第01讲 直线的方程（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：倾斜角与斜率的计算
1．（2024·高三·山东济宁·期末）直线的倾斜角是 .
2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直线的倾斜角是 .
3．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
题型二：三点共线问题
5．若三点，，共线，则 .
6．若点在同一条直线上，则实数等于
7．已知，，三点在同一条直线上，则 ．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
8．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 .
9．已知实数满足，则的取值范围为 .
10．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为 ．
11．若直线：与连接，的线段相交，则的取值范围是 ．
12．已知两点，和直线，则直线恒过定点 ；若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是 .
题型四：直线的方程
13．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为 .
14．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
15．已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·四川绵阳·二模）过点，且与原点距离最大的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
17．已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ．
18．若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
19．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .
20．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
21．（2024·全国·高三专题练习）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
题型六：两直线的夹角问题
22．若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ．
23．直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为 ．
24．直线与直线所成夹角大小为 ．
题型七：直线过定点问题
25．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 .
26．过定点的直线与过定点的直线交于，则
27．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ．
28．已知直线经过定点，则点的坐标为 .
题型八：中点公式
29．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ．
30．直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 .
31．已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
题型九：轨迹方程
32．方程表示的图形是（ ）
A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点
33．已知､，的面积为，则动点的轨迹方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
34．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
35．到两条平行直线和的距离相等的点的轨迹方程是 .
36．已知三条直线、和且与的距离是．
(1)求的值；
(2)已知点到直线的距离与点到直线的距离之比是，试求出点的轨迹方程．
1．（2024·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
6．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·贵州遵义·一模）已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则（ ）
A．6B．7C．8D．12
9．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2
D．在轴上的截距之积可能为
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
12．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
13．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 .
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标 .
16．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标；
(2)求直线的方程．
17．直线的方程为.
(1)证明直线过定点；
(2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程.
18．已知的三个顶点是，，．
(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程．
1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ．
6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））直线的倾斜角 ．
7．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ．
8．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点，，，（）共线，则的值等于 .
9．（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷））已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得为常数．
10．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段上．
(1)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；
(2)求折痕的长的最大值．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc175594603" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc175594603 \h 2
\l "_Tc175594604" 题型一：倾斜角与斜率的计算 PAGEREF _Tc175594604 \h 2
\l "_Tc175594605" 题型二：三点共线问题 PAGEREF _Tc175594605 \h 2
\l "_Tc175594606" 题型三：过定点的直线与线段相交问题 PAGEREF _Tc175594606 \h 2
\l "_Tc175594607" 题型四：直线的方程 PAGEREF _Tc175594607 \h 3
\l "_Tc175594608" 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc175594608 \h 3
\l "_Tc175594609" 题型六：两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc175594609 \h 4
\l "_Tc175594610" 题型七：直线过定点问题 PAGEREF _Tc175594610 \h 4
\l "_Tc175594611" 题型八：中点公式 PAGEREF _Tc175594611 \h 4
\l "_Tc175594612" 题型九：轨迹方程 PAGEREF _Tc175594612 \h 5
\l "_Tc175594613" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc175594613 \h 5
\l "_Tc175594614" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc175594614 \h 8