2022-2023学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y2＝1B．x3﹣2x＝3C．x2+＝3D．x2＝0
2．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1（ ）
A．B．C．6D．
3．（3分）小明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面向上7次，反面向上3次（ ）
A．正面向上的频率是7
B．正面向上的频率是0.7
C．正面向上的频率是3
D．正面向上的频率是0.3
4．（3分）如图，已知点C是线段AB上的一点，且满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．（3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝120°（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
7．（3分）下列四对图形中，是相似图形的是（ ）
A．任意两个三角形B．任意两个等腰三角形
C．任意两个直角三角形D．任意两个等边三角形
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时
A．B．C．或D．或
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分，）
9．（3分）若2m＝3n，那么m：n＝ ．
10．（3分）一元二次方程x2＝2的解为 ．
11．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，若DB＝4，AB＝6，则EC的长是 ．
12．（3分）某企业2020年底的年产值为1000万元，计划2022年底的年产值达到1440万元，如果每年的增长率相同，根据题意可列出的方程为 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，则DQ+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本题共计13小题，共计81分）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝4．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
16．（5分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝4，c＝10，求线段d的长．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图在AC上作一点E，使得∠CBE＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
19．（5分）在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC
20．（5分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
21．（6分）如图，将Rt△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△ABE，射线EB与DF相交于点C
22．（7分）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，求代数式（x1+x2）2+2x1x2的值．
23．（7分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB＝8，AD＝6，AE＝4
24．（8分）为了预防新冠肺炎，某商店新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
25．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．
26．（10分）综合与探究：已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当AP＝AQ时，求t的值；
（2）点P，Q同时出发，t为何值时，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在；若不存在，说明理由．（不写求解过程）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意．
B、未知数的最高次数是三次，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程．
D、该方程符合一元二次方程的定义．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l4，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，
∴＝，
∴EF＝，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．
3．【分析】根据频率＝进行计算即可．
【解答】解：小明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面向上7次，
则正面向上的频率为＝0.4，
故选：B．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝是正确解答的关键．
4．【分析】设AB＝1，AC＝x，根据求出x，得到AC和BC，再计算结果即可．
【解答】解：设AB＝1，AC＝x，
∵，
∴，解得：或，
即，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程和黄金分割的应用，根据题意列出比例式是关键．
5．【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
∴b4﹣4ac＝4﹣7×1×3＝﹣6＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
6．【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝120°，
∴∠1＝＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7．【分析】利用相似图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、任意两个三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
B、任意两个等腰三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
C、任意两个直角三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
D、任意两个等边三角形相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
8．【分析】根据AE＝EB，△ABE中，AB＝2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM＝2DN
∴DM2+DN2＝MN2＝2
∴DM2+DM2＝1，
解得DM＝；
②DM与BE是对应边时，DM＝，
∴DM2+DN2＝MN2＝1，
即DM2+4DM2＝7，
解得DM＝．
∴DM为或时，△ABE与以D、M．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分，）
9．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴m：n＝3：2．
故答案为：3：8．
【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
10．【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：∵x2＝2，
∴x2＝，x2＝﹣．
故答案为：x＝±．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
11．【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB＝BE：BC，又由DB＝4，AB＝6，BE＝3，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴DB：AB＝BE：BC，
∵DB＝4，AB＝6，
∴3：6＝3：BC，
解得：BC＝，
∴EC＝BC﹣BE＝﹣3＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
12．【分析】利用2022的年产值＝2020年的年产值×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1000（1+x）2＝1440．
故答案为：1000（5+x）2＝1440．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′6＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
3P′D′2＝AD′2，即6P′D′2＝16，
∴P′D′＝2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：4．
【点评】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题（本题共计13小题，共计81分）
14．【分析】直接利用开平方法求解即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣4＝2或x﹣1＝﹣6，
解得：x1＝3，x5＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的形式选择适当的方法进行求解是解题的关键．
15．【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝4，
则x+1＝0或x﹣6＝0，
∴x＝﹣1或x＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
16．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入a＝4，b＝5，
解得：．
【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例．
17．【分析】作∠ABC的角平分线即可得到结论．
【解答】解：如图所示，点E即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
19．【分析】作CF∥AB交DE的延长线于点F，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝CF，证明△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：作CF∥AB交DE的延长线于点F，
∴∠ADE＝∠F，
∵DF∥BC，CF∥BD，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵AD＝BD，
∴AD＝CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE＝EC，即E是AC中点．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．【分析】（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1种；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有8种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）＝＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确求解的前提．
21．【分析】由旋转得∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，则∠ABC＝180°﹣∠ABE＝90°，由∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，可证明四边形ABCD为矩形，而AB＝AD，四边形ABCD为正方形．
【解答】证明：∵将Rt△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△ABE，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为正方形．
【点评】此题重点考查旋转的性质、正方形的判定等知识，证明∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°及AB＝AD是解题的关键．
22．【分析】根据题意求出x1+x2＝4，x1x2＝1，代入式子计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x7﹣4x+1＝6的两根，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程求出x1+x2，x1x2的值．
23．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，可得：∠EDA＝∠CAB，由∠B＝∠DAE，然后根据两角对应相等，两三角形相似，可证△ABC∽△DAE；
（2）由相似三角形对应边成比例，可得：，然后将AB＝8，AD＝6，AE＝4，代入即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠CAB，
∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∵AB＝8，AD＝6，
∴．
∴BC＝．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，关键知道两角对应相等两个三角形相似及相似三角形对应边成比例．
24．【分析】设每个口罩涨价x元，则每个口罩的销售利润为（1+x）元，每天可售出（200﹣20x）个，利用总利润＝每个口罩的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：设每个口罩涨价x元，则每个口罩的销售利润为（1+x）元＝（200﹣20x）个，
根据题意得：（1+x）（200﹣20x）＝480，
整理得：x2﹣6x+14＝0，
解得：x1＝6，x2＝7，
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝4．
答：每个口罩应涨价2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM＝12.5（米），
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD＝EN＝4.5（米），
∴MN＝ME+EN＝12.5+3.5＝14（米）．
【点评】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再结合AP＝AQ以及两点的速度列出方程，解之即可；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据题意知：AP＝（5﹣t）cm，AQ＝2tcm，当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t，当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t．
（3）过点P作PE⊥BC、PF⊥AC，分别交BC于E、交AC于F，则四边形CEPF是矩形，证明△PBE∽△ABC，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8cm，
∴，
∵AP＝AQ，
∴10﹣t＝2t，
∴；
（2）由题意知：AP＝（10﹣t）cm，AQ＝7t，
当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，
∴，
∴，
∴，；
当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴当或时，以A、P，
故答案为：或；
（3）存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形
过点P作PE⊥BC、PF⊥AC、交AC于F
∴∠BEP＝∠BCA＝∠PFC＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
当时，即FC＝FQ时，
此时把△PCQ沿QC翻折得到四边形PQP'C是菱形，
∵∠B＝∠B，
∴△PBE∽△ABC，
∴，
即，
解得：，
∵QC＝8﹣2t，
∴，
解得：，
∴当时，四边形PQP'C是菱形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．