【八省联考】2025届普通高中学业水平合格性考试数学考前猜想卷（一模）含解析

这是一份【八省联考】2025届普通高中学业水平合格性考试数学考前猜想卷（一模）含解析，共19页。试卷主要包含了设，，则，下列说法正确的是，已知数列满足，，已知函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B． C． D．
4．设，，则（ ）
A．B．C．D．
5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数为奇函数，则
B．函数在上是减函数
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数为偶函数，且在0,+∞上是单调递增，则在上是单调递减
7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数为偶函数
C．函数的单调递增区间为 D．函数的图像关于直线对称
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线与曲线相切，则实数的值为 .
13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 .
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则 ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积
(1)证明：
(2)求.
16．（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
17．（15分）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，f″x是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求正弦曲线曲率的平方的最大值.
(3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
【八省联考】2025届普通高中学业水平合格性考试数学考前猜想卷
（一模）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
由，，可得，
又因为全集，所以，
故选：D
2．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
由题得，所以.
故选：B
3．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
故选：C
4．设，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
因为，
所以，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高，侧面积，
故选：D.
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数为奇函数，则
B．函数在上是减函数
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数为偶函数，且在0,+∞上是单调递增，则在上是单调递减
【正确答案】D
对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误；
对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误；
对于选项C：因为函数的定义域为，即，则，
所以函数的定义域为，故C错误；
对于选项D：因为函数为偶函数，且在上是单调递增，
所以在上是单调递减，故D正确；
故选：D.
7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调递增等价于或，
所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.
故选：C
8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
因为，所以，所以，
，
，故，
由累加法可得当时，，
又因为当 时， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得当 时，，
所以，所以．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A．B．
C．D．
【正确答案】ACD
选项A：由，得，故A正确；
选项B：由，得，故B不正确；
选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：，
所以，故C正确；
选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：，
，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，
随机变量分布比较集中，所以，故D正确.
解法二：因为，，
所以，
故D正确.
故选：ACD.
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数为偶函数
C．函数的单调递增区间为
D．函数的图像关于直线对称
【正确答案】BD
的定义域为： ， ，
= ；
对于A，错误；
对于B， ，
是偶函数，正确；
对于C， 不在定义域内，错误；
对于D，二次函数 的对称轴是x=-1， ∴ 是关于x=-1对称的，正确；
故选：BD.
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
【正确答案】ABD
对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；
将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；
将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称；
将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确；
对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，
则，
即，当且仅当时取得最大值，故B正确；
对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值，
显然，，又，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误；
对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，
故四叶草面积小于，故D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线与曲线相切，则实数的值为 .
【正确答案】
设切点坐标为，由得，
所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即，所以，所以，所以.
故答案为.
13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 .
【正确答案】
设的半焦距为cc>0，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.

因为，所以也是的中点.设，
由双曲线的定义得，所以，
在中，由，得，所以，
在中，由，得.
故答案为.
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则 ； .
【正确答案】
在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以 ；
根据定义，对于 整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，
显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；
；
故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积
(1)证明：
(2)求.
【正确答案】(1)证明见解析;(2)或
（1）点在边上，且满足,
所以，……………………………………………………3分
，……………………………………………………………4分
故，即；……………………………………………………………6分
（2）由图可知，……………7分
可得，解得或，……………9分
1°当时，，；…………………11分
2°当时，，；……………12分
综上所述或.……………………………………………………………13分
16．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【正确答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)
（1）有频率分布直方图知
即，解得……………………………………………………2分
设总共调查了人，则，
解得，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分
（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，……………7分
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为，
则……………11分
（3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 ……………13分
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:……………15分
17．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【正确答案】(1)(2)
（1），
离心率为.…………………………………………………………5分
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，…………………………………6分
联立得，………………………………8分
由，①………………………9分
，，…………………………………………………11分
由可得，②…………………………………………………12分
由可得，③…………………………………………………13分
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．………15分
18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
【正确答案】(1)见解析;(2)
（1）由四边形是直角梯形，，，，
可得，，从而是等边三角形，，平分．
为的中点，，，…………………………………3分
又，，平面，平面………………4分
平面，……………………………………………………………………5分
平面，所以平面平面.…………………………………6分
（2）在平面内作于，连接，平面，
又平面，平面平面．
因为平面平面，平面，平面
为与平面所成的角，则，
由题意得
，，为的中点，．…………………………8分
以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，……………………………9分
假设在侧面内存在点，使得平面成立，
设，
由题意得，……………………………………………10分
，，，
由，得，……………………………………11分
解得，满足题意，，，……………12分
取，，，
，，
，…………………………………………………………15分
求出点N到直线PD的距离为.…………………………16分
所以N点直线PD的距离为.…………………………………………………………17分
19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，f″x是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求正弦曲线曲率的平方的最大值.
(3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
【正确答案】(1);(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析
（1）因为，所以，，………………1分
所以，………………………………………………3分
.………………………………………………………………5分
（2）由，，则，………………………6分
，令，则，故，…………7分
设，则，……………8分
在时，递减，所以，最大值为1.……………10分
（3）因为，，则.
①当时，因为，
所以在上单调递减.所以.
所以在上无零点.……………………………………………………………12分
②当时，因为单调递增，且，，
所以存在，使.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以.设，，
，,……………………………………………14分
所以φx在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以，所以.
所以在上存在一个零点.
所以在有2个零点.……………………………………………………………16分
综上所述，在上的零点个数为2…………………………………………17分