第七章 立体几何与空间向量（测试）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.1

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．
C．D．
3．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（ ）

A．B．C．D．
7．在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形不可能是平行四边形B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是D．截面多边形的面积的取值范围是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
11．半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A．平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知四面体有两个面是边长为2的正三角形，另外两个面是直角三角形，则该四面体的体积等于 ．
13．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．
14．要使正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小正值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
16．（15分）
已知三棱锥，，，D，M，N分别是AP，AB，CP的中点，，，二面角的余弦值为．
(1)证明：；
(2)求直线MN与平面BCD所成角的正弦值．
17．（15分）
如图，平行六面体的体积为，，，，．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求二面角的正弦值．
18．（17分）
如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求四棱锥体积的最大值；
(3)求平面与平面的夹角余弦值的范围．
19．（17分）
对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.
(1)已知，.
①写出，写出（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时x的值；
(2)设，，求证：
(3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标.