3）分离
（三）常数代换法
（四）消元法
（五）换元法
（六）齐次化
（七）重组转化
（八）利用两次基本不等式求最值
（九）基本不等式与对勾函数
考点四 与基本不等式有关的参数问题
考点五 基本不等式的实际应用
考点六 利用基本不等式证明不等式
考点七 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
（二）与三角函数、解三角形的结合
（三）与平面向量的结合
（四）与数列的结合
（五）与解析几何的结合
（六）与立体几何的结合
知识点1 重要不等式
a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
知识点2 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(均值定理)
1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；
3．其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.
知识点3 利用基本不等式求最大、最小值问题
1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当 x＝y 时，x＋y有最小值2eq \r(P).(简记：“积定和最小”)
2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值eq \f(S2,4).(简记：“和定积最大”)
知识点4 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．
(5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
1. 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
2. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
3. 三元均值不等式
(1)eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc).
(2)eq \f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
4.二维形式柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
5.基本不等式公式推导图
7.利用基本不等式求最值的基本方法
(1)直接法
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积，和和平方和三者之间的不等式关系：
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
(2)配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，
“三相等”是指满足等号成立的条件.
②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
③形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
(3)常数代换法
①若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
②常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2)把确定的定值(常数)变形为1；
3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
4)利用基本不等式求解最值．
③有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
(4)消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
(5)换元法
①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
(6)齐次化求最值
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
(7)重组转化
当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.
(8)利用两次基本不等式求最值
在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.
(9)基本不等式与对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；
对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；
①当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：

②当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：

8.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，
当且仅当时等号成立.
9.与基本不等式有关的参数问题
(1)求参数的值或取值范围的方法
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
10.利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
11.求基本不等式与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
考点一 基本不等式的内容及辨析
1.（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
2.（2024·全国·高三专题练习）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，故选：.
3.（2024·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
4.（2024秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，当时，，A不正确；
对于B，当时，，且，若，则，B不正确；
对于C，，则，即C不正确；
对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：D
5.【多选】（2024·宁夏银川·高一银川一中校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】BD
【详解】令，则，
在，上单调递增，故，A错误；
当时，，当且仅当时取等号，B正确；
当，时，C显然不成立；
若，，则，，
则，当且仅当时取等号，D正确．
故选：BD．
6.【多选】（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．时，的最小值是2
B．存在实数，使得不等式成立
C．若，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【详解】当时，，当且仅当时等号成立，
故时，取不到最小值2，故A错误；
当时，,故B正确；
,故，故C正确；
，，则,解得，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选:BCD.
7.（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，
此时，
当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；
对：，
当且仅当，即时取等号，
但，则等号取不到，故的用法有误；
对：，，，
当且仅当，即时取等号，故的用法有误；
故使用正确的个数是0个，
故选：.
考点二 利用基本不等式比较大小
8.（2024·高一课时练习）若，，，则，，，中最大的一个是______．
【答案】##
【详解】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是.
故答案为：
9．【多选】（2024·山东潍坊·统考二模）已知实数，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】ABD
【分析】作差法判断A、B；特殊值法判断C；由基本不等式易知，再根据对数性质判断D.
【详解】A：，则，正确；
B：，则，正确；
C：当时，，错误；
D：由（注意等号取不到），则，正确.
故选：ABD
10．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD.
【详解】，且，
所以，即，故A错误，B正确；
所以，即，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．【多选】（2024·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
12.（2024·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；
B：由，仅当时等号成立，故，正确；
C：由，仅当时等号成立，故，错误；
D：由，仅当时等号成立，故，错误.
故选：B
13．【多选】（2024·全国·高三专题练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A：利用基本不等式“1”的妙用直接证明；
对于B：利用基本不等式直接证明；
对于C：利用基本不等式直接证明出，即可判断；
对于D：结合立方和公式得，再结合B选项即可判断.
【详解】解：对于A：因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以成立.故A正确；
对于B：因为，
所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，
所以.
记，则，
所以，
所以，即.故C错误；
对于D：因为，
所以，，
由B选项知，
所以，即，故D选项正确.
故选：ABD
14．【多选】（2022秋·全国·高一专题练习）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质，可判定A错误；利用基本不等式，可判定B正确；根据，，可判定C错误；由作差比较法，得到和，结合，可判定D正确.
【详解】由，可得，所以A错误；
由且，则，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以等号不成立，故成立，所以B正确；
当，时，可得，所以C错误；
因为，所以，当且仅当时取等号；
同理可得：，当且仅当时取等号，
又因为，即，不同时等于1，所以，所以D正确．
故选：BD．
15.【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，
由，即，则，A正确；
由，即，B错误；
由，C正确；
由，当且仅当时等号成立，D错误；
故选：AC
16.（2024·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.
故选：A.
17.（2024·高一课时练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为的砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
【答案】B
【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），再利用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即，，解得：，
下面比较与的大小：
，由于，故等号不成立，
所以
故选：B
考点三 利用基本不等式求最值
（一）直接法
18.（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：C.
19．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）已知，，且，则的最大值是_____.
【答案】4
【分析】根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】因为，，所以由基本不等式得,
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,
故答案为：4
20．（2024·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果.
【详解】由已知可得，
则，即，
所以，当且仅当时取等号，即，，
此时.
故选：B．
21.（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，即，所以，又，，
则，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
22．（2024·全国·高三对口高考）已知，且，则的最大值为___________．
【答案】2
【分析】利用基本不等式得到，从而得到.
【详解】因为，且，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：2
23．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
24．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最大值为__________
【答案】2
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为2
故答案为：2
25．（2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据基本不等式推出，进而根据不等式可得，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
因为，，由基本不等式知，
当且仅当时，等号成立.
所以，所以，
所以，
所以的最小值为2.
故选：D.
26．【多选】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
27．【多选】（2024·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，将代入替换，利用“1”的代换，化简然后利用均值不等式即可.
【详解】对A，，，当时，即时，可取等号，A对；
对B，，因为，所以，，取不到1，故B错；
对C，，当时，可取等号，C对；
对D，，，当时，可取等号，D对；
故选：ACD
28．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】A、B选项由基本不等式直接判断即可；C选项分别求出的范围即可判断；D选项令，平方整理后，利用即可判断.
【详解】由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
由正数a，b及知，，可得，故，C错误；
令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正确.
故选：ABD.
（二）配凑法
（1）凑项
29．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
30.（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）函数的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，
故函数的最小值为.
故选：A
31．（2024·陕西榆林·统考三模）若，则的最小值为________．
【答案】7
【分析】利用基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为7．
故答案为：7
32．（2024·天津红桥·统考一模）已知，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】将不等式变为，再由基本不等式即可得出答案.
【详解】,
当且仅当，即时取等.
故答案为：.
33．（2024·全国·高三专题练习）已知，求函数的最大值.
【答案】
【解析】因为，所以，则有
，
当且仅当，即时取等号，
故函数的最大值为 1.
（2）凑系数
34.（2024·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【答案】
【详解】因为，所以，
则有，
当且仅当，即时，取等号，
故的最大值是.
35.（2024·全国·高三专题练习）已知，求函数的最大值.
【解析】因为，所以，
则有，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以函数的最大值为.
（3）分离
36．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】令，则，后由基本不等式可得答案.
【详解】令，
，当且仅当，即时取等号.
故选：A
37．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）10.
【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.
（2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.
【详解】（1）
∵（当且仅当，即x=1时取等号）
的最小值为3；
（2）令，则，

当且仅当即t=3时取等号
y的最小值为10
38.（2024·全国·高三专题练习）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【详解】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
39．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.
【详解】，且,为非负实数，，
则
则，解得，，解得，
，
当且仅当即，时,即时等号成立，
故，
故选：B.
40．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．
【答案】
【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可．
【详解】解：由且，可得，代入，
又，
当且仅当，即，
又，可得，时，不等式取等，
即的最大值为，
故答案为：．
（三）常数代换法
41.（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．17C．20D．25
【答案】D
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
42．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
【答案】25
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：25
43.（2024春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，
所以的最小值为，
故选：D
44．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．4D．1
【答案】D
【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1.
故选：D.
45．（2024·吉林延边·统考二模）设，，若，则取最小值时a的值为______．
【答案】/0.75
【分析】根据题意可得、，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【详解】由，，得，
由，得，
∴，
当且仅当即，时等号成立.
故当，时取得最小值16.
故答案为：.
46．（2024·湖北·荆州中学校联考二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
47.（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，
，
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：
48.（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）若正数，满足，则的最小值是__________．
【答案】4
【详解】因为，所以，则，
因为，所以，则，
故，当且仅当时，等号成立．
故答案为:4.
49.（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．
【答案】．
【解析】令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
50．（2024·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．
【答案】
【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值是.
故答案为：.
51．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
52．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
【答案】A
【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.
【详解】由，，，
所以
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为：12，
故选：A.
53．（2024·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为______.
【答案】/
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意为正数，，
所以
，
当且仅当，
，时等号成立.
故答案为：
54.（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知．
(1)证明：．
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，且，所以，
则，即，得．
当且仅当，即时，等号成立．
故得证．
（2）由题意得，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
（四）消元法
55.（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
56．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解.
【详解】方法一：因为，故，解得，
故,当且仅当 ，即，时等号成立.
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立.
故选：C.
57．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由可得，则，由可得，
所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
58．（2024·天津·校联考二模）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
59．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________．
【答案】2
【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.
【详解】由得，则
，
当且仅当时，此时，，或者，时等号成立，
所以的最大值为2．
故答案为：2.
（五）换元法（整体化）
60.（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以即，当且仅当时，等号成立；
解得或（舍）.
故选：B.
61．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，结合条件可得，进而即得.
【详解】因为，由，可得，
又，
可得，
化为，
解得，
则的取值范围是.
故选：A.
62．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解.
【详解】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，
即，，
∴，∴，
此时，，即，时，的最大值为8.
故选：B.
63.（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为:
64．【多选】（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数满足，则的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】BC
【分析】令，把等式变形成，用表示，然后再用基本不等式，用表示成不等式，解不等式即可.
【详解】，，设，则由题意得，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，所以的取值范围是
故选：BC.
65．（2024·全国·高三专题练习）设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；
法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.
【详解】解：法一：（基本不等式）
设，则，
条件，
所以，即.
故选：D.
法二：（三角换元）由条件，
故可设，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,当且仅当时取等号.
故选：D.
66．【多选】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为5
C．的最小值为D．
【答案】AC
【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.
【详解】依题意，
对于A：因为，
所以，
当且仅当时取等号，
令，则有，
解得，又因为，
所以，即，
的最大值为2，故A选项正确；
对于B：因为，
所以，
当且仅当时取等号，
令，则有，
解得或（舍去），
即，所以的最小值为4，
故B选项错误；
对于C：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
所以的最小值为，故C选项正确；
对于D：当，时，，
所以D选项错误；
故选：AC.
67.（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知，则的最大值是____________.
【答案】
【解析】，设，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函数在上单调递增)
故答案为：
68.（2024·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
69．（2024秋·天津静海·高三校考阶段练习）若，且，则的最小值为_________
【答案】
【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.
【详解】令，则，
则，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解.
70．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
（六）齐次化
71．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．
又，
而
，
当且仅当，即，时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
72．（2024·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
73.（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】/
【解析】由正实数a，b，，可得 ，
所以

而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
（七）重组转化
74．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题可知，
故，
则，当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：.
75．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则的最小值为__________．
【答案】12
【分析】利用已知将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意，，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
76．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解得，再根据取等号的条件可得，判断出的范围，进而判断得的范围，可得，可得所求最小值.
【详解】，
当且仅当，即时取“＝”，
此时，∵，，
∴，∴，∴，
∴原式，此时，，．
故答案为：
【点睛】求解本题的关键是将原式变形为，根据基本不等式求最值，由取等号的条件，化简得，从而求解的范围.
（八）利用两次基本不等式求最值
77．（2024·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求出最值.
【详解】，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
78．（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设，那么 的最小值是___________.
【答案】16
【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
所以，当时，取最小值16.
故答案为：16
79．（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据基本不等式进行化简求解即可.
【详解】因为a，b，c均为正数，所以，
当且仅当，时等号同时成立.
故答案为：.
（九）基本不等式与对勾函数
80．【多选】（2024·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】BD
【分析】根据基本不等式，当且仅当时取等号，即可作出判断.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，所以，A错误；
对于B，，
因为，所以，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，B正确；
对于C，因为，所以，由对勾函数性质可知：
，C错误；
对于D，，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，D正确.
故选：BD
81．（2024·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案.
【详解】设函数，则当时，单调递增，此时；
当时，单调递减，此时，
故，则的取值范围是，
故答案为：
82．（2024·全国·高三专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为________．
【答案】2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解.
【详解】依题意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，
所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
故答案为：2.
83．（2024·全国·高三专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为________．
【答案】＋1
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值.
【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，
令，t∈[，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），
则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝，
则g（t）≥，
所以函数f（x）的最小值为；
故答案为：.
考点四 与基本不等式有关的参数问题
84．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
【答案】
【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围.
【详解】因为不等式恒成立，所以，
由，，
可得，
当且仅当时等号成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
85．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
86.（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故选：C.
87．（2024·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
88．（2024·全国·模拟预测）若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用乘“1”法结合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可.
【详解】由，且，则
则，
当且仅当时等号成立，
所以，解得，
故选：B.
89．（2024·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即；
故答案为：
90.（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立.
又，所以，解得或（舍去），
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
则不等式恒成立，即为，
解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：A.
91．（2024·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
92.（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
【答案】D
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
93.（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）已知，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．24D．25
【答案】C
【详解】∵，所以，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
即，
由题意可得：，又，解得，
故的最大值为24.
故选：C.
考点五 基本不等式的实际应用
94．（2024·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：该设备年平均费用，
∵，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
95.（2023秋·河南·高一校联考期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为，
所以．
（2）因为，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
解得，∴，当且仅当，时取等号，
所以温室体积，则温室体积的最大值为．
96.（2023秋·广东广州·高一校考期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．
(1)写出关于的函数表达式；
(2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值．
【答案】(1)
(2)当时，有最小值为
【详解】（1）解：由题意可得，关于的函数表达式为．
（2）解：，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，有最小值为．
97．（2024·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件B．50万件C．60万件D．80万件
【答案】D
【分析】根据题意得到利润函数，然后结合导数与基本不等式分别求得每一段的最大利润，从而得到结果.
【详解】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时，
利润；当产量不小于50万件时，
利润．
所以利润
因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则．
当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元．
故选:D．
98．（2024·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元B．2100万元C．2200万元D．3800万元
【答案】C
【分析】先表示利润函数，利润等于销售收入减去投资和固定投入100万元，再分别利用二次函数、均值不等式求最值.
【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，
，
即，
当时，的对称轴，则；
当时，，当且仅当时，取得最大值2200.
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.
故选：C.
99.（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低
(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，
，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，每吨平均处理成本最低.
（2）设该工厂每月的利润为，
则，
∴，
当时，，
所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.
考点六 利用基本不等式证明不等式
100.（2023·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【解析】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
101．（2024·全国·高三专题练习）证明：如果、，那么．
【答案】证明见解析
【分析】不妨设，由，结合用切比雪夫不等式的推论1可得，再根据均值不等式完成证明.
【详解】不妨设，则，且，
由切比雪夫不等式的推论1可得
，
所以
，
，当且仅当时，等号成立；
故原不等式正确．
102．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知都是正数，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)先用基本不等式，再将代入即可证明；
(2)将乘以，利用柯西不等式进行化简，再将代入即可证明.
【详解】（1）证明：因为都是正数，，所以，
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时取等，故成立；
（2）证明：因为，所以，
由柯西不等式可得：
，
即
当且仅当，即时取等，
因为都是正数，所以有，
将代入有得证.
103．（2024·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
所以若证，
即证，
又，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
104．（2024·广西南宁·统考二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式证明；
（2）用柯西不等式证明．
【详解】（1），，，
，
当且仅当，时取等号，
，即；
（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，
，
，
，当且仅当时取等号．
105．（2024·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：
(1)；
(2)若，则.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式即可证明；
（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可证明.
【详解】（1）由，得，
由柯西不等式有，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立；
（2）由可得
，
当且仅当时取等，
由（1）可得，当且仅当时等号成立，
从而，当且仅当时等号成立.
考点七 基本不等式的综合应用
（一）与函数的结合
106．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知二次函数的值域为，则的值是________；的最大值是__________.
【答案】 4
【分析】根据二次函数的性质知，，然后通过变形利用基本不等式即得.
【详解】由题意知： , 的值域为，
∴，
则，；
所以，
又，当且仅当 时取等号，
即.
故答案为：4；.
107．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
108．（2024·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】分析出函数为上的增函数，且为奇函数，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】函数的定义域为，且，
所以，函数为奇函数，
因为函数、、均为上的增函数，故函数在上为增函数，
由可得，
所以，，即，当取最大值时，则，
所以，，
当且仅当时，即当，等号成立，
因此，的最大值为.
故答案为：.
109．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知正实数a，b满足，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】根据等式特征可通过构造函数，利用函数单调性可得，再根据基本不等式即可求得的最小值是.
【详解】由题意可得将等式变形成,
又因为都是正数，所以,
可构造函数，则，
所以函数在区间上为增函数，
由知，所以，
则，
当且仅当，即取等号，
因此的最小值是.
故答案为：
（二）与三角函数、解三角形的结合
110．（2024·陕西西安·统考一模）已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，而，
于是，有，
而，，因此，由余弦定理得，
即有，当且仅当时取等号，
从而，而，则，
所以周长的取值范围为.
故答案为：
111．（2024·四川遂宁·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.
【答案】/
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出面积的最大值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，所以，，故，
由余弦定理可得，
所以，，则.
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.
故答案为：.
112．（2024·江西九江·统考二模）在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】由正弦边角关系、三角形内角性质、正切和角公式可得，即A，C为锐角，利用基本不等式得B最小时最小值，即知为等腰三角形，应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由正弦定理得，即，
∴，即．
∵，∴，故A，C为锐角．
又，仅当时等号成立，
所以三角形内角B最小时，取最小值，此时，
所以为等腰三角形，，，
∴.
故选：C
113．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】根据面积关系建立关系式，结合基本不等式进行求解.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，
即，整理得，
得，又，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，则的最小值是9．
故答案为：9
（三）与平面向量的结合
114．（2024·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
115．（2024·安徽安庆·统考二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积运算律及题设可得，注意等号成立条件，结合已知不等条件求范围，即可得最小值.
【详解】由有，即，
前一个等号成立条件为，整理得.
由于，所以，于是夹角为的最小值为.
故选：C
116．（2023春·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为________．
【答案】
【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】解：如图所示：设，，则，设，，
因为，所以，由三角形边的关系得，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
而与夹角的正弦值与正弦值相等，故其最大值为.
故答案为：
（四）与数列的结合
117．（2024·高三课时练习）在等差数列中，，且，则的最大值为______.
【答案】4
【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由等差数列前项和公式可知，
，即；
又因为，利用基本不等式可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
即的最大值为4.
故答案为：4
118．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得，再结合基本不等式即可求解．
【详解】各项均为正数的等比数列中，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为8．
故选：B．
119．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
【答案】BC
【分析】根据等比中项整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判断AB；由展开后使用基本不等式可判断CD.
【详解】因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
（五）与解析几何的结合
120.（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】∵直线过点，
．
，当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
121．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意可知圆心在直线上，得到，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由题知，圆心在直线上，
，又，，，
当且仅当，结合，即时等号成立，
所以的最大值为，
故选：B.
122．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】D
【分析】对于A，转化问题为求直线的最大截距，由几何法即可得解；
对于B，利用基本不等式即可得解；
对于C，转化问题为求到圆上的点的距离的平方的最小值，由几何法即可得解；
对于D，转化问题为求点到圆上的点的连线的斜率的最大值，由几何法即可得解.
【详解】由圆得，则，
因为点是圆上的动点，所以，
对于A，令，则，故问题转化为直线与圆相交时，求直线截距的最大值，
显然，当直线与圆相切于点时，截距最大，连结，则，如图1，
因为直线斜率为，故倾斜角为，故，
故在中，，故，
即截距的最大值为，故的最大值为，故A错误；
.
对于B，因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，将看作是到圆上的点的距离的平方，如图1，又因为，
所以，故，故C错误；
对于D，将看作是点到圆上的点的连线的斜率，则直线的方程为，即，如图2，
由题意可知，圆心到直线的距离，即，解得，
故的最大值为，即的最大值为，故D正确.
.
故选：D.
123．（2024·四川宜宾·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．
【答案】9
【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.
【详解】依题意，
因为抛物线的焦点为，所以，
①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，
设过的直线的直线方程为：，，
由抛物线定义得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②当不存在时，直线为，此时，
所以；
综上可知，的最小值为：9.
故答案为：9.
124．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆C1与圆C2相外切，得
即，
∴；
要使取得最大值，则，同号，不妨取，，
由基本不等式，得
，当且仅当时等号成立，
∴ab的最大值为2．
故选：A
125．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为（ ）
A．9B．20C．25D．30
【答案】C
【分析】利用椭圆定义可得，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】根据椭圆定义可得：，
因为，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，则的最大值为25，
故选：C.
（六）与立体几何的结合
126．（2024·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.
【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
127．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正三棱锥的特点及体积公式，结合三元基本不等式及正方体的体对角线为正三棱锥的外接球的直径，然后利用球的表面积公式即可求解.
【详解】设为底面的中心，延长交于，连接,如图所示
因为三棱锥是正三棱锥，
所以平面，且是边上的中线，
设，则
，
在中，，
所以三棱锥的体积为，
因为，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
当时，正三棱锥体积取得最大，
所以正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为，
由此可知，该正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，即侧棱两两垂直，则该正三棱锥的外接球为棱长为2的正方体的外接球，
所以该正三棱锥的外接球的直径为正方体的体对角线，
即，解得,
所以外接球的表面积为.
故选：C.
128．（2024·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，
如图，设为过圆锥顶点的截面，
因为底面，，
因为，为的中点，所以，
由题意可知：，，
设，，则，，
所以，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．
故选：A．
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