第03讲 幂函数与二次函数（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：幂函数的定义及其图像
1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得.
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，所以，
所以，因为，
因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
3．函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像.
故选：A.
4．幂函数 ，当时为减函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． 或D．
【答案】A
【解析】幂函数，
，
解得或；
当时，幂函数为，
且在时为减函数，满足题意；
当时，幂函数为，
且在时为增函数，不合题意；
综上，实数的值为．
故选：A．
5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知.
故选：B.
题型二：幂函数性质的综合应用
6．（2024·高三·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是 ﹒
【答案】
【解析】已知，或①；
，②；
，③．
综合①②③，求得实数的取值范围为．
故答案为：﹒
7．函数，其中，则其值域为 .
【答案】
【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
8．当时，幂函数为单调递减函数，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知或，
当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意；
当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意；
综上：.
故答案为：
9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 .
【答案】或
【解析】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，
所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.
故答案为：或
10．已知幂函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减，
所以需满足，解得，
故答案为：．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
11．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
12．记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，幂函数在上单调递增，
又，所以，
所以，
又对数函数在上单调递减，所以，
故.
故选：D.
13．已知，，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由指数函数的性质知在R上单调递减，
所以，
令，由幂函数的性质知在单调增，
所以，
所以.
故选：C
14．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
【答案】B
【解析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数是幂函数
则或
又对任意的且，满足
所以函数为的增函数，故
所以，又，
所以为单调递增的奇函数
由，则，所以
则
故选：B
题型四：二次函数的解析式
15．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12，
所以，所以
故答案为：
16．已知（b，c为实数），且，，则的解析式为 .
【答案】
【解析】解法一：由题意知，解得，
所以的解析式为.
解法二：由题意知，得，则，得，
所以的解析式为.
故答案为：
17．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则 ， .
【答案】
【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
19．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为二次函数的图象的顶点为，
故的对称轴为直线，
又的图象截轴所得线段的长度是4，
所以的图象与轴的交点坐标为和，
设，将点代入得，解得，
所以，
因为的图象为的图象右移2个单位得到的，
所以，
令，则，
所以与轴交点生标为.
故选：B.
20．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对称轴为，
则在上单调递减，在上是单调递增，
A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D.
21．（2024·高三·上海·期中）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，解得，
故答案为：．
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
22．已知函数（）.
(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(2)若在区间上的最大值为9，求的值.
【解析】（1）由题意得，二次函数（）的图象开口向上，对称轴为直线，
∵函数在上是单调递减，则，
∴的取值范围是.
（2）由题意得，当时，函数在区间上单调递减，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，函数在区间上单调递增，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则在或中取得，又，，
∴当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，显然不合题意；
综上所述，.
23．已知函数．
(1)若的最大值为0，求实数a的值；
(2)设在区间上的最大值为，求的表达式；
(3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
【解析】（1），
因为的最大值为0，所以，
所以或.
（2）函数的对称轴为，
当，即时，在上是减函数，所以；
当，即时，
当时，是减函数，当时，是增函数，
所以；
当，即时，在上是增函数，所以，
所以.
（3）由题意，
令可得，简图如下，
当时，即时，在是增函数，
所以，成立.
当时，即时，
在上是减函数，在上是增函数，
所以，解得，不成立；
当时，即时，在上是减函数，
所以，解得，不成立；
综上所述，.
24．已知函数
(1)若函数在上单调，求的取值范围：
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得开口向上，对称轴，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∵函数在上单调，
∴或，
解得或，
∴的取值范围为：
（2）由题意可得开口向上，对称轴，函数在对称轴处取最小值，
，
若函数在区间上的最小值为，
则，解得：或，
当时，在区间上单调递增，
此时函数的最小值为，
解得：，
当时，在区间上单调递减，
此时函数的最小值为，
解得：，
综上，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为
题型七：二次方程实根的分布及条件
25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若，则一元二次方程有整数根的充要条件是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由，得．
作出函数的图象，
由图可知，，即，又，
所以.
当时，方程有整数解.
综上，是方程有整数解的充要条件．
故选;A.
26．若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（，＋∞）
【解析】设，
由题意，解得，
故答案为：．
27．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
题型八：二次函数最大值的最小值问题
28．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求证：；
(3)设，及在区间上的最大值为.当最小值，求的值.
【解析】（1），故开口向上，且对称轴为，
故单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由题意可知，问题转化为时，，且恒成立，
即，且，在区间上恒成立，
因为显然恒成立，
，开口向上，且对称轴为，故，
即恒成立，故原不等式成立；
（3），
函数在上单调递增，
故时，，时，，所以，
化简得，
可知，时，；时，，
故时，取得最小值2.
29．已知函数的图象经过点和.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求证：；
(3)设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.
【解析】（1）由已知得，，解得，
函数的解析式为.
（2）令，
则二次函数的对称轴为.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以时，取得最大值，
所以，即.
（3）由（2）知，，
令，则，问题转化为求在上的最大值，
易知关于，作出图象如下，
当时，当时，取得最大值，则，
当时，当时，取得最大值，，
当时，当或时，取得最大值，，
综上，当最小时，.
1．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于函数
当时，，为常数函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
3．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【解析】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故选：B.
4．已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（ ）
A．1B．-3C．1或-3D．2
【答案】A
【解析】∵为幂函数，∴或；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，不满足题意.
综上可知：.
故选：A.
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：①；②；③；④．其中在上是增函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】和在上是增函数，和在上是减函数，
故选：C
6．函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
【答案】A
【解析】函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x2 015；
当m＝－1时，f(x)＝x－4.
又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足，所以函数f(x)是增函数，
所以函数的解析式为f(x)＝x2 015，
函数f(x)＝x2 015是奇函数且是增函数，
若a，b∈R且a＋b>0，ab