苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.1 圆的方程第1课时同步达标检测题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.1 圆的方程第1课时同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了1　圆的方程，若直线l，若点A在圆C，阿波罗尼斯证明过这样一个命题等内容，欢迎下载使用。

第1课时 圆的标准方程
基础过关练
题组一 对圆的标准方程的理解
1.(2024湖南常德部分学校联考)若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(教材习题改编)方程y=-4-x2表示的曲线是( )
A B C D
3.(2024吉林长春月考)若直线l:2x+y-1=0是圆C:(x+a)2+y2=1的一条对称轴,则a= .
4.(2023重庆巴蜀中学月考)已知直线l过圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心,且与直线x+2y-4=0平行,则l的方程是 .
题组二 求圆的标准方程
5.(2024山东普高大联考)已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=8
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32
D.(x+1)2+(y+1)2=32
6.(教材习题改编)已知圆C经过A(1,-5),B(0,2)两点,且点C在直线x-y+1=0上,则圆C的标准方程为 .
7.(2024北京第一五六中学期中)圆心在直线x-y=0上,且与y轴相切于点(0,1)的圆的标准方程为 .
题组三 点与圆的位置关系
8.点(sin 30°,cs 30°)与圆x2+y2=12的位置关系是 ( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
9.(教材习题改编)若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是( )
A.(5,+∞) B.(5,+∞)
C.(0,5) D.(0,5)
题组四 圆的标准方程的应用
10.(2024安徽淮南月考)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P与A、B的距离之比为2,当P、A、B三点不共线时,△PAB面积的最大值是( )
A.23 B.223 C.2 D.22
11.(2024山东普高联考)苏州有很多圆拱形的悬索拱桥,经测得某圆拱索桥的跨度AB=100米,拱高OP=10米,在建造该桥时每隔5米需用一根支柱支撑,则与OP相距30米的支柱MN的长约为(10≈3.162)( )
米 米米 米
能力提升练
题组 圆的标准方程的求解及应用
1.(2024湖北云学新高考联盟联考)若点A、B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,AB=22,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则PQ的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024浙江杭州第二中学期中)已知点P(x,y)在圆x2+y2=2上运动,则|x-y+3|的取值范围为( )
A.[0,1] B.[0,4] C.[1,5] D.[1,4]
3.(2024广西三新学术联盟联考)几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是∠AQB(锐角)的边QA上的两点,当点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点时,∠MPN最大.”根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,该圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=2 B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4 D.(x+7)2+(y-10)2=10
4.(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学开学测试)在圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径为5,乙:该圆经过点(7,0),丙:该圆的圆心为(2,1),丁:该圆经过点(3,3),如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.(2024江苏南京一中月考)在平面内,一只蚂蚁从点A(-2,-3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y-2)2=2上,则它爬过的最短路程是 .
6.(2024广东实验中学期中)已知圆M过点P(2,0),Q(-1,3),且点P关于直线x+2y=0的对称点P'在圆M上,则圆M的标准方程为 ;设N(x,y)是圆M上的任意一点,A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),则NA2+NB2+NC2的最小值为 .
7.(2023江苏泰州兴化期中)已知圆C与x轴、y轴的正半轴分别交于A(2,0),B(0,6)两点,圆心C在第二象限.
(1)若圆C与x轴的另一个交点坐标为(-12,0),求圆C的标准方程;
(2)若OC=26(O为坐标原点),求圆C的标准方程.
8.(2023四川泸州龙马高中月考)已知点B(6,5),点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,线段AB的中点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的方程;
(2)若点C在曲线C2上运动,点Q在x轴上运动,求QA+QC的最小值.
答案与分层梯度式解析
第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第1课时 圆的标准方程
基础过关练
1.B ∵l经过第二、三、四象限,∴a<0,-b<0,
即b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限.故选B.
2.A 对y=-4-x2两边平方,整理得x2+y2=4(y≤0),
故方程表示圆心为坐标原点,半径为2的圆在x轴及其下方的部分,故选A.
3.答案 -12
解析 易知圆C的圆心C(-a,0).因为直线l是圆C的一条对称轴,所以点C(-a,0)在直线l上,所以2×(-a)-1=0,解得a=-12.
4.答案 x+2y+4=0
解析 圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心为(2,-3),由题意可设l的方程为x+2y+m=0(m≠-4),把(2,-3)代入,得2+2×(-3)+m=0,解得m=4,所以l的方程是x+2y+4=0.
5.B 解法一:由题意得圆心为-3+12,1-32,即(-1,-1),半径r=(-3-1)2+(1+3)22=22,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选B.
解法二:∵A(-3,1),B(1,-3),
∴以AB为直径的圆的方程为(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,化简整理得(x+1)2+(y+1)2=8.
课外拓展 本题解法二用到结论:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.答案 (x+3)2+(y+2)2=25
解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则(1-a)2+(-5-b)2=r2,(0-a)2+(2-b)2=r2,a-b+1=0,解得a=-3,b=-2,r2=25,
所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
7.答案 (x-1)2+(y-1)2=1
解析 由圆心在直线x-y=0上可设所求圆的圆心坐标为(m,m),
由所求圆与y轴相切于点(0,1),知m=1,故所求圆的半径r=1,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
8.C 因为sin230°+cs230°=122+322=1>12,所以点在圆外.故选C.
9.C 由点A在圆C外,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,解得m<5,又m>0,所以010.D 以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵PAPB=2,∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,
两边平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴动点P的轨迹是以(3,0)为圆心,22为半径的圆(除去点(3±22,0)),
∴△PAB面积的最大值是12×2×22=22.
故选D.
11.A 以O为原点,AB、OP所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图.
则P(0,10),A(-50,0).
设圆拱所在圆的方程为x2+(y-a)2=r2,
则(10-a)2=r2,(-50)2+a2=r2,解得a=-120,r2=16900.
所以圆拱所在圆的方程为x2+(y+120)2=16 900.
将x=-30代入,得900+(y+120)2=16 900,
因为y>0,所以y=4010-120≈40×3.162-120=6.48.故选A.
能力提升练
1.B 由题意得P到圆心C1(2,0)的距离为3-AB22=1,
由圆的定义可知点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,其方程为(x-2)2+y2=1,
∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,∴PQ的最小值为C1C2-1-1=2.故选B.
2.C |x-y+3|=2×|x-y+3|2,|x-y+3|2表示圆上的点P(x,y)到直线x-y+3=0的距离,设为d,
所以|x-y+3|=2d,
又圆心(0,0)到直线x-y+3=0的距离d1=|0-0+3|2=322,
所以d1-2≤d≤d1+2,即22≤d≤522,故1≤2d≤5,所以|x-y+3|的取值范围是[1,5].故选C.
3.C 由题意可知,点P为过M,N两点且和x轴相切的圆的切点,易得线段MN的中点坐标为(0,3),kMN=2-4-1-1=1,
所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x,
所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上,
设该圆圆心为C(a,3-a),又因为圆C与x轴相切,所以圆的半径r=|3-a|,
又CN=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7,
当a=-7时,∠MQP是钝角,故舍去.
所以a=1,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
故选C.
4.B 设A(3,3),B(2,1),C(7,0),
假设甲的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),且过点A(3,3),C(7,0),此时BA=1+4=5,BC=25+1=26≠BA,故假设错误,所以甲的结论正确;
假设乙的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),半径为5,所以该圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,把点(3,3)代入,等式成立,故该圆经过点A(3,3),故假设正确,所以乙的结论错误;
假设丙的结论错误,则此圆的半径为5,且经过点C(7,0),A(3,3),则AC=16+9=5>25,故假设错误,所以丙的结论正确;
假设丁的结论错误,则该圆的圆心为B(2,1),半径为5,且经过点C(7,0),则BC=25+1=26>25,故假设错误,所以丁的结论正确.
综上所述,结论错误的是乙同学.故选B.
5.答案 42
解析 由圆的方程得圆心为C(-3,2),半径为2,
设点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A',则A'(2,-3),设A'C与圆C交于点P,易知蚂蚁爬过的最短路程为A'P的长,
可得A'P=A'C-2=(-3-2)2+(2+3)2-2=42.
故蚂蚁爬过的最短路程为42.
6.答案 x2+y2=4;72
解析 由P(2,0),Q(-1,3),得线段PQ的中点坐标为12,32,直线PQ的斜率kPQ=3-0-1-2=-33,
则线段PQ的垂直平分线的斜率为-1kPQ=3,方程为y-32=3x-12,整理可得3x-y=0,易知圆心M在直线3x-y=0上,
由题意可知圆心M也在直线x+2y=0上,联立x+2y=0,3x-y=0,解得x=0,y=0,即M(0,0),
又圆M的半径为MP=2,所以圆M的标准方程为x2+y2=4.
由N(x,y)在圆M上,得x2+y2=4,
易知NA2=(x+2)2+(y+2)2,NB2=(x+2)2+(y-6)2,NC2=(x-4)2+(y+2)2,
整理可得NA2+NB2+NC2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y,-2≤y≤2,
易知当y=2时取最小值,为72.
7.
思路分析 (1)
(2)A(2,0),B(0,6)设Cx,13x+83圆心C(-5,1)圆的方程
解析 (1)由题意知A(2,0),(-12,0)在圆上,故圆心在直线x=2-122=-5上,
又直线AB的斜率为6-00-2=-3,线段AB的中点坐标为(1,3),
故线段AB的垂直平分线的方程为y-3=13(x-1),
令x=-5,得y=1,即圆心C(-5,1),
又半径r=(-5-2)2+12=52,
所以圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50.
(2)由(1)可知,圆心C在线段AB的垂直平分线y-3=13(x-1),即y=13x+83上,设圆心Cx,13x+83,
又OC=26,所以x2+13x+832=26,
解得x=-5或x=175.
由于圆心C在第二象限,所以x=-5,故圆心C(-5,1),半径r=(-5-2)2+12=52,
故圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50.
8.解析 (1)设P(x,y),A(x0,y0),
由于B(6,5),且P是线段AB的中点,
所以x=x0+62,y=y0+52,故x0=2x-6,y0=2y-5.
所以A(2x-6,2y-5).
因为A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,
所以(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,
整理,得(x-5)2+(y-4)2=1,
所以点P的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.
(2)圆C1的圆心为(4,3),半径r1=2,圆C2的圆心为(5,4),半径r2=1,
所以QA+QC≥QC1-r1+QC2-r2=QC1+QC2-3,当且仅当A在线段QC1上且C在线段QC2上时,取等号.
作圆C1关于x轴的对称圆C3,易知圆C3的圆心为(4,-3),当点Q为直线C2C3与x轴的交点时,QC1+QC2取得最小值,且(QC1+QC2)min=C2C3=52,
所以QA+QC的最小值为52-3.
方法技巧 与圆有关的形如QA+QC的折线段问题,要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)化曲为直,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和.