2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，，，这些数中，无理数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  如图，已知，，平分，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  若直线经过点，直线经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接若，若连接，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表：

有下列四个结论：；抛物线的对称轴是直线；和是方程的两个根：若，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  把多项式分解因式的结果是        ．

10.  将正六边形和正五边形按如图所示的位置摆放，连接，则 ______ ．

11.  在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______ ．

12.  正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是______．

13.  如图，正方形的边长为，是边的中点，点是正方形内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得，连，线段的最小值为______．
 

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分

解不等式组：╔╔ \ begin{cases}2(x-3) \ leqslant x-4\\\dfrac{x-2}{2}

16.  本小题分
化简：，然后从，，中选一个合适的值代入求解．

17.  本小题分
如图，在矩形中，，在上找一点，使得保留作图痕迹，不写作法．

18.  本小题分

我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，对角线，相交于点，，，垂足分别是，，求证

19.  本小题分
如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标为．
直接写出点的坐标为______；
求的面积；
将向左平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的，并写出三个顶点的坐标．

20.  本小题分
为庆祝中国共青团成立周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

本次调查的样本容量是______，项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中项活动的人数是______；
若该校约有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

21.  本小题分
数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼的高度无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米的处测得楼的处的仰角为点、、、、在同平面内．
求楼的高度结果保留根号；
求此时无人机距离地面的高度．

22.  本小题分
年第届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为、、，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图或列表的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．

23.  本小题分

在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共辆、两种型号客车作为交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：

注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．

设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式也称关系式，请直接写出的取值范围

若要使租车总费用不超过元，一共有几种租车方案哪种租车方案最省钱

24.  本小题分
已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．
求证：与相切；
当，时，求的半径．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
综合与实践
【知识方法】
如图，在与中，，，，连接、，则与的数量关系是______ ；
【类比迁移】
如图，正方形与正方形共用点，连接、、，试探究与之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】
如图，点是矩形边上的动点，连接，将绕点顺时针旋转至，交于点，将绕点顺时针旋转至，连接、、，若，，求四边形面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是无理数，
故选：．
根据无理数的定义即可求出答案．
本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的定义解答．
【解答】
解：，
，
再根据角平分线的概念，得：，
再根据两条直线平行，内错角相等得：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】
解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
是经过翻折变换得到的，
，
．
故选：．
先根据点、分别是边、的中点可知是的中位线，故可求出，再由翻折变换的性质可知，由平角的性质即可求解．
本题考查的是中位线定理、图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】根据对称的性质得出点关于轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线的关系式，求出直线与轴的交点即可．
解：设直线的解析式为，
直线经过点，经过点，且与关于轴对称，
两直线相交于轴上，点关于轴的对称点在直线上，
把和代入，得，
解得：，
故直线的解析式为：，
令，则，
即与的交点坐标为．
故选：．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出与的交点坐标为与与轴的交点是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，，
是的直径，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将，，代入得，
解得，
，故正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，
错误，不符合题意．
抛物线对称轴为直线，
点的对称点为，
的解为或，
和是方程的两个根，正确，符合题意．
抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线经过点，
当时，随增大而减小，
时，，即时，，正确，符合题意．
故选：．
先通过表格及待定系数法求出函数解析，从而判断，然后通过二次函数图象的对称性可得和时，，从而判断，再根据抛物线的对称性可得时，，进而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意必须先提公因式．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
．
多边形是正六边形、多边形是正五边形．
，．
．
．
．
．
故答案为：．
由题意得，，根据等腰三角形的性质，得根据正多边形的性质，由多边形是正六边形、多边形是正五边形，得，，从而得到，那么，进而解决此题．
本题主要考查正多边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比等于下部与全部的高度比，
该雕像的下部设计高度，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、在反比例函数的图象上，
，
正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点与点关于原点对称，
，，



，
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，

则，
，
，，
≌，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
而在中，，
，
，
．
线段的最小值为．
如图，如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等．解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
解集表示在数轴上，如图所示：

则不等式组的整数解为，，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

．
当时，原分式无意义，
，
原式． 

【解析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后从，，中选择一个使原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，过点作于点，

，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
则即为所作． 

【解析】利用基本作图，过点作于点即可．
本题考查作图基本作图：熟练掌握种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
 

18.【答案】证明：在和中，，
≌，
，
平分．
又，，
． 

【解析】欲证明，只需推知平分，所以通过全等三角形≌的对应角相等得到，问题就迎刃而解了．
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

19.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
故答案为：；

的面积为：；

如图所示：，即为所求；、、．
利用坐标系可得答案；
利用矩形面积减去周围多于三角形的面积即可；
确定、、三点平移后的位置，再连接即可．
此题主要考查了作图--平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的位置．
 

20.【答案】解：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人． 

【解析】解：本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是人，
故答案为：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人．
根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于点得矩形，则米，米．
在中，，，


．
．
答：楼高度为米；
作于点，则，，
依题意，知，，，
，
，
在中，，．
，
，
，
在中，，，
，
，
．
无人机距离地面的高度为米． 

【解析】由题意可得米，米，在中，，结合可得出答案．
作于点，可得，再根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上都是莲莲的有种结果，
所以两次抽取的卡片上都是莲莲的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取的卡片上都是莲莲的有种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：由题意：．
，
，
又为整数，
的取值范围为的整数．
由题意，
，
，
共有种租车方案，
时，有最小值元． 

【解析】根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
 

24.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，是角平分线，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，是角平分线，
，，
在中，，
，
设的半径为，则，
，
∽，
，
即 ，
，
即的半径为． 

【解析】连接，可得，进而推出，由平行线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，得到，由圆的切线的判定即可证得结论；
首先证得∽，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
 

25.【答案】解：抛物线，
，
，
，
，
，，
，，
该抛物线与轴交于、两点，
，
，
抛物线解析式为，
存在，
理由：设，
，，
，，，
是等腰三角形，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
或，
当时，
，
，
或，
符合条件的点坐标为或或或或 

【解析】先求出点的坐标，在由，确定出点，的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
设出点的坐标，表示出，，求出，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：；理由如下：
在和中，
，
≌，
；
；理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
连接，如图所示，

由旋转性质可得：，，，
，，
，
≌，
，
，
四边形是矩形，

，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
≌，
，
，
∽，
，
，
当时，有最大值，即有最小值，且最小值，
．
根据题中条件证明≌即可得到答案．
根据题中条件证明≌即可得到答案．
连接，根据条件证明≌，从而得出，要是四边形面积有最小值，则有最小值，即有最大值，根据条件证明∽即可得到答案．
本题考查了四边形的综合题，综合性较强，正确作出辅助线和找出相似三角形时解题关键．