2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点12函数的图象10类常见考点全归纳(精选74题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点12函数的图象10类常见考点全归纳(精选74题)(原卷版+解析)，共93页。试卷主要包含了作图，函数图象的变换，根据实际问题作函数的图象，给出函数确定图象，给出图象确定函数，由函数图象确定参数范围，利用图象研究函数的性质，利用图象解不等式等内容，欢迎下载使用。
考点一 作图
考点二 函数图象的变换
考点三 根据实际问题作函数的图象
考点四 给出函数确定图象
具体函数图象的识别
表达式含参数的图象问题
考点五 给出图象确定函数
考点六 由函数图象确定参数范围
考点七 利用图象研究函数的性质
单调性和最值
奇偶性
性质综合
考点八 利用图象解不等式
考点九 函数图象与零点问题
（一）利用图象求零点个数
（二）已知函数零点个数求参数
（三）求零点的和
考点十 数学文化
知识点1 函数的图象
1．利用描点法作函数图象的流程
2.平移变换
y＝f(x)a>0， 右移 a个单位,a0， 上移 b个单位,b1时)或缩(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的eq \f(1,a)倍.
3. 画函数图象的一般方法：
①直接法：根据函数的特征描出图象的关键点直接作出. ②图象变换法：经过平移、翻折、对称、伸缩等得到，此时应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
4. 图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上.
(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然.
5. 确定函数的图象
确定函数的图象主要用排除法. 要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从周期性，判断图象的循环往复. ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 同时要善于抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题.
6. 给出图象确定函数
由图选式，一般通过图象体现出的性质利用排除法筛选. 与由式选图类似，主要用奇偶性、单调性、特值、极限等综合分析.
7. 由函数图象确定参数范围
由函数图象，研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维.
8. 利用图象研究函数的性质
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具. 数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.
9. 利用图象解不等式
与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来求解.
10. 函数图象的综合应用
(1)利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
(2)利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
(3)利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
考点一 作图
1．（2024·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
2．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习）设函数.
(1)作出的图象；
(2)讨论函数的零点个数.
3．（2024·高三单元测试）已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)画出的图象；
(3)求该函数的值域．
4．（2024·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知函数．
(1)画出和的图象；
(2)若，求a的值．
5．（2024·天津河北·高三统考期中）已知函数.
(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；
(2)画出函数的大致图象；
(3)讨论方程的解的个数.
考点二 函数图象的变换
6．（2024·北京·高三统考学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·北京丰台·统考二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
8.（2024·全国·高三专题练习）函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A．B．
C．D．
9．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
11．（2024·全国·高三专题练习）函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.
12．（2024·青海西宁·统考二模）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·全国·高三专题练习）设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________．
考点三 根据实际问题作函数的图象
14．（2024·全国·高三专题练习）列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·北京昌平·高三统考期末）某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·高三课时练习）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·高三单元测试）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
18.（2024·北京·高三专题练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是
A．B．
C．D．
19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
20.（2024·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
21.（2024·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
考点四 给出函数确定图象
（一）具体函数图象的识别
22.（2024·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
23.（2024·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·四川成都·高三成都七中校考期中）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
25.【多选】（2024·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
26.（2024·云南德宏·高一统考期末）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
27．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
28.（2024·河南焦作·统考模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
29.（2024·浙江·校联考模拟预测）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2024·海南·校联考模拟预测）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·河南新乡·统考三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
32.（2024·山东烟台·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
33．（海南省海口市海南省农垦实验中学等2校2023届高三一模数学试题）若函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
34.（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
（二）表达式含参数的图象问题
35.（2024·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A．B．
C．D．
36.【多选】（2024·全国·高三专题练习）函数在,上的大致图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
考点五 给出图象确定函数
37．（2024·江苏南京·高三江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·陕西咸阳·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
39．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
40．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数，，如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A．B．
C．D．
41.（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ）
A．B．
C．D．
43.（2024·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
44.（2024·河北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
考点六 由函数图象确定参数范围
45．（2024·高三课时练习）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
46．（2024·山东青岛·高三统考期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
47．【多选】（2024·江西宜春）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．图象的对称中心为
D．在区间上单调递增
考点七 利用图象研究函数的性质
（一）单调性和最值
48.（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
49．【多选】（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是单调递增
B．函数在上是单调递増
C．当时，函数有最大值
D．当或时，函数有最小值
50.（2024·山东菏泽·高一校考期末）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值．
51.（2024·云南昆明·高一统考期末）给定函数，，.
(1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象；
(2)，用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性.
（二）奇偶性
52.（2024·全国·高三专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
53.（2024·江西上饶·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.
(1)补充完整图象，写出函数的解析式和其单调区间；
54.（2024·高一课时练习）设函数.
(1)某同学认为，无论实数取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；
(2)若是偶函数，求实数的值；
(3)在（2）的情况下，求函数的单调递增区间.
（三）性质综合
55．【多选】（2024·重庆·高三校联考期中）已知函数，且的对称中心为，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是B．在上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在上的函数值大于0
56．（2024·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
考点八 利用图象解不等式
57．（2024·北京平谷·高三统考期末）已知函数，若，则x的范围是___________．
58．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
59.（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
60．（2024·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
61．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
考点九 函数图象与零点问题
利用图象求零点个数
62.（2024·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
已知函数零点个数求参数
63.（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
64．（2024·浙江·高三阶段练习）已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________.
65．（2024·浙江衢州·高三校考阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则a的取值范围是________．
66.（2024·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
67．（2024·重庆合川·高三重庆市合川中学校考期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
68.（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则______．
69．（2024·四川广安·高三统考期末）函数，若，且，则的取值范围是______．
70．（2024·高三课时练习）已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（三）求零点的和
71．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为______．
考点十 数学文化
72．（2024·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
73．【多选】（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
74．（2024·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
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偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
考点12 函数的图象10类常见考点全归纳（精选74题）
考点一 作图
考点二 函数图象的变换
考点三 根据实际问题作函数的图象
考点四 给出函数确定图象
具体函数图象的识别
表达式含参数的图象问题
考点五 给出图象确定函数
考点六 由函数图象确定参数范围
考点七 利用图象研究函数的性质
单调性和最值
奇偶性
性质综合
考点八 利用图象解不等式
考点九 函数图象与零点问题
（一）利用图象求零点个数
（二）已知函数零点个数求参数
（三）求零点的和
考点十 数学文化
知识点1 函数的图象
1．利用描点法作函数图象的流程
2.平移变换
y＝f(x)a>0， 右移 a个单位,a0， 上移 b个单位,b1时)或缩(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的eq \f(1,a)倍.
3. 画函数图象的一般方法：
①直接法：根据函数的特征描出图象的关键点直接作出. ②图象变换法：经过平移、翻折、对称、伸缩等得到，此时应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
4. 图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上.
(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然.
5. 确定函数的图象
确定函数的图象主要用排除法. 要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从周期性，判断图象的循环往复. ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 同时要善于抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题.
6. 给出图象确定函数
由图选式，一般通过图象体现出的性质利用排除法筛选. 与由式选图类似，主要用奇偶性、单调性、特值、极限等综合分析.
7. 由函数图象确定参数范围
由函数图象，研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维.
8. 利用图象研究函数的性质
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具. 数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.
9. 利用图象解不等式
与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来求解.
10. 函数图象的综合应用
(1)利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
(2)利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
(3)利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
考点一 作图
1．（2024·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
(7)答案见解析
【分析】（1）将化为，由反比例函数的图象经过平移变换可得答案；
（2）将函数写成分段函数，结合二次函数图象可得答案；
（3）化简函数解析式，分段作出函数图象；
（4）脱掉绝对值符号，化简函数解析式，结合二次函数图象可得答案；
（5）结合指数函数图象，依据图象的平移以及对称变换可得答案：
（6）结合二次函数图象，依据图象对称变换可得答案：
（7）结合对数函数图象，依据图象对称变换可得答案.
【详解】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2），其图象如图：
（3）设，其图象如图：
（4）设，其图象如图：
（5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图象如图示：
（6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
2．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习）设函数.
(1)作出的图象；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)见解析
(2)当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，没有零点.
【详解】（1）当时，；当时，，其图象如图所示：
（2）函数的零点个数可转化为与交点的个数，如图：
当即时，与有两个交点；
当即时，与有一个交点；
当即时，与没有交点，
综上：
当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，没有零点.
3．（2024·高三单元测试）已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)画出的图象；
(3)求该函数的值域．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）由函数奇偶性求解函数解析式；
（2）得到函数的单调性及特殊点的函数值，画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，数形结合得到函数值域.
【详解】（1）当时，，故，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以，
综上，；
（2）当时，，
故此时函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
画出函数图象如下：
（3）由（2）可知看出函数的值域为.
4．（2024·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知函数．
(1)画出和的图象；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)图象见解析
(2)6
【分析】（1）利用分段函数的性质作图；
（2）利用绝对值不等式的解法结合函数图象求解.
【详解】（1）由已知得，，
和的图象如图所示．
（2）的图象是由函数的图象向左平移a（）个单位长度，
或向右平移（）个单位长度得到的，
根据图象，
可知把函数的图象向右平移不符合题意，只能向左平移．
当向左平移使的图象的右支经过的图象上的点时
为临界状态，如图所示，
此时的图象的右支对应的函数解析式为
，的图象的左支与的图象的一部分重合，
代入点的坐标，则，解得．
因为，所以，故a的值为6．
5．（2024·天津河北·高三统考期中）已知函数.
(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；
(2)画出函数的大致图象；
(3)讨论方程的解的个数.
【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值；
(2)函数图象见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，求出极值作答.
（2）由（1）分析函数的性质，作出图象作答.
（3）结合（2）中函数图象，探讨方程的解的个数作答.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，，无极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，，
当时，恒成立，因此当时，随x的增大，的图象在x轴的上方与x轴无限接近，
函数的大致图象如图，

（3）令，，当时，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，有，
当时，，，而函数在上单调递增，
其值域为，因此函数在上无最小值，取值集合为，
方程的解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当时，方程的解的个数为0，
当或时，方程的解的个数为1，
当时，方程的解的个数为2.
考点二 函数图象的变换
6．（2024·北京·高三统考学业考试）将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移变换进行求解即可.
【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.
故选：B.
7．（2024·北京丰台·统考二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
8.（2024·全国·高三专题练习）函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
如图所示：
故答案为C
9．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
10．（2024·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，再利用函数平移变换法则求出函数的解析式，进而可得答案.
【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故选:D.
11．（2024·全国·高三专题练习）函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.
【答案】
【分析】根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.
【详解】解：由题意可知，
把的图象向右平移1个单位长度后得，
故答案为：.
12．（2024·青海西宁·统考二模）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.
【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
13．（2024·全国·高三专题练习）设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________．
【答案】1
【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出.
【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称
∴，
∴
∴
∴．
故答案为：1
考点三 根据实际问题作函数的图象
14．（2024·全国·高三专题练习）列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当列车到达地时，距离，求出列车到达地的时间即可得出答案.
【详解】由题可知列车的运行速度为，
列车到达地的时间为，
故当时，.
故选：C.
15．（2024·北京昌平·高三统考期末）某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图像分析，即可得到答案
【详解】由题图知,当时, 无人机做匀加速运动,,“速度差函数”;
当时, 无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”;
当时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函数”;
当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”.
所以函数在和两个区间上都是常数.
故选：C
16．（2024·高三课时练习）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】关键是根据题意判断关于的函数的性质以及其图象.
【详解】由题意可得始终是匀速增长,开始时, 的增长比较快,但中间有一段时间停止增长，
在最后一段时间里, 的增长又较快,但的值没有超过的值,结合所给的图象可知，B选项正确;
故选：B.
17．（2024·高三单元测试）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分类讨论点P处于不同位置时的面积y与x之间的关系，得出解析式，继而可得其大致图象.
【详解】根据题意可得，当时（如图1所示），S△APM＝=x；
当时（如图2所示），S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝；
当时（如图3所示），S△APM＝，
∴
根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合，
故选A．
18.（2024·北京·高三专题练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
19．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.
【详解】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.
故选：C
20.（2024·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
21.（2024·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，
于是得，
而都是常数，即是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
考点四 给出函数确定图象
（一）具体函数图象的识别
22.（2024·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由函数的定义域为,所以A.C选项错误;
当,函数为一次函数,故B选项错误,D选项正确;
故选:D.
23.（2024·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由函数解析式可知，当时，为二次函数一部分，
当时，为反比例函数一部分，结合图像即可得到C正确
故选:C
24．（2024·四川成都·高三成都七中校考期中）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.
【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；
函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；
解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，.D选项正确.
故选：A.
25.【多选】（2024·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.
故选：AB.
26.（2024·云南德宏·高一统考期末）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以函数是定义在上的偶函数，排除选项C；
令可得，所以或或，
所以函数的零点有，排除A；
当时，，排除选项B；
选项D符合以上特征，
即数在上的图象大致为选项D中的图象.
故选：D．
27．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数为偶函数；分别求出，利用排除法，结合选项即可求解.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，
则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
28.（2024·河南焦作·统考模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，故排除A；
因为，所以排除B；
因为，所以排除D；
故选：C.
29.（2024·浙江·校联考模拟预测）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C.
故选：B.
30．（2024·海南·校联考模拟预测）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取特殊值判定即可.
【详解】由解析式可知，取，则，观察选项可排除A、C；再取，则，观察选项可排除D，
此外，可看成是由向右平移1个单位得到，而是偶函数，即的图象关于对称，故选B项.
故选：B
31．（2024·河南新乡·统考三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.
【详解】由题意可得：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除B，D.
当时，则，可得，
所以，排除A.
故选：C.
32.（2024·山东烟台·统考二模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
33．（海南省海口市海南省农垦实验中学等2校2023届高三一模数学试题）若函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据函数的奇偶性，排除A，C，再由在上函数值恒为正，排除D，可得答案为B.
【详解】因为定义域为，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，可排除A，C.
又当时，，可排除D.
故选：B.
34.（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，其定义域为，所以，
所以为偶函数，排除选项A，D，
又因为，因为，所以，所以，排除选项C.
故选：B.
（二）表达式含参数的图象问题
35.（2024·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
36.【多选】（2024·全国·高三专题练习）函数在,上的大致图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；
②当时，令，作出两函数的大致图象，
由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；
当时，，时，，
若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；
若在内有两交点，同理得B选项符合题意.
故选：ABC.
考点五 给出图象确定函数
37．（2024·江苏南京·高三江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.
【详解】对于A，由函数图像可知，时，，而，当时，，故A错误；
对于B，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定义，故B错误；
对于C，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，是一个奇函数，时，，符合图象，故D正确.
故选：D.
38．（2024·陕西咸阳·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.
【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.
A：，函数的定义域为，所以A不符题意；
B：，函数的定义域为，所以B不符题意；
C：当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，所以是函数的极大值，
结合图形，不是极大值，故C不符题意；
D：当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意；
故选：D．
39．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据图象可得出为偶函数，且，，然后逐项求解判断，即可得出答案.
【详解】由图象可得，为偶函数，且，且.
A项，若，则，
所以为偶函数.
而，不满足题意，故A项错误；
B项，若，则，
所以为偶函数.
，
，
因为，所以，所以满足题意，故B项正确；
C项，若，则，
所以不是偶函数，故C项错误；
D项，若，则，
所以为偶函数.
，故D项错误.
故选：B.
40．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数，，如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据是奇函数，是偶函数和图象关于原点对称逐项判断.
【详解】解：因为的定义域为R，又，所以是奇函数，
又因为的定义域为R，且，
所以是偶函数，
由图象知：函数定义域为R，且图象关于原点对称，
所以函数为奇函数，
而，故A错误；
，故B错误；
定义域为，故D错误；
的定义域为R，为奇函数，
故选：C
41.（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；
对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当时，，，
令，求导，得．当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得最大值．
又因为，，，所以，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.
故选：C．
42．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用的正负即可判断作答.
【详解】对于B，，，函数是偶函数，B不是；
对于C，，，函数是偶函数，C不是；
对于D，，，D不是；
对于A，，，函数是奇函数，
且，A符合题意.
故选：A
43.（2024·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A正确；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B错误；
对于C，函数，
因为，故C错误；
对于D，函数，
，故D错误，
故选：A．
44.（2024·河北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项，，A选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D选项错误．
对于B选项，，；
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
依次类推可知函数值有正有负；
显然不单调；
因为当时，所以有多个零点；
因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
考点六 由函数图象确定参数范围
45．（2024·高三课时练习）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数单调性，可判断a的范围，结合特殊值的函数值可判断c的范围，即得答案.
【详解】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，
当时，，
当时，，故，
故选：D
46．（2024·山东青岛·高三统考期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象提供的信息：定义域，尽量大时函数值的正负，的解的正负判断．
【详解】由函数图象知，因此，
当时，，因此，
又，所以．
故选：C．
47．【多选】（2024·江西宜春）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．图象的对称中心为
D．在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】根据函数图象确定和周期，进而求，应用五点法求，并写出解析式，结合余弦函数的性质，应用整体法、代入法求对称中心、单调区间.
【详解】由图知：，且.
∴，故.
，又，且为五点作图法的第一个点，
，可得.
综上，，故A正确，B错误；
令，可得，故对称中心为，C正确；
在上，故在上递减，D错误；
故选：AC.
考点七 利用图象研究函数的性质
（一）单调性和最值
48.（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【详解】，
作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.
故选:B
49．【多选】（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是单调递增
B．函数在上是单调递増
C．当时，函数有最大值
D．当或时，函数有最小值
【答案】BD
【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．
【详解】，作出函数的图象如下：
由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递増，故A错误，B正确；
由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故C错误，D正确；
故选：BD．
50.（2024·山东菏泽·高一校考期末）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.
【详解】的图象如图所示．
(1) 在和上是增函数，在上是减函数，
∴单调递增区间为，；单调递减区间为；
(2)∵，，
∴在区间上的最大值为.
51.（2024·云南昆明·高一统考期末）给定函数，，.
(1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象；
(2)，用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1），图象如图所示，
（2）由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递减
所以当时，在单调递减，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.
（二）奇偶性
52.（2024·全国·高三专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)偶函数
【详解】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
53.（2024·江西上饶·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.
(1)补充完整图象，写出函数的解析式和其单调区间；
【答案】(1)图象见解析; 解析式为;
的减区间:;增区间:
【详解】（1）如图，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象；
令，则，
函数是定义在上的偶函数，
解析式为
由图象知的减区间:;增区间:
54.（2024·高一课时练习）设函数.
(1)某同学认为，无论实数取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；
(2)若是偶函数，求实数的值；
(3)在（2）的情况下，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)观点正确，理由见解析
(2)
(3)和（和也正确）
【详解】（1）该同学的观点正确，理由如下：
，若为奇函数，则有，
，显然无实数解，不可能是奇函数.
（2）若为偶函数，则有，
即，同时平方得
又x不恒为0，
.
（3）由（2）知 ，其图象如下图所示，
由图象，知的单调递增区间为和，写成和也正确.
（三）性质综合
55．【多选】（2024·重庆·高三校联考期中）已知函数，且的对称中心为，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是B．在上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在上的函数值大于0
【答案】AC
【分析】根据函数的性质以及时，可得函数的部分图象，进而结合图象即可求解.
【详解】根据可得为偶函数，对称中心为，可知的图象关于对称，结合时，，可画出的部分图象如下：
有图象可知：的最小值是，在上单调递增，的图像关于直线对称，在上的函数值小于于0，故AC正确，BD错误，
故选：AC
【点睛】本题主要考查了函数的性质 ，函数与方程等知识点，处理这类问题往往可以采用数形结合法：根据函数的对称性以及单调性画出函数的图象，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)辅助解题.
56．（2024·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
【答案】C
【分析】根据函数对称性可得解析式，由此可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，则图象关于对称，
当时，，，
，作出图象如下图所示，
由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误；
在上单调递减，B错误；
，C正确；
在上单调递增，D错误.
故选：C.
考点八 利用图象解不等式
57．（2024·北京平谷·高三统考期末）已知函数，若，则x的范围是___________．
【答案】
【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.
【详解】作出函数和函数的图像，如图所示，
两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像的上方，即不等式的解集为.
故答案为：
58．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集．
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
59.（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：依题意，等价于，
在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：
如图可得的解集为：.
故选：D.
60．（2024·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
61．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出在以及上的解析式，作出函数图象，即可得出的解集.分别令取，即可得出答案.
【详解】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
考点九 函数图象与零点问题
利用图象求零点个数
62.（2024·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
已知函数零点个数求参数
63.（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值；
当时，根据在上单调递减，故此时最小值；
作出对应的图象，如图所示
函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
64．（2024·浙江·高三阶段练习）已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是 ___________.
【答案】或
【分析】先分析并作出两函数的图像，结合图像可得或，从而得解.
【详解】对于函数，
当时，，显然在上单调递增；
当时，，显然在上单调递减；
当时，，
函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，，
作出与的图像如下，
结合图像可知当点在点和点之间时，与的图象有个交点，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，的取值范围是：或.
故答案为：或.
65．（2024·浙江衢州·高三校考阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先根据，得，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后分别画出与的函数图像，最后根据图象求解实数的取值范围.
【详解】根据题意，即，
已知，画出其图象为
，
根据图象易知当时，函数与函数存在3个交点，
即有3个零点.因此得：
故答案为：
66.（2024·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】设，则函数的图象如图所示：
其中，
若关于的方程有四个实数解，函数与直线的交点有4个交点，
由图可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
67．（2024·重庆合川·高三重庆市合川中学校考期末）已知函数，若关于的方程0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析得和共有五个不同的根，作出图象，数形结合求解.
【详解】由得，
所以或，
作出函数的图象如下：
由题可得的图象与有2个交点，
所以的图象必须和有3个交点，
所以解得，
故选:C.
68.（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则______．
【答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当或时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
当时，方程有四个解，
因为关于x的方程有且仅有5个不同实数根，
所以关于方程的方程其中一个根，
另一个根或，
又因，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
69．（2024·四川广安·高三统考期末）函数，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】做出函数图像，得出和的关系，以及，和的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
在中，，且，
做出函数图像如下图所示：
由图像可知，
，，
∴
∴，
故的取值范围是，
故答案为：.
70．（2024·高三课时练习）已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不妨设，作出的图像，根据图像可得的范围，根据可得，进而可求得答案.
【详解】不妨设，作出的图像，如图所示：
由图像可知，
由得，即，∴，则，
∴，
∴的取值范围是.
故选∶C．
（三）求零点的和
71．（2024·辽宁·高三校联考阶段练习）函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为______．
【答案】5
【分析】画出与图象，由与都关于对称，运用图象对称性可得交点的对称性即可求得结果.
【详解】因为，，解得：，，
所以是的一条对称轴，
又因为，
所以关于对称，
又因为，，
则与图象如图所示，
则与在有5个交点，
设这5个交点从左到右的横坐标分别为，，，，，
则，，，
所以.
故答案为：5.
考点十 数学文化
72．（2024·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
73．【多选】（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【详解】由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
74．（2024·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
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偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
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不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数