苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程精品导学案

圆的方程

第一课时　圆的标准方程

月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”

[问题]　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？

知识点　圆的标准方程

1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．圆的要素：圆心和半径，如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)

(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为(　　)

A．4x－y＝0　　　　　　 B．4x＋y＝0

C．x－4y＝0  D．x＋4y＝0

解析：选B　由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.

3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．

解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.

答案：(x＋2)2＋y2＝4

[例1]　写出圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？

[解]　圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上．

把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上．

又因为点M2到圆心A的距离d＝|M2A|＝＝2<5.

故点M2在圆内．

判断点P与圆C位置关系的方法

方法一：利用点P到圆心C的距离d与半径r大小关系来判断：

若d>r则点P在圆外；

若d＝r则点P在圆上；

若d<r则点P在圆内．

方法二：根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．　　　　

[跟踪训练]

已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、圆内、还是圆外．

解：设圆心为C(a，b)，半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心为C(4，6)，

由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.

法一：分别计算点M，N，P到圆心C的距离：

|CM|＝＝>，

|CN|＝＝，

|CP|＝＝<，

所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．

法二：由于(5－4)2＋(3－6)2＝10>5，故点M在圆外；

由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上；

由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，故点P在圆内．

[例2]　(链接教科书第52页例1)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．

[解]　法一(待定系数法)：

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则有解得

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

法二(几何法)：

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.

∵弦的垂直平分线过圆心，

∴由得

即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

[母题探究]

(变设问)本例条件不变，试判断点M(2，1)在圆上还是在圆内或圆外？

解：因为(2－4)2＋(1＋3)2＝20<25，

所以点M在圆内．

求圆的标准方程的两种方法

（1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．

[跟踪训练]

1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．

解析：设圆心为C(0，b)，

则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，

∴b＝0或b＝－8，

∴圆心为(0，0)或(0，－8)，

又r＝5，

∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.

答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25

2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，

于是有

解得

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.

由得圆心的坐标为(－3，1)，

又圆的半径长r＝＝5，

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

[例3]　(链接教科书第52页例2)赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．

[解]　作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高．以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B，C(0，b)．

可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0，t)，半径为r，则因为B，C都在圆上，

所以

由此可解得r＝.

求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤

[跟踪训练]

某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？

解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上. 依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有

解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过．

1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　)

A．(－1，5)，　　　　　　 B．(1，－5)，

C．(－1，5)，3  D．(1，－5)，3

答案：B

2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3

D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9

解析：选D　由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.

3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)

A．在圆外  B．在圆内

C．在圆上  D．不确定

答案：B　

4．求圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程．

解：法一(直接法)：

设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，

∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.

法二(数形结合法)：

作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0，2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.