第二章 函数与基本初等函数（测试）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A．万年B．万年C．万年D．万年
3．已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．对函数作的代换，则不改变函数值域的代换是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A．B．0C．2D．4
6．直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
8．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．若2为的周期，则为奇函数
B．若为奇函数，则2为的周期
C．若4为的周期，则为偶函数
D．若为偶函数，则4为的周期
11．已知函数其中，且，则（ ）
A．B．函数有2个零点
C．D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数为偶函数，则 .
13．已知函数，若，则当取得最小值时， ．
14．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)求关于的不等式的解集．
16．（15分）
已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为
(1)求函数的解析式；
(2)若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．
17．（15分）
正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：）
18．（17分）
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
19．（17分）
设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
时间
0
1
2
3
4
5
水温℃
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27