拔高点突破02 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题（五大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176732227" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176732227 \h 2
\l "_Tc176732228" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176732228 \h 6
\l "_Tc176732229" 题型一：仿射变换问题 PAGEREF _Tc176732229 \h 6
\l "_Tc176732230" 题型二：非对称韦达问题 PAGEREF _Tc176732230 \h 13
\l "_Tc176732231" 题型三：椭圆的光学性质 PAGEREF _Tc176732231 \h 20
\l "_Tc176732232" 题型四：双曲线的光学性质 PAGEREF _Tc176732232 \h 26
\l "_Tc176732233" 题型五：抛物线的光学性质 PAGEREF _Tc176732233 \h 35
\l "_Tc176732234" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176732234 \h 39
一、仿射变换问题
仿射变换有如下性质：
1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；
2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；
3、其它不变关系．
我们以椭圆为例阐述上述性质．
椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：
（1）点变为；
（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；
（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；
（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；
（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变
总结可得下表：
二、非对称韦达问题
在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．
三、光学性质问题
1、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．
【引理1】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．
【引理2】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．
【引理3】设椭圆方程为，分别是其左、右焦点，若点在椭圆外，则．
2、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．
【引理4】若点在直线的同侧，设点是直线上到两点距离之和最小的点，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线和直线的交点．
【引理5】若点在直线的两侧，且点到直线的距离不相等，设点是直线上到点距离之差最大的点，即最大，当且仅当点是点关于直线的对称点与点连线的延长线和直线的交点．
【引理6】设双曲线方程为，分别是其左、右焦点，若点在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则．
3、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．
【结论1】已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）
【结论2】已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．
题型一：仿射变换问题
【典例1-1】如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为
，
由垂径定理平分，其方程为，
平分，
△内切圆的圆心所在的定直线方程为．
故答案为：
【典例1-2】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ．
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是的重心，又O是的外心
′是等边三角形，
∴．
故答案为：
【变式1-1】已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设椭圆上一点为，椭圆上的点，，
令，椭圆的方程为，，
可得是以为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下，在圆上对应的点为，，
直线与的斜率之积为
．可得.
，四边形为正方形，于是，
则点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的两个焦点）．
（2），由（1）可知，此时四边形为矩形，于是，点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，，
直线为椭圆的右准线.
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的右焦点）．
【变式1-2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点，其离心率为，设，，是椭圆上的三点，且满足，其中为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：的面积是一个常数．
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）令，所以，
设，，是圆上的三点，且，，
所以
，
所以，所以，
所以，即的面积是一个常数．
法二：设，，，
可得，，，
由，
可得，
即有，，
可得
，
即有，由，
可得，
又
，
由，，且，
即为，即，
又．
则的面积是一个常数1．
【变式1-3】对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
【解析】（1）设上两点的坐标为，；
经伸缩变换后变为，，
则；；
，；则．
（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；
椭圆变换得到了以原点为圆心的圆；
P，Q，R，S变换得到，，，．
O，，均在中垂线上，则O，，共线．
，，则，
则，，
则轨迹方程为：，
代入，，则S轨迹方程为：．
（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，
点A变换得到了，
即为，并设B，C变换得到了，．
熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形．
则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到．
则，坐标分别为，．
即为，，
即B、C坐标分别为，，
单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为．
综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为．
【变式1-4】在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…若，，求数列的通项公式.
【解析】（1）由条件得，整理得，所以的方程为；
（2）因为，关于原点“伸缩变换”，
对作变换，得，
联立，解得点的坐标为，
联立，解得点的坐标为，
所以，所以或，
所以或；
因此椭圆的方程为或；
（3）对作变换，
得抛物线，得，
又因为，所以，即，
当时，，
得，适用上式，
所以数列的通项公式.
题型二：非对称韦达问题
【典例2-1】（2024·湖北宜昌·二模）已知、分别是离心率的椭圆的左右顶点，P是椭圆E的上顶点，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.
【解析】（1）由题意得，，，
则，所以，
又，所以，，所以椭圆E的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，，，则，
由，消去y得.由，
得，所以，.
，
直线的方程为，
即，
因为，，所以，
直线的方程为可化为，则直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，直线也过点，综上知直线恒过定点.
【典例2-2】已知、分别是椭圆的右顶点和上顶点，、在椭圆上，且，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
【解析】证明：由题意得，，则，
设直线的方程为，设点、．
由，消去得，
，可得，且有，
由韦达定理可得，，
，
，
又由得，代入上式得：
，
所以，为定值.
【变式2-1】已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）当时，直线：，令，得，即椭圆的上顶点为，则，
又的周长为，即，，又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设，依题意，点A，B不在x轴上，
由消去并整理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，
由得代入上式，得
，于是得，
所以直线交点在定直线上．
（3）由（2）知，，由得：，
所以为定值．
【变式2-2】（2024·河南新乡·三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．
【解析】（1）由得，，
由椭圆的定义得，，，
，所以点P的坐标为，
将点P的坐标代入椭圆的方程中有，
又，，
解得或，
当，，故舍去；
当，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知，直线l的斜率必然存在,故设直线l的方程为，设，则，
联立方程组，得， ，
解得，，，
又，，设直线的方程为，
，
当时，，所以直线过定点.
【变式2-3】已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)[方法一]：
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而
，
故.
从而.
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，
．
同理，．所以．
因为，所以．
【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.
【变式2-4】（2024·湖北·一模）如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
【解析】（1）由题意可知：,，又，
有，故椭圆的方程为：．
（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.
设（），
联立直线方程和椭圆方程得，消去得，
,，且有，
又，，
由得，
故，整理得到
，故
．
故点的纵坐标为3．
题型三：椭圆的光学性质
【典例3-1】欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.
(1)求的方程;
(2)设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.
【解析】（1）不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点,则,
又,
的方程为.
（2）设,直线的方程为,
由，整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点在椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到的距离最大值为.
【典例3-2】阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”：，从而得到，而性质得证
根据上述材料回答以下问题
(1)如图3，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，一束光线从F1−1,0射出，经椭圆上点反射：处法线（与椭圆在处切线垂直的直线）与轴交于点，已知，求椭圆方程（直接写出结果）
(2)已知椭圆，长轴长为，焦距为，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次回到左焦点所经过的路程为，求椭圆的离心率
(3)对于抛物线，猜想并证明其光线性质．
【解析】（1）从椭圆的定义知，，则，
又，，所以，
由光学性质可知是的角平分线，所以，
即，所以得，从而
故椭圆的方程为.
（2）由题意知光线经过的路程为，所以.
（3）抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，
设焦点，动点，设过点的切线方程为，
联立，消去得，
由直线为抛物线y2=2pxp>0的切线，
故且，所以，
所以，所以，所以,所以，
过点的切线斜率为
则入射光线的斜率为，设反射光线的斜率为
则
则命题得证.
【变式3-1】（2024·高三·安徽池州·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足，作交于点M，求的最大值．
【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，
可得光线经过的路程为，解得，
又由椭圆的离心率为，可得，所以，
故，故椭圆C的标准方程为．
（2）椭圆，可得，则， ，
设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
因为，可得，
所以
，
化简为，
而到直线的距离为，
即有M的轨迹方程为；
法1、设，则
，
表示点与点的距离的平方，减去的差；
由点与的即离为，可得M与点的距离的最大值为，
则的最大值为.
法2、令，设，
所以
（其中），
当且仅当时，取“等号”．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，T的离心率为．
(1)求椭圆T的标准方程；
(2)设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，是T的右焦点，且与互补，求面积的最大值．
【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，
经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为，解得．
又椭圆的离心率为，得，
所以，
故，
故椭圆T的标准方程为；
（2）由题意得，设，．
因为与互补，
所以，即，
化简整理，可得，
设直线MN的方程为，
得．
联立直线MN与椭圆的方程得，
整理得，
，可得，
则，，
所以，
解得，
故直线MN的方程为．
点到直线MN的距离，
，
，
所以，
由，可得，，即．
记，则，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故面积的最大值为．
题型四：双曲线的光学性质
【典例4-1】双曲线在物理学中有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．
(1)已知A、B是在直线l两侧且到直线l的距离不相等的两点，P为直线l上一点．试探究当点P的位置满足什么条件时，取最大值；
(2)若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称．证明：由双曲线的一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．
【解析】（1）不妨设A点到直线l的距离比B点到直线l的距离大，作点A关于直线l的对称点．
当、B、P三点共线，即l为的平分线时，有；
当、B、P三点不共线，即l不是的平分线时，取这样的点，
则、B、能构成一个三角形，故（两边之差小于第三边），
因此，当且仅当P的位置使得l为的平分线时，取最大值．
（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为b，左右焦点分别为，，
入射光线从出射，入射点，反射光线，
双曲线在点处的切线，在点处的垂线，
由光的反射定律，，关于对称，故，关于对称，
要证：反射光线过点，
只要证：是的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义，，双曲线上任意一点满足方程为，
若，满足不等式，即与焦点同在双曲线内部；
若，满足不等式，即在双曲线外部.
故对于双曲线内部的任意一点，有，
对于双曲线外部的任意一点，有，
又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，
上其他点均有，
故是上唯一使得取最大值的点，
又，到直线距离不相等，根据(1)中结论，可知是的角平分线，
故反射光线过点，命题得证.
【典例4-2】（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
【解析】（1）因为，，所以，，
故双曲线方程为，直线的方程为，
由，解得，即，
所以，
所以反射光线所在的直线方程为，即；
（2）因为为直角三角形，，
可令，则，
由双曲线的定义可得，
即，所以，
所以，
所以，
在直角中，，
所以直线的方程为，
由，
得，所以，所以，
所以两条渐近线得方程为，
联立，得，
设，
则，
故，
所以，
所以，
所以，
所以为定值；
（3）由双曲线得光学性质可得，直线平分，
所以，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以，故，
而，
所以，
所以直线的方程为，故点的坐标为，
设四边形的面积为，
则，
所以，故，
所以求的方程为．
【变式4-1】（2024·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.

(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图所示：
延长与交于，因为，，
则，即，
令，则，
所以，，
由双曲线的定义可得，则，
，则，
又因为，即，解得，
所以，，，
由勾股定理可得，则，
故，
因此，双曲线的方程为.
（2）若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
易知点、，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程并消去可得，
可得
，解得，
因此，直线与直线的交点在定直线上.
【变式4-2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡尔坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
【解析】（1）不妨设点到直线的距离比点到直线的距离大，作点关于直线的对称点.
当，，三点共线，即为的平分线时，
有，
当，，三点不共线，即不是的平分线时，取这样的点，则，，能构成一个三角形，
故(两边之差小于第三边)，
因此，当且仅当的位置使得为的平分线时，取最大值.
（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为b，左右焦点分别为，，入射光线从出射，入射点，反射光线，双曲线在点处的切线，在点处的垂线，
由光的反射定律，，关于对称，故，关于对称，
要证：反射光线过点，
只要证：是的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义，，双曲线上任意一点满足方程为，
若，满足不等式，即与焦点同在双曲线内部；
若，满足不等式，即在双曲线外部.
故：对于双曲线内部的任意一点，有，
对于双曲线外部的任意一点，有，
又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，
上其他点均有，
故是上唯一使得取最大值的点，
又，到直线距离不相等，根据(1)中结论，可知是的角平分线，
故反射光线过点，命题得证.
题型五：抛物线的光学性质
【典例5-1】抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值.
【解析】（1）由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得，
即点，
由可得，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）由题意可知，直线的方程为，由可得，即点，
则，直线的方程为，
联立可得，即点，
设直线的倾斜角为，则，
由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，，
因为，可得，解得.
【典例5-2】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点．
(1)求证：；
(2)若PB平分，求点B到直线QP的距离．
【解析】（1）证明：抛物线，则其准线方程为，
由题意得平行于x轴，且过点，所以，
把代入抛物线的方程，解得，则，
由题知，直线AB经过焦点12,0，
则直线AB的方程为，即，
联立得，故．
（2）由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴，
则，有，
若PB平分，则，所以，所以．
由，
则，
可得，解得．
所以，直线QP的斜率为，
故直线QP的方程为，即，
故点B到QP的距离为．
【变式5-1】抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过向抛物线的准线作垂线，垂足为，证明：，，三点共线.
【解析】（1）设，，由方程，可得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得，
所以，，
则两平行光线间的距离，当且仅当时等号成立
所以，即，故抛物线方程为.
（2）由（1）知抛物线方程为，可得准线为，
则，，可得，，
所以，
所以，又因为，所以，，三点共线.
【变式5-2】（2024·高三·青海西宁·开学考试）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．已知抛物线C：，如图，点F为C的焦点，过F的光线经拋物线反射后分别过点，．

(1)求C的方程；
(2)设点，若过点的直线与C交于R，T两点，求面积的最小值．
【解析】（1）依题意，点的纵坐标，点的纵坐标，焦点，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去得：，
则，即，而，解得，
所以C的方程是.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，，
由消去得：，，
则，，
由，，得，且轴，
因此的面积，当且仅当时取等号，
所以求面积的最小值为4.
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，根据题意，三点共线，三点共线.
而，且由知，
故.
所以，
故可设，，.
由于，
故.
从而，，故，.
而，结合余弦定理得.
故，解得，所以.
故选：C.
2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周长为.
故选：D
3．（2024·高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，由题意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故选：B.
4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，
则.
故，解得.
又，所以，所以.
故选：C.
5．（多选题）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
【答案】ABD
【解析】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，
对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；
对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由，得，即，所以，
设，则，
因为，所以，整理得，
解得或（舍去），所以，，
所以的面积，所以C错误；
对于D项，在直角中，，
所以，所以D正确．
故选：ABD．
6．过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为 .
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
7．已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 .
【答案】1
【解析】解法1：可得点，设，则，
由可得，即有，
，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；
故答案为：．
解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，
，
设，则，
，
∴，
，
∴.
故答案为：．
8．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．是上的动点，点，若的最大值为6，动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，则椭圆的离心率为；的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆定义得：，所以，
因为的最大值为6，因为，所以，即，解得，
所以离心率为，右焦点
关于直线的对称点，设切点为，
由椭圆的光学性质可得：三点共线，
所以，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为，
所以点Px1,y1到直线的距离为，
所以表示点Px1,y1到直线的距离的倍，
则，即.
故答案为：
9．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1−c,0，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆C的离心率为 ；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为 ．
【答案】 /
【解析】设椭圆C的长轴长为，
因为由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c，
所以，得，
所以椭圆C的离心率为，
如图，延长交于点，
在中，，由反射角等于入射角，可得，
所以，且为的中点，
在中，，
因为在l上的射影H在圆上，所以，
所以，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
故答案为：，
10．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．

【答案】/
【解析】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
11．圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点处，但光线尚未汇聚时，又受到以为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点处.以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系.若米，凹抛物面镜的口径为米，凸双曲面镜的口径为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米.
【答案】
【解析】因为曲线C的焦点坐标为，
所以，则抛物线C的方程为，
因为，
所以，则，解得,
，
设，又，所以，
易知，则
则，解得，
根据题意，从点反射，与轴的交点，此时孔洞半径最小，即.
易知，则,
即，解得,直径为.
所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜的中央孔洞，则孔洞直径最小为.
故答案为：.
12．点是椭圆的左右顶点，若过定点且斜率不为0的直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上.
【解析】由题意得，A−2,0，，
设，直线方程为，
联立，化简得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，
易知，由韦达定理得，，
直线的方程为y=y1x1+2x+2，直线的方程为，
联立，即，解得，
则
，
故直线AM与直线BN的交点在定直线上.
13．如图，椭圆有两顶点，，过其焦点F0,1的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，直线AC与直线BD交于点Q.

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【解析】（1）依题意得.
因为，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，
并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，且直线AC与直线BD交一于点Q，
所以可设直线l的方程为，所以点P的坐标为，
设点C，D，Q的坐标依次为，，
其中，，联立得，
所以，
显然，由根与系数的关系可得，
因为直线的斜率为，所以直线AC的方程为.
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为.
因为直线与直线交于点Q，
所以，
所以.
因为，所以，
同理，
所以，
.
因为，所以，所以，
所以.
14．如图，已知是长轴为的椭圆上的三点，点是长轴的右顶点，过椭圆中心，且，．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过关于轴对称的点作椭圆的切线，则与有什么位置关系？证明你的结论．
【解析】（1）
设椭圆方程为，
由过椭圆中心，且，，得三角形是等腰直角三角形，且，所以,代入椭圆方程得到，所以椭圆方程为；
故答案为：；
（2）证明：将椭圆通过拉伸变换为圆：令，
又关于轴对称的点拉伸后变为，，，及，所以．
15．如图，已知椭圆：，直线：与圆：相切且与椭圆交于A，B两点．

(1)若线段AB中点的横坐标为，求m的值；
(2)过原点O作的平行线交椭圆于C，D两点，设，求的最小值．
【解析】（1）设AB中点坐标为，代入圆方程可得；
根据拉伸定理可知，
将代入可知，故；
（2）如图：
，令，
拉伸后可知，最小时，AB与CD距离最大，
令拉伸后的参数方程为，
当上的点P离原点距离最大时，
即，
当时，，
此时过P作的切线，，．
16．（2024·安徽合肥·一模）已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点．
(1)求点所在的曲线E的方程；
(2)设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程．
【解析】（1）由得，
代入得，
曲线E的方程为．
（2）由题知，当直线l的斜率存在时，设l：，
由消去y整理得，．
设，，则，
以AB为直径的圆的圆心横坐标为．
又
，
以AB为直径的圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
，
即，以AB为直径的圆与直线相离．
当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为，
圆的方程是，该圆与直线相离．
综上可知，以AB为直径的圆与直线相离．
17．设为坐标原点，椭圆：经过升缩变换后变为曲线，是曲线上的点.
（1）求曲线的方程.
（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.
【解析】（1）由可得
代入得即
因此曲线的方程为.
（2）由题意知.设，，则，，，，，
由得，又由（1）知，故.
所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.
18．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意可知，
则，
所以，所以
（2）由（1）得椭圆C的方程为，则，设，
则，
因为点P在椭圆上，
所以，
则，
则，
所以当时，，
此时，
所以；
（3）证明：，
设直线l的方程为，
联立，消y得，
则，
则
因为，
则，
即，
即，
即，
即，
化简得，
解得或，
时过点A，舍去
所以，
所以直线l得方程为，
所以直线l过定点．
19．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，一光线从点F1−1,0射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的直线）与轴交于点，已知，.求椭圆的方程.
【解析】由椭圆的定义知，则.
由光学性质可知是的角平分线，所以.
因为，所以，得，
从而，
故椭圆的方程为.
20．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年——325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.
已知图乙中，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为，由 发出的光线经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 .
(1)点 是椭圆 上除顶点外的任意一点，椭圆 在点 处的切线为在 上的射影 满足，利用椭圆的光学性质求椭圆 的方程；
(2)在: （1）的条件下，设椭圆 上顶点为 ，点 为 轴上不同于椭圆顶点的点，且，直线 分别与椭圆 交于点 （异于点 ），，垂足为 ，求 的最小值.
【解析】（1）
由题知 ，
延长，交于点，
在中，，
则且为中点，
在中，，则，
，即椭圆方程为.
（2）
由对称性可知直线 的斜率不为0，所以可设直线，
联立直线与 ，
则，①
，②
所以 ，令 ，得点横坐标 ，
同理可得点 横坐标 ，
故，
将 代入上式整理得：，
将②代入得 ，
若 ，则直线 ，恒过 不合题意；
若 ，则，恒过 ，
因为直线 恒过 ，且与 始终有两个交点，
又，垂足为 ，
所以点 轨迹是以 为直径的半圆（不含点 ，在直线 下方部分），
圆心 ，半径为1，所以，当且仅当点 在线段 上时，
所以的最小值为.
21．已知点为椭圆：（）内一点，过点的直线与交于两点．当直线经过的右焦点时，点恰好为线段的中点．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．设从椭圆的左焦点出发的一束光线经过点，被直线反射，反射后的光线经过椭圆二次反射后恰好经过点，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求此时直线的方程，并计算“光线三角形”的周长．
【解析】（1）设点，的坐标为．
将其代入椭圆方程可得，；
两式相减可得，
整理可得．
其中为直线的斜率，
可利用点及点计算可得．
其中，代入上式可得，即可得，
根据椭圆三个参数间的关系：，可得．
综上可得椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，设点关于直线的对称点为，从椭圆的左焦点发射一束光线经过直线进行反射后的反射光线必经过点．
设过点且与直线垂直的直线为：．
直线与直线的交点为，从而可得点的坐标为，
为了保证经过椭圆反射后再回到点，根据椭圆的光学性质可知上述反射光线会经过椭圆的右焦点，
综上可知点，，三点共线．
即可知，即有，经计算可得．
符合条件的直线方程为．
当直线为时，根据条件易知，．
根据椭圆的定义经过点的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为．
此时光线闭合三角形的周长为．
当直线为时，根据条件易知，．
根据椭圆的定义经过点的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为．
此时“光线三角形”的周长为．
22．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如果没有阻挡，此过程可以不断重复进行下去.
(1)椭圆 ，分别为其左、右焦点.试问，从 发射的光线，经椭圆反射后第一次回到时，光线经过的路程的最大值和最小值分别为多少？（写出结论即可，无须说明）
(2)如图，椭圆 的左、右焦点分别为，从 发射的光线，经椭圆上两点 处分别反射后，光线回到，已知 ， ，求椭圆 的离心率的值.
【解析】（1）因为椭圆，
当从 发射的光线，射到左顶点，经椭圆壁反弹后再回到时，小球经过的路程是，
当从 发射的光线，射到右顶点，经椭圆壁反弹后再回到时，小球经过的路程是，
当从 发射的光线，射到椭圆一点，经椭圆壁反弹后再过椭圆上一点，反弹后回到时，小球经过的路程是，
所以光线经过的路程的最大值和最小值分别和；
（2）设，则，又，
在中，，所以，
根据椭圆定义的周长为，所以解得，
所以，
在中，，
所以即.
23．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，求椭圆C的方程．
【解析】（1）设椭圆C的长轴长为，
由题意知：发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为，
∴．
（2）法一：如图：
延长，交于点，
在中，，则且H为中点，
在中，，则，
，即椭圆方程为．
法二：设，在l上的射影分别为，连接，如图：
设，则，
在中，可得，同理：，
∴，，
∵，
∴椭圆方程为．
24．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线和一个“开了孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，，为椭圆的焦点，同时也为抛物线的焦点，其中椭圆的短轴长为，在处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到经过的路程为8.由照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
（1）求抛物线的方程；
（2）若由发出的一条光线经由椭圆上的点反射后穿过小孔，再经抛物线上的点反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段的长；
（3）在（2）的条件下，求线段的长.
【解析】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
由题可知：，，，
则，
故抛物线的焦点，抛物线的方程为.
（2）因为光线经过抛物线的焦点，所以光线经过抛物线反射后平行与轴，所以纵坐标为，故设，代入抛物线的方程得，即，
又，故.
（3）由（2）知，即，
又，得，
又，故.
设，，
又，在中，由余弦定理知
.
故线段的长为.
变换前
变换后
方程
横坐标
纵坐标
斜率
面积
弦长
不变量
平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比