2021-2022学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．3x+2y＝7 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
2．（3分）已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线平分且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
4．（3分）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为100平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，设宽为x米，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝100 B．x（x+10）＝100
C．2x+2（x+10）＝100 D．2x+2（x﹣10）＝100
5．（3分）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
6．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10
7．（3分）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（　　）

A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，AB＝8，则CD的长是 　 　．

10．（3分）小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是　 　．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转α角度（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．当旋转角α为 　 　时，四边形AFCE为菱形．

13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF，AE．若DE＝DC，EF＝EC，则∠AFE的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
15．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

16．（5分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥BC，请用尺规作图法，在平面内求作一点D，使四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）桌面上放有不透明的四张卡片，每张卡片正面都写有一个数字，分别是1，2，3，4，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为4的概率．
19．（5分）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．

20．（5分）某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是　 　；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，P，Q两点分别到达B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是8cm2．

22．（7分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．

23．（7分）将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
24．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．

25．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件40元销售，每月可卖出600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨1元，销售件数减少10件．
（1）设每件商品售价定为x元（x≥40），请用含x的式子表示每月的销售量．
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，并使消费者得到实惠，（1）中的售价x应定为多少元？
26．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
问题提出
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 　 　，CE与CB的位置关系是 　 　．
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．


2021-2022学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝0 B．3x+2y＝7 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是不等式，不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【分析】将x＝0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：将x＝0代入3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0，得：﹣k+7＝0，
解得：k＝7．
故选：C．
3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线平分且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：D．
4．（3分）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为100平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，设宽为x米，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝100 B．x（x+10）＝100
C．2x+2（x+10）＝100 D．2x+2（x﹣10）＝100
【分析】设宽为x米，则长为（x+10）米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设宽为x米，则长为（x+10）米，
依题意得：x（x+10）＝100．
故选：B．
5．（3分）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.4左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的 骰子向上面的点数是“5”的概率是；不符合题意，
B、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合题意；
C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是0.4，符合题意；
D、三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率是，不符合题意，
故选：C．
6．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：B．
7．（3分）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝，
故选：B．
8．（3分）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（　　）

A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
【分析】先由勾股定理求出AC＝10，再证四边形BNPM是矩形，得MN＝BP，然后由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，最后由三角形的面积求出BP即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，
即×8×6＝×10•BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，AB＝8，则CD的长是 　4　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝×8＝4．
故答案为：4．
10．（3分）小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有1种情况，
∴两同学同时出“剪刀”的概率是：．
故答案为：．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，则实数m的取值范围是 　　．
【分析】由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）＝﹣4m+13≥0，
解得：m≤，
故答案为：．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转α角度（0°＜α＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．当旋转角α为 　90°　时，四边形AFCE为菱形．

【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，由全等三角形的性质可得OE＝OF，可证四边形AFCE为平行四边形，由菱形的判定可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∴当∠AOE＝90°，四边形AFCE为菱形．
故答案为：90°．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF，AE．若DE＝DC，EF＝EC，则∠AFE的度数为 　45°　．

【分析】根据SAS证△ADE≌△CDE，得出AE＝CE＝EF，再证△AEF为等腰直角三角形，即可得到结论．
【解答】解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，∠ADB＝45°，AD＝DC，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝∠FEC﹣∠BEC＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵DE＝DC，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
故答案为：45°．

三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得x1＝3，x2＝．
15．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

【分析】由正方形的性质，结合条件证明△ABE≌△DAF即可证得结论．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△DAF中

∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE＝AF．
16．（5分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．
【分析】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2＝3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝﹣220%（不合题意，舍去），x2＝20%．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率是20%．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥BC，请用尺规作图法，在平面内求作一点D，使四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】分别以A，C为圆心，BC，AB为半径作弧，两弧交于点D，点D即为所求．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．

18．（5分）桌面上放有不透明的四张卡片，每张卡片正面都写有一个数字，分别是1，2，3，4，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为4的概率．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字和为4的有3种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次数字和为4的有3种情况，
∴两次数字和为4的概率为．
19．（5分）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．

【分析】先证得四边形ABEF是平行四边形，再由AB＝AF可得▱ABEF是菱形．
【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形．
20．（5分）某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是　　；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出甲乙两人选择的检票通道恰好相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】（1）解：甲选择A检票通道的概率＝
故答案为；
（2）解：列表如下：

结果 乙

甲
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）
∴P（E）＝＝．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，P，Q两点分别到达B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是8cm2．

【分析】设t秒钟后，S△PBQ＝8，则AP＝t，PB＝AB﹣AP＝6﹣t，QB＝2t，而S△PBQ＝PB×QB，由此可以列出方程求解．
【解答】解：设t秒钟后，S△PBQ＝8，
则×2t（6﹣t）＝8，
t2﹣6t+8＝0，
∴t1＝2，t2＝4，
答：2秒或4秒时△PBQ的面积等于8cm2．
22．（7分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．

【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：方法一画树状图
（5分）
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）＝0.5（7分）

方法二列表如下：

1
2
3
4
5
1+5＝6
2+5＝7
3+5＝8
4+5＝9
6
1+6＝7
2+6＝8
3+6＝9
4+6＝10
7
1+7＝8
2+7＝9
3+7＝10
4+7＝11
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）＝0.5（7分）；

（2）∵P（和为奇数）＝0.5，
∴P（和为偶数）＝0.5（9分），
∴这个游戏规则对双方是公平的．（10分）
23．（7分）将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，根据这两个正方形的面积之和等于10cm2，即可得出关于y的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣80＜0，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2．
【解答】解：（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，
依题意，得（）2+（）2＝17，
整理，得x2﹣20x+64＝0，
解得x1＝16，x2＝4．
当x＝16时，20﹣x＝4；当x＝4时，20﹣x＝16．
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm．
（2）不能，理由如下：
设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，
依题意，得（）2+（）2＝10，
整理，得y2﹣20y+120＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×120＝﹣80＜0，
∴此方程无解，
即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2．
24．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．

【分析】（1）证OE是△ABD的中位线，得OE∥FG，则四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝6，然后由勾股定理得到AF＝2，即可得出BG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝12，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝6，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝6，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴AF＝＝＝2，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝12﹣2﹣6＝4．
25．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件40元销售，每月可卖出600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨1元，销售件数减少10件．
（1）设每件商品售价定为x元（x≥40），请用含x的式子表示每月的销售量．
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，并使消费者得到实惠，（1）中的售价x应定为多少元？
【分析】（1）利用每月的销售量＝600﹣10×每个小商品上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个小商品售价上涨x元时的月销售量；
（2）利用月销售利润＝每个小商品的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合并使消费者得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个小商品的售价为50元．
【解答】解：（1）依题意得：若每个小商品售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个小商品；
（2）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵使消费者得到实惠，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：（1）中的售价x应定为50元．
26．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
问题提出
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 　BP＝EC　，CE与CB的位置关系是 　EC⊥BC　．
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．

【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即得出结论；
（3）证明点F的运动轨迹是线段BC的垂直平分线，由题意点P在BD的延长线上（包括点D），观察图象可知，当点P与D重合时，CF的值最小，此时点F与A重合，CF的最小值为20m．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，
∵BC∥AD，
∴CH⊥BC，
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；

（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2，连接AC，AC与BD交于点O，

∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，
又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，
∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
设CE与AD交于点H，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝30°+60°＝90°．
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD，
∵BC∥AD，
∴CH⊥BC．

（3）如图3中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝20（m），
由（2）可知CE⊥BC，
∵BF＝EF，
∴CF＝FB＝EF，
∴点F的运动轨迹是线段BC的垂直平分线，
∵点P在BD的延长线上（包括点D），
∴观察图象可知，当点P与D重合时，CF的值最小，此时点F与A重合，CF的最小值为20m．