拔高点突破02 立体几何中的动态、轨迹问题（六大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc174991791" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174991791 \h 2
\l "_Tc174991792" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174991792 \h 2
\l "_Tc174991793" 题型一：由动点保持平行求轨迹 PAGEREF _Tc174991793 \h 2
\l "_Tc174991794" 题型二：由动点保持垂直求轨迹 PAGEREF _Tc174991794 \h 3
\l "_Tc174991795" 题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 PAGEREF _Tc174991795 \h 4
\l "_Tc174991796" 题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 PAGEREF _Tc174991796 \h 5
\l "_Tc174991797" 题型五：投影求轨迹 PAGEREF _Tc174991797 \h 6
\l "_Tc174991798" 题型六：翻折与动点求轨迹 PAGEREF _Tc174991798 \h 7
\l "_Tc174991799" 03 过关测试 PAGEREF _Tc174991799 \h 9
“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
题型一：由动点保持平行求轨迹
【典例1-1】（多选题）（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为
C．点N的轨迹长度为D．的取值范围为
【典例1-2】已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，μ∈0,1，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 .
【变式1-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）
①当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
②若面，则的最小值为
③若的外心为M，则为定值2
④若，则点的轨迹长度为
题型二：由动点保持垂直求轨迹
【典例2-1】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
【典例2-2】（2024·山西·二模）已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为 .
【变式2-1】（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（ ）
A．当最大时，与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹长度为
D．若平面，则的最小值为
【变式2-2】（多选题）（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（ ）
A．与平面所成角的大小为
B．三棱锥的体积最大值是2
C．点的轨迹长度是
D．异面直线与所成角的余弦值范围是
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
【典例3-1】（多选题）（2024·江西九江·三模）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．线段的长为
C．点的轨迹长为D．的最大值为
【典例3-2】（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4B．C．D．
【变式3-1】（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．

【典例4-2】（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为
【变式4-1】（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（ ）
A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为
D．满足的点P的轨迹是椭圆
【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
题型五：投影求轨迹
【典例5-1】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是
A．线段为定长B．
C．线段的长D．点的轨迹是圆弧
【典例5-2】如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率．
【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 .
【变式5-2】如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为 .
题型六：翻折与动点求轨迹
【典例6-1】（多选题）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（ ）

A．平面平面
B．若为的中点，则平面
C．折起过程中，点的轨迹长度为
D．三棱锥的外接球的体积为
【典例6-2】如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
①平面平面；②与的夹角为定值；
③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为.
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
【变式6-1】（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
【变式6-2】（多选题）（2024·山东·模拟预测）如图，长方形中，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．四棱锥体积的最大值为
C．的中点的轨迹长度为
D．与平面所成的角相等
1．（多选题）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（ ）
A．满足平面的点的轨迹为线段
B．若，则动点的轨迹长度为
C．直线与直线所成角的范围为
D．满足的点的轨迹长度为
2．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，为异面直线B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使平面D．AP与平面所成角的正弦最大值为
3．（多选题）（2024·湖南·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
4．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，，M，分别是AB，的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ）
A．该三棱台的体积为
B．平面平面
C．直线CP与平面所成角的正切值的最小值为
D．若，则点P的轨迹的长度为
5．（多选题）（2024·全国·二模）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
6．（多选题）（2024·广东广州·模拟预测）在棱长为1的正方体中，若点为四边形内（包括边界）的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面截正方体所得截面的面积为
B．若直线与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹长度为
D．若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是120
7．（多选题）（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．若点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为
B．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
C．若点为的中点，则平面与四边形的交线长为
D．若点在侧面正方形内（包含边界）且，则点的轨迹长度为
8．（多选题）（2024·云南·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，在直四棱柱的表面上运动，则（ ）
A．若在棱上运动，则的最小值为
B．若在棱上运动，则三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹为平行四边形
D．若，则点的轨迹长度为
9．（多选题）如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）

A．平面
B．若，，，四点共面，则
C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
10．（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ）

A．
B．
C．点的轨迹的长度为
D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为
11．（多选题）如图甲，在矩形中，，，为上一动点（不含端点），且满足将沿折起后，点在平面上的射影总在棱上，如图乙，则下列说法正确的有（ ）
A．翻折后总有
B．当时，翻折后异面直线与所成角的余弦值为
C．当时，翻折后四棱锥的体积为
D．在点运动的过程中，点运动的轨迹长度为
12．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ．
13．（2024·山东聊城·一模）已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为 .
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 .
15．（2024·山东临沂·二模）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 ，点N轨迹的长度为 ．

16．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为 ；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为 ．
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且为等边三角形，空间中的动点P满足，当点P在所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为 .
18．在正四棱柱中，，E 为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为 .
19．（2024·河南开封·二模）已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为 ，长度的最小值为 ．
20．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 .
21．（2024·河南·模拟预测）已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为 ．