2022-2023学年陕西省西安市未央区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年陕西省西安市未央区九年级（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市未央区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝2x B．y=1x2−x C．y＝x3﹣2x2﹣x D．y＝﹣3x2﹣4
2．下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．画一条抛物线，开口向左
B．画一个度数为α的锐角，cosα=12
C．画一个菱形，内角和为180°
D．画一个矩形，是轴对称图形
4．如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（　　）

A．tanB=125 B．tanA=512 C．sinA=1213 D．cosB=513
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（　　）

A．100sin28° B．100cos28° C．100sin28° D．100cos28°
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，在以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF＝2，则AF的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
9．x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的解，则4m+2n＝　 　．
10．反比例函数y=ax的图象经过第一、三象限，二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣2，m），B（4，n），则m与n的大小关系是 　 　．
11．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=3x的图象相交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（﹣2，0）．则tan∠ACO的值为 　 　．

12．体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，由此可知小华此次实心球训练的成绩为 　 　米．
13．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若DB＝10，AC＝24，则PE+PF的最小值是 　 　．

三、解答题
14．计算|﹣1|+2cos30°−27．
15．解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
16．求抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点坐标．
17．如图，AC是矩形ABCD的对角线，求作AC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的点，且∠DAF＝∠CDE，连接AF，DE交于点G，求证：cos∠CED=CEAF．

19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．

20．某学校的九年级某班每月都举行诵读活动，每人诵读的文章内容以抽签形式决定，有一次甲同学从A《沁园春》、B《我爱这土地》、C《乡愁》三个签中随机抽取一个后不放回，乙同学再从剩余签中随机抽取一个．请用列表法或画树状图法求甲、乙两人有一人抽到B《我爱这土地》的概率．
21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sinC=45．
（1）求BC的长．
（2）求tanB的值．

22．某服装店店主以每件140元的价格购进某厂的服装，12月份以单价200元销售，均每天可销售20件．为配合“双十二活动”，店主决定采取适当的降价措施，提高销量．店主发现，每件服装每降价1元，每天可多售出2件，设每件服装降价x元．
（1）每天可销售该服装 　 　件．（用含x的代数式表示）．
（2）每件服装售价为多少时，每天销售该种服装获利最多？
23．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．
（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．

24．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于A（1，m），B两点，与坐标轴交于C，D两点，连接OB．
（1）求反比例函数的表达式，
（2）连接OA，求sin∠OAB的值．

25．如图，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于O，A两点，C（2，5）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标．

26．问题提出：

（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，tan∠EAF＝1，连接EF，则线段EF，BE和DF之间的数量关系是 　 　．（提示：将△ABE绕点A旋转至△ADG）．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，tan∠EAF=3．已知∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　时，EF＝BE+DF成立．
（3）问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为12m的正方形ABCD，高为4m，现需用隔音板材填充AE，AF，EF，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边BC，CD上（EC＞FC），EF＝10m，∠EAF＝45°，求共需消耗的板材面积．


2022-2023学年陕西省西安市未央区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝2x B．y=1x2−x C．y＝x3﹣2x2﹣x D．y＝﹣3x2﹣4
【分析】一般地，我们把形如y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．y＝2x，是一次函数，故该选项不符合题意；
B． y=1x2−x，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C．y＝x3﹣2x2﹣x，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D．y＝﹣3x2﹣4，是二次函数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A．主视图是三角形，故A不符合题意；
B．主视图是正方形，故B不符合题意；
C．主视图是圆，故C符合题意；
D．主视图是两个小长方形组成的矩形，故D不符合题意；
故选：C．
3．下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．画一条抛物线，开口向左
B．画一个度数为α的锐角，cosα=12
C．画一个菱形，内角和为180°
D．画一个矩形，是轴对称图形
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A．画一条抛物线，开口向左，是不可能事件，不符合题意；
B．画一个度数为α的锐角，cosα=12，是随机事件，符合题意；
C．画一个菱形，内角和为180°，是不可能事件，不符合题意；
D．画一个矩形，是轴对称图形，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
4．如图，在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，下列结论中，正确的是（　　）

A．tanB=125 B．tanA=512 C．sinA=1213 D．cosB=513
【分析】首先利用勾股定理求得BC，再根据各三角函数的定义，即可一一判定．
【解答】解：∵在中Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC=AB2−AC2=132−52=12，
∴tanB=ACBC=512，tanA=BCAC=125，sinA=BCAB=1213，cosB=BCAB=1213，
故选：C．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】根据特殊平行四边形的判定定理即可一一判定．
【解答】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
B．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题，不符合题意；
D．对角线互相垂直的矩形是正方形，故该命题正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
6．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（　　）

A．100sin28° B．100cos28° C．100sin28° D．100cos28°
【分析】根据三角函数定义进行解答即可．
【解答】解：∵滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，
∴该同学在竖直方向上下降的高度为100sin28°，故A正确．
故选：A．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，在以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】B根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴交于负半轴，判断出a，b，c的符号，进而判断①，根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断②，根据b＝﹣2a，a＞0，即可判断③，根据x＝1时的函数值小于0，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，则a＞0，
对称轴为直线x＝1，即−b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
∵b＝﹣2a，a＞0，
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＞0，故③不正确；
根据函数图象，当x＝1时，函数值小于0，即a+b+c＜0，
故④正确，
综上所述，②④正确，
故选：B．
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF＝2，则AF的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正方形的性质和等角的余角相等证得∠BAE＝∠CEF，再根据相似三角形的判定与性质证明△ABE∽△ECF得到ABCE=BECF，进而求得AB、DF，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，AB＝AD＝DC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴ABCE=BECF，
∵E是BC的中点，CF＝2，
∴AB12AB=12AB2，
解得：AB＝8，
在Rt△ADF中，AD＝8，DF＝DC﹣CF＝6，
∴AF=AD2+DF2=82+62=10，
故选：C．
二、填空题
9．x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的解，则4m+2n＝　﹣8　．
【分析】把x＝2代入方程x2+mx+n＝0可得2m+n的值，即可求解．
【解答】解：把x＝1代入方程x＝2代入方程x2+mx+n＝0得4+2m+n＝0，
∴2m+n＝﹣4，
∴4m+2n＝﹣8．
故答案为：﹣8．
10．反比例函数y=ax的图象经过第一、三象限，二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣2，m），B（4，n），则m与n的大小关系是 　m＞n　．
【分析】先根据反比例函数的性质得出a＞0，再根据二次函数的性质，得出（0，n）与（4，n）关于直线x＝2对称，根据二次函数的增减性，得出m＞n即可．
【解答】解：∵反比例函数y=ax的图象经过第一、三象限，
∴a＞0，
二次函数y＝a（x﹣2）2+3的对称轴为直线x＝2，
∴（0，n）与（4，n）关于直线x＝2对称，
∵a＞0，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0，
∴m＞n．
故答案为：m＞n．
11．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=3x的图象相交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（﹣2，0）．则tan∠ACO的值为 　1　．

【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为E，根据题意，把A（1，a）代入y=3x，得出a的值，进而得出点A的坐标，再根据锐角三角函数，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为E，

∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=3x的图象相交于A（1，a），
∴把A（1，a）代入y=3x，可得：a＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
∴OE＝1，AE＝3，
又∵C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∴CE＝OC+OE＝2+1＝3，
∴tan∠ACE=AECE=33=1，
∴tan∠ACO＝1，
∴tan∠ACO的值为1．
故答案为：1．

12．体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，由此可知小华此次实心球训练的成绩为 　10　米．
【分析】根据实心球落地时，高度y＝0，即把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值，解出x后，舍去不合题意的值即可．
【解答】解：令y＝0，即0＝﹣x2+9x+10，
解得：x1＝10，x2＝﹣1（舍）．
故小华此次实心球训练的成绩为10米．
故答案为：10．
13．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若DB＝10，AC＝24，则PE+PF的最小值是 　13　．

【分析】作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，此时EP+FP有最小值，最小值为GF，求出GF即为所求．
【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，

∴EP＝GP，
∴EP+FP＝PG+PF≥FG，
当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是菱形的一条对称轴，
∵E是AB的中点，
∴G点是BC的中点，
∴EG=12AC，
∵AC＝24，
∴EG＝12，
连接EF，
∵F是AD的中点，BD＝10，
∴EF=12BD=5，
在Rt△EFG中，GF=EF2+EG2=13，
∴PF+PE的最小值为13，
故答案为：13．

三、解答题
14．计算|﹣1|+2cos30°−27．
【分析】利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算即可解答．
【解答】解：|−1|+2cos30°−27
=1+2×32−33
=1+3−33
=1−23．
15．解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
16．求抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点坐标．
【分析】根据抛物线顶点坐标公式即可求解．
【解答】解：a＝﹣1，b＝6，c＝﹣5，−b2a=−6−2=3，4ac−b24a=4×(−1)×(−5)−62−4=4，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点坐标为（3，4）．
17．如图，AC是矩形ABCD的对角线，求作AC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可．
【解答】解：如图，直线EF即为所求．


18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的点，且∠DAF＝∠CDE，连接AF，DE交于点G，求证：cos∠CED=CEAF．

【分析】根据正方形的性质和ASA可证△ADF≌△DCE，得出AF＝DE，然后根据余弦的定义解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°．
在ADF和DCE中，
∠ADC=∠DCBAD=CD∠DAF=∠CDE
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
∴cos∠CED=CEDE=CEAF．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．

【分析】根据位似图变换的定义和性质作出点A和点B的对应点，再与点O顺次连接即可得到答案．
【解答】解：如图，△OA1B1即为所求．
．

20．某学校的九年级某班每月都举行诵读活动，每人诵读的文章内容以抽签形式决定，有一次甲同学从A《沁园春》、B《我爱这土地》、C《乡愁》三个签中随机抽取一个后不放回，乙同学再从剩余签中随机抽取一个．请用列表法或画树状图法求甲、乙两人有一人抽到B《我爱这土地》的概率．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲、乙两人至少有一人抽到B的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：树状图如下，

∵共有6种等可能的情况，甲、乙两人有一人抽到B《我爱这土地》的情况有4种，
∴甲、乙两人中有一人抽到B《我爱这土地》的概率P=46=23．

21．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，sinC=45．
（1）求BC的长．
（2）求tanB的值．

【分析】（1）过点A作BC边上的垂线，垂足为D．利用三角函数求出AD，根据勾股定理求出CD，BD即可；
（2）根据公式直接计算可得．
【解答】解：（1）如图，过点A作BC边上的垂线，垂足为D．

在Rt△ADC中，sinC=ADAC=45，
∴AD=45×15=12．
由勾股定理，得CD=AC2−AD2=152−122=9，BD=AB2−AD2=132−122=5，
∴BC＝BD+CD＝14．
（2）在Rt△ABD中，tanB=ADBD=125．

22．某服装店店主以每件140元的价格购进某厂的服装，12月份以单价200元销售，均每天可销售20件．为配合“双十二活动”，店主决定采取适当的降价措施，提高销量．店主发现，每件服装每降价1元，每天可多售出2件，设每件服装降价x元．
（1）每天可销售该服装 　（20+2x）　件．（用含x的代数式表示）．
（2）每件服装售价为多少时，每天销售该种服装获利最多？
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，每天可销售该服装（20+2x）件，
故答案为：（20+2x）；
（2）设每天销售该种服装获利y元，根据题意，
得y＝（200﹣140﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+100x+1200，
整理得y＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝25时，y有最大值．200﹣25＝175（元），
答：每件服装售价为175元时，每天销售该种服装获利最多．
23．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．
（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．

【分析】（1）根据在Rt△AOD中，sin70°=ODAD，先算出OD的长，再根据AD＝2OD即可得到答案；
（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，tan∠EAO=EHAH，得AH=EHtan∠EAO，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，
∴∠EAO=12∠CAE=70°，CD＝2DO，
在Rt△AOD中，sin70°=ODAD，
即0.94≈OD2，
解得：OD≈1.88m，
∴CD＝2OD≈3.76m，
答：遮阳宽度CD约为3.76m；
（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，

∴∠BHE＝90°，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，
∴EH＝BF＝2.2m，
在Rt△AHE中，
tan∠EAO=EHAH，
∴AH=EHtan∠EAO，
当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，AH≈2.22.75≈0.8m，
当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，
答：点E下降的高度为1.4m．
24．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于A（1，m），B两点，与坐标轴交于C，D两点，连接OB．
（1）求反比例函数的表达式，
（2）连接OA，求sin∠OAB的值．

【分析】（1）将A（1，m）代入y＝﹣x+6中，求出m得到A点坐标，然后把A点坐标代入y=kx中求出k，从而得到反比例函数解析式；
（2）过点A作AF⊥CO于点F，过点O作OE⊥AB于点E，由点到原点的距离公式求出AO=26，然后证得△COD是等腰直角三角形，求出EO=32，即可求解．
【解答】解：（1）将A（1，m）代入y＝﹣x+6中，得m＝﹣1+6＝5，
将A（1，5）代入y=kx中，则k＝1×5＝5．
∴反比例函数的表达式为y=5x．
（2）如图，过点A作AF⊥CO于点F，过点O作OE⊥AB于点E，

由勾股定理，得AO=AF2+FO2=26，
由一次函数y＝﹣x+6，得点C坐标为（0，6），点D坐标为（6，0），
∴△COD是等腰直角三角形，
∴EO=CO×cos45°=6×22=32，
∴sin∠OAB=OEOA=3226=31313．

25．如图，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于O，A两点，C（2，5）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标．

【分析】（1）根据顶点坐标得出抛物线对称轴为直线x＝2，继而得出点A的坐标为（4，0），待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意OP经过CD的中点(2，52)，待定系数法求得直线解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解．
【解答】解：（1）由顶点（2，5）知，抛物线对称轴为直线x＝2，
∴点A的坐标为（4，0），
将点A（4，0），C（2，5）代入y＝ax2+bx中，
得16a+4b=04a+2b=5，
解得a=−54b=5，
∴抛物线的表达式为y=−54x2+5x．
（2）∵OP恰好平分△COD的面积，
∴OP经过CD的中点(2，52)，
设直线OP的表达式为y＝kx，将(2，52)代入，
得k=54，
∴直线OP的表达式为y=54x．
令54x=−54x2+5x，
解得x1＝0（舍），x2＝3．
将x2＝3代入y=54x中，
得y=154，
∴点P的坐标为(3，154)．
26．问题提出：

（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，tan∠EAF＝1，连接EF，则线段EF，BE和DF之间的数量关系是 　EF＝BE+DF　．（提示：将△ABE绕点A旋转至△ADG）．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，tan∠EAF=3．已知∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　∠B+∠D＝180°　时，EF＝BE+DF成立．
（3）问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为12m的正方形ABCD，高为4m，现需用隔音板材填充AE，AF，EF，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边BC，CD上（EC＞FC），EF＝10m，∠EAF＝45°，求共需消耗的板材面积．

【分析】（1）将△ABE绕点A旋转至△ADG，根据旋转的性质可知：AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，由tan∠EAF＝1，可得∠EAF＝45°，即可证得△EAF≌△GAF，据此即可得线段EF，BE和DF之间的数量；
（2）把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，连接FG，方法同（1）即可证得△EAF≌△GAF，EF＝GF，故当点F、D、G三点共线时，EF＝BE+DF，据此即可解答；
（3）将△AFD绕点A顺时针旋转得到△ATB，则BT＝DF，∠DAF＝∠BAT，AT＝AF，再根据正方形的性质可得点T，B，C共线，可证得△TAE≌△FAE，可得TE＝10m，设FC＝xm，则DF＝（12﹣x）m，BE＝（x﹣2）m，EC＝（14﹣x）m，利用勾股定理可求得FC＝6m，EC＝8m，AE=410m，AF=65m，据此即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
如图1，将△ABE绕点A旋转至△ADG，
∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，∠ADG＝∠ABC＝90°，DG＝BE，
∴∠FDG＝∠ADC+∠ADG＝180°，
∴点F，D，G共线，
∵tan∠EAF＝1，
∴∠EAF＝45°，
∵∠EAB+∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠EAB+∠FAD＝45°，
∴∠GAD+∠FAD＝∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF与△GAF中，
AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，连接FG，

∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，∠ADG＝∠ABC，DG＝BE，
∵tan∠EAF=3，
∴∠EAF＝60°，
∵∠EAB+∠EAF+∠FAD＝120°，
∴∠EAB+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠GAD+∠FAD＝∠GAF＝60°，
∴∠EAF＝∠GAF＝60°，
在△EAF与△GAF中，
AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵EF＝BE+DF＝GD+DF，
∴GF＝EF＝DG+DF，
∴点F，D，G共线，
∴∠FDG＝∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠B+∠D＝180°，
故当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠D＝180°；
（3）如图，将△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ATB，

则BT＝DF，∠DAF＝∠BAT，AT＝AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝12m，
∴∠TBC＝180°，
∴点T，B，C共线．
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∴∠TAE＝∠TAB+∠BAE＝∠EAF＝45°．
在△TAE与△FAE中，
AE=AE∠TAE=∠FAEAT=AF，
∴△TAE≌△FAE（SAS），
∴TE＝EF＝TB+BE＝DF+BE＝10m．
设FC＝xm，则DF＝（12﹣x）m，BE＝EF﹣DF＝（x﹣2）m，EC＝BC﹣BE＝（14﹣x）m，
在Rt△EFC中，EC2+FC2＝EF2，
得（14﹣x）2+x2＝102，
解得x1＝6或x2＝8，
∴FC＝6m或8m，
∴EC＝8m或6m，
∵EC＞FC，
∴FC＝6m，EC＝8m，DF＝6m，BE＝4m，
由勾股定理，得AE=AB2+BE2=122+42=410，AF=AD2+DF2=122+62=65，
∴所需板材面积=(410+65+10)×4=(1610+245+40)(m2)，
答：共需消耗板材面积为(1610+245+40)m2．