高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.1 圆的方程第2课时习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.1 圆的方程第2课时习题，共14页。试卷主要包含了已知圆E，已知点A在圆C，圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 对圆的一般方程的理解
1.(2024江苏连云港赣榆期中)若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=( )
A.1 B.2 C.-1或1 D.-2或2
2.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)若a∈-2,-1,0,12,34,1,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(教材习题改编)已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
4.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学月考)已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为 .
题组二 求圆的一般方程
5.(2023江苏盐城伍佑中学学调)与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是 ( )
A.x2+y2-2x+4y-4=0 B.x2+y2-2x+4y+4=0
C.x2+y2+2x-4y-4=0 D.x2+y2+2x-4y+4=0
6.(教材习题改编)已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
7.(教材习题改编)圆C:x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x-2y=0
B.x2+y2-2x-4y+1=0
C.x2+y2-45x-85y-165=0
D.x2+y2-85x-165y-45=0
8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为2,则圆C的一般方程为 .
题组三 求动点的轨迹方程
9.(2024江苏苏州期中)已知点P(4,3),点Q在圆x2+y2=4上运动,若点M满足PM=MQ,则点M的运动轨迹围成图形的面积为( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
10.(2023湖南长沙实验中学月考)当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为 .
11.(2024江苏连云港赣榆智贤中学学情检测)已知圆O:x2+y2=4,直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l过定点P,点M,N在圆O上,且PM⊥PN,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹方程为 .
12.(2023四川成都双流中学期中)已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),
C(1,3).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)在△ABC外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.
能力提升练
题组一 圆的方程
1.(2024江苏无锡太湖高级中学期中)若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,则1a+1b的最小值为( )
A.14 B.9 C.4 D.19
2.(2024广东深圳宝安中学期中)由曲线x2+y2=2|x|+2y围成的图形的面积为( )
A.2π B.3π C.2π+3 D.3π+2
3.(2024辽宁沈阳东北育才学校月考)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.5-1 D.5+1
题组二 圆的方程的综合应用
4.(2024江西部分名校期中)已知点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,与点C关于x轴对称,若过A,B,C三点的圆与x轴和直线x+y-1=0交于四点,则以这四个点为顶点的四边形的面积为( )
A.65 B.30 C.25 D.52
5.(2024四川广安岳池中学月考)已知a≠0,点(a,b)是圆x2+y2-4x-8y+16=0上任意一点,则 ( )
A.a+b的最大值是4+22
B.ba的最小值是34
C.a2+b2的最小值是24+85
D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+426
6.(2023福建漳州正兴学校期中)已知点P(-1,-1),点M为圆O:x2+y2=1上的任意一点,点N在直线OP上,其中O为坐标原点,若MP=2MN恒成立,则点N的坐标为 .
7.(2024湖南长沙雅礼中学月考)在△ABC中,AB=3,sin B=m·sin A(m≥2),则△ABC面积的最大值为 .
8.(2023湖北襄阳四中期中)已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P-12,0,且λ=2,若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为 .
9.(2024福建南安月考)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,且距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问:该船有没有触礁的危险,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时 圆的一般方程
基础过关练
1.D 由方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,可得12m2+22-4×1=1,解得m=±2.
故选D.
2.C 当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2又a∈-2,-1,0,12,34,1,所以a∈-1,0,12.故选C.
3.C 由于圆E关于直线l对称,所以圆心a2,1在直线l上,所以a2-1=0,解得a=2,故选C.
4.答案 (-3,-2)∪(2,+∞)
解析 因为方程x2+y2+mx-2y+2=0表示圆,
所以m2+(-2)2-4×2>0,即m>2或m<-2,①
因为点A在圆C外,
所以12+22+m-2×2+2>0,即m>-3,②
由①②得-32,
故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞).
易错警示 在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
5.B 设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4,
所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0.故选B.
方法技巧 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F.
6.C 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为-D2,-E2,
所以2×-D2--E2-3=0,0+22+2E+F=0,42+62+4D+6E+F=0,解得D=-6,E=-6,F=8,
所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.故选C.
7.D 将圆C:x2+y2-4y=0化为标准形式为x2+(y-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2.
设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0),则y0+22=2×x02+1,y0-2x0-0×2=-1,解得x0=45,y0=85,
即对称圆的圆心为D45,85.
又两圆半径相等,所以所求圆的方程为x-452+y-852=4,化为一般方程为x2+y2-85x-165y-45=0.
故选D.
8.答案 x2+y2+2x-4y+3=0
解析 易知圆心C的坐标为-D2,-E2.
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①
因为D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②
由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.
又圆心在第二象限内,所以-D2<0,-E2>0,
即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,
所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
9.A 设M(x,y),Q(x0,y0),
由PM=MQ得M是线段PQ的中点,∴x0=2x-4,y0=2y-3,
又Q在圆x2+y2=4上,∴(2x-4)2+(2y-3)2=4,即(x-2)2+y-322=1,
∴点M的轨迹是半径为1的圆,面积S=π×12=π,故选A.
10.答案 x2-3x+y2+2=0
解析 设M(x,y),因为M是线段PQ的中点,所以点P(2x-3,2y),又点P在圆x2+y2=1上,
故(2x-3)2+(2y)2=1,即x2-3x+y2+2=0,
所以点M的轨迹方程为x2-3x+y2+2=0.
11.答案 x-122+y-122=32
解析 直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0,
令x-y=0,2x+y-3=0,解得x=1,y=1,即点P(1,1).
∵PM⊥PN,Q为MN的中点,∴MQ=PQ.
设Q(x,y),易知OQ⊥MN.
所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,
即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得x-122+y-122=32,即点Q的轨迹方程为x-122+y-122=32.
12.解析 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为该圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3)三点,
所以(-2)2-2D+F=0,22+2D+F=0,12+(3)2+D+3E+F=0,解得D=0,E=0,F=-4,
所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y),∵M为线段PD的中点,PD⊥x轴,D为垂足,∴D(x,0),P(x,2y),
又点P在圆x2+y2=4上,
∴x2+(2y)2=4,即x24+y2=1,
故点M的轨迹方程为x24+y2=1.
能力提升练
1.C 由题意得圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
又a>0,b>0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=ba+ab+2≥2ba·ab+2=4,当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号,所以1a+1b的最小值为4.故选C.
2.D 当x≥0时,曲线方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2;
当x<0时,曲线方程为x2+y2=-2x+2y,即(x+1)2+(y-1)2=2,
如图所示,
故所求面积为两个圆的面积减去中间重叠部分的面积,
易知两圆的半径都为2,且两圆对称,故所求面积为2×π×(2)2-2×14π×(2)2-12×2×2=3π+2.故选D.
3.D 由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圆心为C(-1,m),半径r=m2+4m+5=(m+2)2+1,当且仅当m=-2时,半径最小,即圆的面积最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,圆心到坐标原点的距离d=(-1)2+(-2)2=5.根据圆的性质,可知圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=5+1.
4.D 解法一:设B(x,y),则x-12+y-12-1=0,y+1x+1×(-1)=-1,解得x=2,y=2,故B(2,2),
∵点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,∴C(-1,1),
设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则2-D-E+F=0,8+2D+2E+F=0,2-D+E+F=0,解得D=-2,E=0,F=-4,
因此圆的方程为x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5,
由题意易知四边形为矩形(直径所对的圆周角为直角),由(x-1)2+y2=5,x+y-1=0,解得y=±102,
故该四边形的面积为12×25×102×2=52.故选D.
解法二:因为点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线x+y-1=0上.
又因为点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线y=0上.
由x+y-1=0,y=0得x=1,y=0,所以圆心坐标为(1,0),设为P,圆的半径为AP=(-1-1)2+(-1-0)2=5,
故圆的方程为(x-1)2+y2=5,
下同解法一.
5.B 圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4,
设a=2+2csθ,b=4+2sinθ,0≤θ<2π且θ≠π,即0≤θ2<π且θ2≠π2,
则a+b=6+2sin θ+2cs θ=6+22sinθ+π4,
当θ=π4时,a+b取得最大值6+22,故A错误;
ba=4+2sinθ2+2csθ=2+sinθ1+csθ
=2sin2θ2+2sinθ2csθ2+2cs2θ22cs2θ2
=tan2θ2+tanθ2+1=tanθ2+122+34,
所以当tanθ2=-12时,ba取得最小值34,故B正确;
a2+b2=(2+2cs θ)2+(4+2sin θ)2=24+8cs θ+16sin θ=24+85cs(θ-φ1),其中tan φ1=2,
所以当cs(θ-φ1)=-1时,a2+b2取得最小值24-85,故C错误;
a2+b2-2a+2b=(2+2cs θ)2+(4+2sin θ)2-2(2+2cs θ)+2(4+2sin θ)=24+8cs θ+16sin θ-4-4cs θ+8+4sin θ=28+4cs θ+20sin θ=28+426cs(θ-φ2),其中tan φ2=5,
所以当cs(θ-φ2)=1时,a2+b2-2a+2b取得最大值28+426,故D错误.
故选B.
方法总结 利用三角换元思想来求最值,是一个很好的方法.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可转化为x-ar2+y-br2=1,类比cs2θ+sin2θ=1,可以得到x-ar=csθ,y-br=sinθ,则可进行三角换元x=a+rcsθ,y=b+rsinθ,0≤θ<2π.
6.答案 -12,-12
解析 易知直线OP的方程为x-y=0,由题意可设N(x0,x0),M(x',y'),则可得x'2+y'2=1,
由MP=2MN,可得MP2MN2=(x'+1)2+(y'+1)2(x'-x0)2+(y'-x0)2=2(x'+y')+3-2x0(x'+y')+1+2x02=2,
则2(x'+y')+3=2[-2x0(x'+y')+1+2x02],
即2(1+2x0)(x'+y')=(2x0+1)(2x0-1),
若MP=2MN恒成立,则1+2x0=0,解得x0=-12,
故N-12,-12.
7.答案 3
解析 设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sin B=m·sin A,所以由正弦定理得b=ma,即AC=m·BC,
设边AB的中点为O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
不妨设A-32,0,B32,0,C(x,y),
由AC=m·BC得x+322+y2=m·x-322+y2,
因为m≥2,所以整理得x2+y2-3m2+3m2-1x+94=0,
由此可知点C的轨迹是以3m2+32(m2-1),0为圆心,r=3mm2-1为半径的圆,且除去当y=0时的两个点,
所以当点C在圆上运动时,点C到x轴的最大距离为半径r=3mm2-1,
所以△ABC的面积S=12×3×3mm2-1=92×1m-1m,易知y=1m-1m在m∈[2,+∞)上单调递减,
所以Smax=92×12-12=3.
8.答案 10
解析 由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则MQMP=2,
设M(x,y),Q(m,0),则(x-m)2+y2x+122+y2=2,
整理得x2+y2+4+2m3x+1-m23=0,
由该圆的方程为x2+y2=1得4+2m3=0,1-m23=-1,
解得m=-2,∴Q(-2,0),
易知2MP+MB=MQ+MB,
如图,当点M位于M1或M2时,MQ+MB取得最小值,且最小值为QB=(-2-1)2+1=10.
9.解析 (1)由题意得A(40,40),B(20,0),
设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=-20,E=-60,F=0,
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)该船有触礁的危险.理由:由题意得M(-20,-203),且该船的航线所在直线(记为l)的斜率为1,
故直线l:x-y+20-203=0,
由(1)知圆心C(10,30),半径r=1010,
所以圆心C到直线l的距离d=|10-30+20-203|12+12=106<1010,所以该船有触礁的危险.