初中数学北师大版（2024）八年级上册3 勾股定理的应用多媒体教学ppt课件

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1. [2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3，若EF ＝6，则 S1＋ S2＋ S3的值是(　D　)
2. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀 算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图① 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其 面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入长方形 KLMJ 内得到的，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10，点 D ，E ， F ， G ， H ， I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为(　B　)
点拨：如图，延长 AB 交 KL 于 P ，延长 AC 交 LM 于 Q ，
由题意得，∠ BAC ＝∠ BPF ＝∠ FBC ＝90°， BC ＝BF ，
所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°＝∠ PBF ＋∠ ABC .
所以∠ ACB ＝∠ PBF .
所以△ ABC ≌△ PFB (AAS).所以 PB ＝ AC .
同理可得△ ABC ≌△ QCG . 所以 CQ ＝ AB .
所以 AC ＝8， CQ ＝ AB ＝ AD ＝6.
所以 PB ＝ AC ＝ AI ＝8.
所以 IP ＝8＋6＋8＝22， DQ ＝6＋8＋6＝20.
所以长方形 KLMJ 的面积＝22×20＝440.
因为在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10，
3. 【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形 ABC 中，分别以 AB ， AC 为边向外作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三 角形 ACD ，使 AE ＝ AB ， AD ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAD ＝90°，连接 BD ， CE ，请判断 BD 与 CE 的数量关系，并说明理由；
解： BD ＝ CE . 理由如下：因为∠ CAD ＝∠ BAE ＝90°，所以∠ BAD ＝∠ EAC ＝90°＋∠ BAC . 因为 AB ＝ AE ， AD ＝ AC ，所以△ ABD ≌△ AEC (SAS).所以 BD ＝ CE .
【深入探究】(2)如图②，在四边形 ABCD 中， AB ＝5， BC ＝2，∠ ABC ＝∠ ACD ＝∠ ADC ＝45°，求 BD2的 值；甲同学受到(1)的启发构造了如图所示的一个和△ ABD 全等的三角形，将 BD 进行转化再计算，请你准确叙述辅助线的作法，再计算.
解：在△ ABC 的外部作Rt△ BAE ，使∠ BAE ＝90°， AE ＝ AB ，连接 BE ， CE . 因为∠ ACD ＝∠ ADC ＝45°，所以∠ CAD ＝90°， AC ＝ AD . 所以∠ EAC ＝∠ BAD ＝90°＋∠ BAC . 所以△ EAC ≌△ BAD (SAS).所以 EC ＝ BD . 所以 EC2＝ BD2.